微扰论和变分法在求解量子力学定态问题中的应用.pdf

SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯 2023 NO.16 科 学 研 究科技资讯SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION微扰论和变分法在求解量子力学定态问题中的应用皮艳梅 牟艳男 高帆(黑河学院 黑龙江黑河 164300)摘要：在量子力学的具体问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，能够精确求解的问题很少，只能用近似方法求体系的近似解。微扰论和变分法是求解量子力学定态问题常用的两种近似方法，微扰论是近似方法中最基本的一种，变分法是一种具有实用价值的近似方法，两种方法各有优缺点，也有各自的局限性。该文通过具体实例研究微扰论和变分法在求解量子力学定态问题中的应用。关键词：微扰论 变分法 近似方法 量子力学 定态中图分类号：G642文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2023)16-0217-04Application of the Perturbation Theory and Variational Method in Solving the Stationary State Problems of Quantum MechanicsPI Yanmei MU Yannan GAO Fan(Heihe University,Heihe,Heilongjiang Province,164300 China)Abstract:In the specific problems of quantum mechanics,there are a few problems that can be solved accurately because the Hamiltonian operator of the system is relatively complex,and the approximate solution of the system can only be obtained by the approximation method.The perturbation theory and variational method are two commonly used approximate methods for solving the stationary state problems in quantum mechanics.The perturbation theory is the most basic one of approximate methods,the variational method is an approximate method with practical value,and both of the methods have their own advantages,disadvantages and limitations.This paper studies the application of the perturbation theory and the variational method in solving the stationary state problems in quantum mechanics by concrete examples.Key Words:Perturbation theory;Variational method;Approximation method;Quantum mechanics;Stationary state量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动规律的理论，由于微观粒子具有波粒二象性，描写微观粒子的状态用波函数，微观粒子运动规律遵从薛定谔方程。除了一些特殊或简单的情况外，要精确求解量子力学中的很多问题是十分困难的，有时甚至是不可能的。例如：在实际中遇到的大多数问题里，系统的哈密顿量往往比较复杂，方程无法严格求解，常常只能得到近似结果，因此，对近似方法的研究就显得十分重要1。近似方法通常是从简单问题的精确解出发来求较复杂问题的近似解。一般可以分为两大类：一类用于体系的哈密顿算符不是时间的显函数的情况，讨论的是定态问题，定态微扰理论和变分法都属于这一类；另一类用于体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况，讨论的是体系状态之间的跃迁问题，与DOI：10.16661/ki.1672-3791.2301-5042-2587作者简介：皮艳梅（1969），女，本科，副教授，研究方向为分子与原子物理。牟艳男（1983），女，博士，教授，研究方向为光电材料。217SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯科 学 研 究 2023 NO.16 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯时间有关的微扰理论就属于这一类2。本文简要介绍定态问题中的微扰论和变分法的原理，然后通过具体实例研究微扰论和变分法在求解量子力学定态问题中的应用。1 微扰论微扰论、变方法、绝热近似、准经典近似等各种近似方法都有其优缺点和适用范围，其中应用最广泛的近似方法就是微扰论3。设体系的哈密顿算符H的能量本征值和本征函数分别为En和n，并且H不显含时间：H=H(0)+H 其中，H(0)是体系未受微扰时的哈密顿算符，H(0)的能量本征值E(0)n和本征函数(0)n都是已知的，E(0)n称为零级近似能量，(0)n称为零级近似波函数。与H(0)相比，H很小，可以看做是加在H(0)上的微小扰动，称为微扰。H(0)的本征方程（即定态薛定谔方程）为H(0)(0)n=E(0)n(0)n1.1 非简并定态微扰理论对于体系的n个能级，如果属于H(0)的能量本征值E(0)n无简并，则受微扰体系的能量En和波函数n分别为En=E(0)n+E(1)n+E(2)n+=E(0)n+Hnn+m|Hnm|2E(0)n-E(0)m+n=(0)n+(1)n+=(0)n+mHmnE(0)n-E(0)m(0)m+其中，E(1)n、E(2)n和(1)n分别为能量的一级修正、二级修正和波函数的一级修正，等号右边求和号上角一撇表示求和时不包括n=m的项，Hmn为微扰矩阵元，公式为Hmn=(0)*mH(0)nd（1）1.2 简并情况下的定态微扰理论假设体系的哈密顿算符H(0)的能量本征值E(0)n是k度简并，属于H(0)的本征值E(0)n的k个本征函数为12k。H(0)的本征方程为H(0)i=E(0)nii=12k（2）零级近似波函数(0)n写成k个i的线性组合为(0)n=i=1kc(0)ii（3）以系数c(0)i为未知量的一次齐次方程组为i=1k(Hli-E(1)nli)c(0)i=0l=12k（4）式中，Hli=*lHid（5）式（4）中，方程组有非零解的条件是系数行列式为0，即|H11-E(1)nH12H1kH21H22-E(1)nH2kHk1Hk2Hkk-E(1)n =0（6）式（6）称为久期方程。解久期方程可求得能量的一级修正E(1)n的k个根E(1)nj(j=12k)。所以，修正到一级的能量为Enj=E(0)n+E(1)nj把E(1)nj代入（4）式解出c(0)i，再将c(0)i代入（3）式即可得到零级近似波函数(0)n。1.3 微扰论的适用范围和适用条件微扰理论的适用范围是求分立能级及所属波函数的修正，适用条件是|HmnE(0)n-E(0)m|1(E(0)nE(0)m)满足上式时，估算能量的一级修正可以得到比较精确的结果。例1 设体系的哈密顿算符H=H(0)+H，其中H(0)和H分别为H(0)=()E(0)100E(0)2 H=()abbaa、b为实数，且E(0)1E(0)2。用微扰论求体系能量到二级修正，并与精确解比较。解：用微扰论求解，由体系的微扰算符H得能量的一级修正为E(0)1=H11=aE(0)2=H22=a能量的二级修正为E(2)1=|H12|2E(0)1-E(0)2=b2E(0)1-E(0)2E(2)2=|H21|2E(0)2-E(0)1=b2E(0)2-E(0)1所以，修正到二级的能量为E1=E(0)1+a+b2E(0)1-E(0)2E2=E(0)2+a+b2E(0)2-E(0)1精确求解：体系的哈密顿算符H为218SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯 2023 NO.16 科 学 研 究科技资讯SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATIONH=H(0)+H=()E(0)1+abbE(0)2+a设H的属于能量E的本征函数=()c1c2将代入H的本征方程并整理得()E(0)1+a-EbbE(0)2+a-E()c1c2=0解久期方程：|E(0)1+a-EbbE(0)2+a-E=0得E=12(E(0)1+E(0)2+2a)12(E(0)2-E(0)1)2+4b2因为|bE(0)1-E(0)2|1，所以：E=12(E(0)1+E(0)2+2a)12|E(0)2-E(0)1 1+124b2(E(0)2-E(0)1)2+上式取到二级得到体系的能量为E1E(0)1+a+b2E(0)1-E(0)2E2E(0)2+a+b2E(0)2-E(0)1精确解与用微扰论修正到二级的能量完全一致。例2 氢原子处于n=2能级，求它的Stark分裂。解：未加电场前，n=2能级E(0)2有4个简并态，相应的波函数分别为1200=R20(r)Y00()2210=R21(r)Y10()3211=R21(r)Y11()421-1=R21(r)Y1-1()加均匀外电场 后，电子在外电场 中的势能，视为微扰H。设外电场 沿z轴方向，则微扰算符为H=e r=ercos由（5）式可求微扰矩阵元，其中：H12=H21=*1H2d =e0R20(r)R21(r)r3drY00()Y10()cosd由Y00=14和Y10=34cos得Y00cos=13Y10所以H12=H21=e30R20(r)R21(r)r3dr将径向函数代入并积分：R20(r)=(12a0)32(2-ra0)e-r2a0R21(r)=(12a0)32ra03e-r2a0得H12=H21=-3ea0由球谐函数的奇偶性可得其他矩阵元均为零。将微扰矩阵元代入久期方程|-E(1)2-3ea000-3ea0-E(1)20000-E(1)20000-E(1)2 =0 解得 E(1)21=3ea0E(1)22=-3ea0E(1)23=E(1)24=0（7）所以，修正到一级的能量为 E21=E(0)2+3ea0E22=E(0)2-3ea0E23=E24=E(0)2由此解可以看出，四度简并的能级在外电场的作用下，一级修正分裂为3个能级，简并部分被消除。将H12=H21代入（4）得-3ea0c(0)2-E(1)2c(0)1=0-3ea0c(0)1-E(1)2c(0)2=0E(1)2c(0)3=0E(1)2c(0)4=0（8）将式（7）中E(1)2的数值分别代入式（8），解出c(0)1、c(0)2、c(0)3和c(0)4，再代入式（3），得到相应能级E21、E22、E23和E24的零级近似波函数分别为(0)21=12(200-210)(0)22=12(200+210)(0)23=c(0)3211+c(0)421-1(0)24=c(0)3211+c(0)421-12 变分法微扰论要求作为微扰的能量项要足够小才行，否则修正级数再高也是于事无补。变分法对此没有要求或者说变分法中并没有微扰的概念，它只把哈密顿量分解为可解的部分和剩余的部分。变分法的关键是构造出合适的试探波函数从而才能达到对系统基态能级的准确估计4。219SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯科 学 研 究 2023 NO.16 SCIENCE&TECHNOLOGY INFORMATION科技资讯设量子体系的哈密顿算符为H，其本征方程为Hn=Enn 式中，En为分立的本征值，且E0E1E2相应的本征函数012n组成正交归一系。E0和0分别是基态能量和基态波函数。设是任意归一化波函数，将按H的本征函数n展开：=nannH在态的期望值为-H=*Hd在态，总有：E0*Hd（9）式（9）表明：H在任意波函数态的期望值不小于体系基态能量的精确解，如果是体系的基态波函数0，则H在的态期望值等于体系的基态能量E0。因此，用变分法估算体系的基态能量时，首先要选择一个适合的含有变分参量的试探波函数()，计算在()态体系的哈密顿算符H的期望值-H，然后由d-H()d=0（10）求出H()的最小值即为基态能量E0的近似值。例3 对于一维线性谐振子，取试探波函数：(x)=(2)1/4e-x2 其中，为参数。用变分法求基态能量，并与精确解比较。解：一维线性谐振子的哈密顿算符为H=-22d2dx2+122x2在试探波函数(x)所描写的状态，该谐振子能量的期望值为-H()=-+*(x)H(x)dx将(x)代入上式并积分得-H()=22+28（11）由式（10）得d-H()d=dd(22+28)=0解得=2根据波函数的有限性，要求(x)在x处有限，则取=2将上式代入式（11）得一维线性谐振子的基态能量为E0=12用变方法求解一维线性谐振子的基态能量，与精确解完全一致。只要试探波函数形式合适，变方法甚至可以给出与精确解一样的结果5。微扰论和变分法都是常用的近似方法，微扰论使用时有一定的条件限制，但是可以求出体系的能量和波函数，并且一般可以得到相当精确的结果；变分法使用时不受条件限制，但是只能求出体系基态能量的近似值6。3 结语用微扰论和变分法可以近似求解量子力学定态问题，两种近似方法各有优点和缺点。微扰论是近似方法中最基本的一种，其优点是计算相对简单，尤其适合计算基态能量。微扰论的缺点是要求H(0)的本征值E(0)n和本征函数(0)n是已知的，并且微扰H很小。如果这些条件不满足，就不能用微扰论求解，而且微扰论只适用于低能级的修正，不能用来计算高能级的修正。变分法的优点是不受微扰论适用条件的限制，适用范围更广，估算基态的能量比较精确。变分法的缺点是选取试探波函数没有普遍适用的规律，只能依靠经验和对该物理问题的理解。参考文献1 王波,金叶,张喜花.量子力学基础教程M.重庆:重庆大学出版社,2020.2 周世勋,陈灏,肖江.量子力学教程M.3版.北京:高等教育出版社,2022.3 曾谨言.量子力学教程M.3版.北京:科学出版社,2022.4 伊雯,邱环环,汪剑津.利用试探波函数估计简谐振子基态能级J.广西物理,2021,42(3):17-22.5 卢欣,郑华.基于变分法求解氢原子的径向波函数和能级J.大学物理,2019,38(11):62-65.6 刘妮,凌铭霞,崔新林,等.T-C模型的多稳态和Dicke相变J.量子光学学报,2021,27(2):87-93.220