数学竞赛辅导题--导数与微分.doc

导数与微分
题型一 利用函数的定义研究函数的可导性
1． 设，其中有二阶导数，求。
2． 设函数对任意均满足等式，且有，求。
3． 设可导，，若使在处可导，则必有（ ）。
。
题型二 利用函数的导数求曲线的切线和法线方程
4． 已知是周期为5的连续函数，它在的某个领域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程。
5． 求曲线在点处的法线方程。
题型三 求复合函数的导数及抽象函数的导数
6． 设，求。
7． 设，其中具有二阶导数，求。
题型四 求隐函数的导数（或可化为隐函数的求导问题）
8． 设函数是由确定的，其中具有二阶导数，且，求。
9． 已知，其中为二阶可微函数，求。
10．设，求。
题型五 求幂指函数和连乘函数的导数
11．设，求。
题型六 混合形式的函数的导数
12．设函数由所确定，求。
题型七 求函数的高阶导数
13．设，求。
14．设，求使存在的最大的。
15．设，其中在由阶连续导数，求。
第三章 微分中值定理与导数的应用
题型一 证明存在，使的命题。
1.设在上连续，当时，（为常数）。试证明：若，则方程在上有且仅有一个实根。
2. 设函数在闭区间上具有二阶导数，且。
证明：在开区间内至少存在一点使得。
题型二 证明结论为的命题
3.若在区间上有三阶导数，且，设，证明：在内存在一点，使得。
4. 设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，且，证明：存在，使得。
题型三 证明存在，使
5. 设在内上连续，在内可导，且，但当时，，求证对任意自然数，在内存在，使。 （提示：将所证结论中改为，两边积分后，可作出辅助函数）。
6. 假设函数和在存在二阶导数，并且
，试证：（1）在开区间内；
（2）在开区间内至少存在一点，使。
题型四 证明有两个中值满足的某种关系的命题
7. 设在上连续，在内可导，且，试证 ：存在，使得
（提示：将要证结论改写为即证。
令，对其应用拉格朗日中值定理。）
8. 设在闭区间上可导，且满足关系式，证明在区间内
至少存在一点，使得。
题型五 证明函数的单调性和求单调区间
9. 设函数在上，且，则
的大小顺序是（ ）

10. 设函数对一切满足，，若
则（ ）
是的极大值 是的极小值
点是曲线的拐点 不是的极值
题型六 关于不等式的证明
12. 设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，证明：对任意必有
（提示：再将分别代入相减。并注意
）
13. 设，常数，证明。
14. 证明：当时，。
15. 设常数，证明：当且时，。

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