[工程流体力学(水力学)]第二版__禹华谦1-10章习题解答.doc

第一章 绪论
1-1．20℃的水2.5m3，当温度升至80℃时，其体积增加多少？
[解] 温度变化前后质量守恒，即
又20℃时，水的密度
80℃时，水的密度

则增加的体积为
1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度增加15%，重度减少10%，问此时动力粘度增加多少（百分数）？
[解]

此时动力粘度增加了3.5%
1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为，式中、分别为水的密度和动力粘度，为水深。试求时渠底（y=0）处的切应力。
[解]

当=0.5m，y=0时

1-4．一底面积为45×50cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s，油层厚1cm，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。

[解] 木块重量沿斜坡分力F与切力T平衡时，等速下滑

1-5．已知液体中流速沿y方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律，定性绘出切应力沿y方向的分布图。

[解]

第二章 流体静力学
2-1．一密闭盛水容器如图所示，U形测压计液面高于容器内液面h=1.5m，求容器液面的相对压强。

[解]

2-2．密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa。压力表中心比A点高0.5m，A点在液面下1.5m。求液面的绝对压强和相对压强。

[解]

2-3．多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m。试求水面的绝对压强pabs。

[解]

2-4． 水管A、B两点高差h1=0.2m，U形压差计中水银液面高差h2=0.2m。试求A、B两点的压强差。（22.736N／m2）

[解]

2-5．水车的水箱长3m,高1.8m，盛水深1.2m，以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度a的允许值是多少？

[解] 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为：

当时，，此时水不溢出

2-6．矩形平板闸门AB一侧挡水。已知长l=2m，宽b=1m，形心点水深hc=2m，倾角=45，闸门上缘A处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。

[解] 作用在闸门上的总压力：

作用点位置：

2-7．图示绕铰链O转动的倾角=60°的自动开启式矩形闸门，当闸门左侧水深h1=2m，右侧水深h2=0.4m时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x。

[解] 左侧水作用于闸门的压力：

右侧水作用于闸门的压力：

2-8．一扇形闸门如图所示，宽度b=1.0m，圆心角=45°，闸门挡水深h=3m，试求水对闸门的作用力及方向

[解] 水平分力：

压力体体积：

铅垂分力：

合力：

方向：

2-9．如图所示容器，上层为空气，中层为的石油，下层为 的甘油，试求：当测压管中的甘油表面高程为9.14m时压力表的读数。
[解] 设甘油密度为，石油密度为，做等压面1--1，则有

2-10．某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1= 1m，铰接装置于距离底h2= 0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的水深h为多少米。
[解] 当时，闸门自动开启

将代入上述不等式

得
2-11．有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s2沿与水平面成30o夹角的斜面向上运动，试求容器中水面的倾角。
[解] 由液体平衡微分方程

，，
在液面上为大气压，

2-12．如图所示盛水U形管，静止时，两支管水面距离管口均为h，当U形管绕OZ轴以等角速度ω旋转时，求保持液体不溢出管口的最大角速度ωmax。
[解] 由液体质量守恒知，I 管液体上升高度与 II 管液体下降高度应相等，且两者液面同在一等压面上，满足等压面方程：

液体不溢出，要求，
以分别代入等压面方程得：

2-13．如图，，上部油深h1＝1.0m，下部水深h2＝2.0m，油的重度=8.0kN/m3，求：平板ab单位宽度上的流体静压力及其作用点。

[解] 合力

作用点：

2-14．平面闸门AB倾斜放置，已知α＝45°，门宽b＝1m，水深H1＝3m，H2＝2m，求闸门所受水静压力的大小及作用点。

[解] 闸门左侧水压力：

作用点：

闸门右侧水压力：

作用点：

总压力大小：
对B点取矩：

2-15．如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R＝2m，容器内充满水，顶盖上距中心为r0处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r0多少时，顶盖所受的水的总压力为零。

[解] 液体作等加速度旋转时，压强分布为

积分常数C由边界条件确定：设坐标原点放在顶盖的中心，则当时，（大气压），于是，

在顶盖下表面，，此时压强为

顶盖下表面受到的液体压强是p，上表面受到的是大气压强是pa，总的压力为零，即

积分上式，得
，
2-16．已知曲面AB为半圆柱面，宽度为1m，D=3m，试求AB柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。
[解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示：

2-17．图示一矩形闸门，已知及，求证>时，闸门可自动打开。

[证明] 形心坐标
则压力中心的坐标为

当，闸门自动打开，即

第三章 流体动力学基础
3-1．检验不可压缩流体运动是否存在？
[解]（1）不可压缩流体连续方程

（2）方程左面项
；；
（2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。
3-2．某速度场可表示为，试求：（1）加速度；（2）流线；（3）t= 0时通过x=-1，y=1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？
[解] （1）
写成矢量即

（2）二维流动，由，积分得流线：
即
（3），代入得流线中常数
流线方程： ，该流线为二次曲线
（4）不可压缩流体连续方程：
已知：，故方程满足。
3-3．已知流速场，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？
[解]

代入（1，1，2）

同理：

因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是
（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动
（3），属于恒定流动
（4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。
3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？

[解] 由题意
；；······；

式中Sn为括号中的等比级数的n项和。
由于首项a1=1，公比q=0.98，项数n=8。于是

3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程：对称分布，式中管道半径r0=3cm，管轴上最大流速umax=0.15m/s，试求总流量Q与断面平均流速v。

[解] 总流量：

断面平均流速：
3-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d=200mm，测得水银差压计读书hp=60mm，若此时断面平均流速v=0.84umax，这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管中的流量Q为多大？（3.85m/s）

[解]

3-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，dB=400mm，A点相对压强pA=68.6kPa，B点相对压强pB=39.2kPa，B点的断面平均流速vB=1m/s，A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失hw。

[解]

假定流动方向为A→B，则根据伯努利方程

其中，取

故假定正确。
3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45º，如图所示。已知管径d1=200mm，d2=100mm，两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s，水银差压计读数hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。

[解]

假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程

其中，取

故假定不正确，流动方向为2→1。
由
得

3-9．试证明变截面管道中的连续性微分方程为，这里s为沿程坐标。
[证明] 取一微段ds，单位时间沿s方向流进、流出控制体的流体质量差△ms为
因密度变化引起质量差为

由于

3-10．为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径d1=200mm，流量计喉管直径d2=100mm，石油密度ρ=850kg/m3，流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数hp=150mm。问此时管中流量Q多大？

[解] 根据文丘里流量计公式得

3-11．离心式通风机用集流器A从大气中吸入空气。直径d=200mm处，接一根细玻璃管，管的下端插入水槽中。已知管中的水上升H=150mm，求每秒钟吸入的空气量Q。空气的密度ρ为1.29kg/m3。

[解]

3-12．已知图示水平管路中的流量qV=2.5L/s，直径d1=50mm，d2=25mm，，压力表读数为9807Pa，若水头损失忽略不计，试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h。

[解]

3-13．水平方向射流，流量Q=36L/s，流速v=30m/s，受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡，截去流量Q1=12 L/s，并引起射流其余部分偏转，不计射流在平板上的阻力，试求射流的偏转角及对平板的作用力。（30°；456.6kN）

[解] 取射流分成三股的地方为控制体，取x轴向右为正向，取y轴向上为正向，列水平即x方向的动量方程，可得：

y方向的动量方程：

不计重力影响的伯努利方程：

控制体的过流截面的压强都等于当地大气压pa，因此，v0=v1=v2

3-14．如图（俯视图）所示，水自喷嘴射向一与其交角成60º的光滑平板。若喷嘴出口直径d=25mm，喷射流量Q=33.4L/s，，试求射流沿平板的分流流量Q1、Q2以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计。

[解] v0=v1=v2

x方向的动量方程：

y方向的动量方程：

3-15．图示嵌入支座内的一段输水管，其直径从d1=1500mm变化到d2=1000mm。若管道通过流量qV=1.8m3/s时，支座前截面形心处的相对压强为392kPa，试求渐变段支座所受的轴向力F。不计水头损失。

[解] 由连续性方程：

伯努利方程：

动量方程：

3-16．在水平放置的输水管道中，有一个转角的变直径弯头如图所示，已知上游管道直径，下游管道直径，流量m3/s，压强，求水流对这段弯头的作用力，不计损失。

[解] （1）用连续性方程计算和
m/s； m/s
（2）用能量方程式计算
m；m
kN/m2
（3）将流段1-2做为隔离体取出，建立图示坐标系，弯管对流体的作用力的分力为，列出两个坐标方向的动量方程式，得

将本题中的数据代入：
=32.27kN
=7.95 kN
33.23kN

水流对弯管的作用力大小与相等，方向与F相反。
3-17．带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B=3m，孔高h=2m，闸前水深H=4.5m，泄流量qV=45m3/s，闸前水平，试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推力F，并与按静压分布计算的结果进行比较。

[解] 由连续性方程：

动量方程：

按静压强分布计算

3-18．如图所示，在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形，单宽流量qV=14m3/s，上游水深h1=5m，试验求下游水深h2及水流作用在单宽坝上的水平力F。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。

[解] 由连续性方程：

由伯努利方程：

由动量方程：
4-2 用式（4-3）证明压强差△p、管径d、重力加速度g三个物理量是互相独立的。
解： = = =
将 、 、 的量纲幂指数代入幂指数行列式得
= -2 0
因为量纲幂指数行列式不为零，故 、 、 三者独立。
4-4 用量纲分析法，证明离心力公式为F= kWv2 / r。式中，F为离心力；M为作圆周运动物体的质量； 为该物体的速度；d为半径；k为由实验确定的常数。
解：设
据量纲一致性原则求指数 、 、 ：
M： 1 = L ： 1 = T： -2 = -
解得 = 1 = 2 = -1 故
4-6 有压管道流动的管壁面切应力 ，与流动速度 、管径D、动力粘度 和流体密度 有关，试用量纲分析法推导切应力 的表达式。
解：[解] 由已知 选择 为基本量，m=3，n=5，则组成n-m=2个π项

将π数方程写成量纲形式

解上述三元一次方程组，得

解上述三元一次方程组，得

代入 后，可表达成
即
4-7 一直径为 d、密度为 的固体颗粒，在密度为 、动力粘度为 的流体中静止自由沉降，其沉降速度 ，其中 为重力加速度， - 为颗粒与流体密度之差。试用量纲分析法，证明固体颗粒沉降速度由下式表示：

解：选 、 、 为基本量，故可组成3个 数，即
其中，
求解各 数，
即
对于 ，

即
对于 ，
即
故 =0 化简整理，解出
又 与 成正比，将 提出，则

4-8 设螺旋浆推进器的牵引力 取决于它的直径D、前进速度 、流体密度 、粘度 和螺旋浆转速度 。证明牵引力可用下式表示：
解：由题意知，
选 为基本量，故可组成3个 数，即
其中，
即
对于
即
对于
即
故
就F解出得
4-10 溢水堰模型设计比例 =20，当在模型上测得流量为 时，水流对堰体的推力为 ，求实际流量和推力。
解：堰坎溢流受重力控制，由弗劳德准则，有 ，
由 = =
而 所以，
即
4-13 将高 ，最大速度 的汽车，用模型在风洞中实验（如图所示）以确定空气阻力。风洞中最大吹风速度为45 。
（1）为了保证粘性相似，模型尺寸应为多大？
（2）在最大吹风速度时，模型所受到的阻力为 求汽车在最大运动速度时所受的空气阻力（假设空气对原型、模型的物理特性一致）。
解：（1）因原型与模型介质相同，即
故由 准则有 所以，
（2） ，又 ，所以 即
4-14 某一飞行物以36 的速度在空气中作匀速直线运动，为了研究飞行物的运动阻力，用一个尺寸缩小一半的模型在温度为 ℃的水中实验，模型的运动速度应为多少？若测得模型的运动阻力为1450 N，原型受到的阻力是多少？已知空气的动力粘度 ，空气密度为 。
解：由 准则有 即
所以
（2）

5-2 有一矩形断面小排水沟，水深 ，底宽 流速 水温为15℃，试判别其流态。
解： ，

> ，属于紊流
5-3 温度为 ℃的水，以 的流量通过直径为 的水管，试判别其流态。如果保持管内液体为层流运动，流量应受怎样的限制？
解：由式（1-7）算得 ℃时，
（1）判别流态 因为
所以 ，属于紊流
（2）要使管内液体作层流运动，则需
即

5-4 有一均匀流管路，长 ，直径 ，水流的水力坡度 求管壁处和 处的切应力及水头损失。
解：因为
所以在管壁处：
处：
水头损失：
5-5 输油管管径 输送油量 ，求油管管轴上的流速 和1 长的沿程水头损失。已知 ， 。
解：（1）判别流态
将油量Q换成体积流量Q
，层流
（2）由层流的性质可知
（3）
5-6 油以流量 通过直径 的细管，在 长的管段两端接水银差压计，差压计读数 ，水银的容重 ，油的容重 。求油的运动粘度。
解：列1-2断面能量方程
取 （均匀流），则

假定管中流态为层流，则有
因为
属于层流
所以，
5-7 在管内通过运动粘度 的水，实测其流量 ，长 管段上水头损失 H2O，求该圆管的内径。
解：设管中流态为层流，则 而 代入上式得

验算： ， 属于层流 故假设正确。
5-9 半径 的输水管在水温 ℃下进行实验，所得数据为 ， ， 。
（1）求管壁处、 处、 处的切应力。
（2）如流速分布曲线在 处的速度梯度为 4.34 ，求该点的粘性切应力与紊流附加切应力。
（3）求 处的混合长度及无量纲常数 如果令 ，则 ？
解：（1）

（2）

（3） 所以 =
又
若采用 ， 则

5-10 圆管直径 ，通过该管道的水的速度 ，水温 ℃。若已知 ，试求粘性底层厚度 。如果水的流速提高至 ，如何变化？如水的流速不变，管径增大到 ， 又如何变化？
解： ℃时，
（1）
（2）
（3）
5-12 铸铁输水管长 =1000 ，内径 ，通过流量 ，试按公式计算水温为10℃、15℃两种情况下的 及水头损失 。又如水管水平放置，水管始末端压强降落为多少？
解：
(1)t=10℃ 时，符合舍维列夫公式条件，因 ，故由式（5-39）有

(2)t=15℃时，由式（1-7）得

由表5-1查得当量粗糙高度 则由式（5-41）得，

5-13 城市给水干管某处的水压 ，从此处引出一根水平输水管，直径 ，当量粗糙高度 = 。如果要保证通过流量 ，问能送到多远？（水温 ℃）
解： t=25℃时，

由式（5-41）得，
又
由达西公式 得
5-14 一输水管长 ，内径 管壁当量粗糙高度 ，运动粘度 ，试求当水头损失 时所通过的流量。
解：t=10℃时，由式（1-6）计算得 ，假定管中流态为紊流过渡区
因为
代入柯列勃洛克公式（5-35）得
㏒ = -2㏒( )
所以
=
检验：

因为 ,属于过渡区，故假定正确，计算有效。
5-16 混凝土排水管的水力半径 。水均匀流动1km的水头损失为1 m,粗糙系数 ，试计算管中流速。
解：水力坡度 谢才系数
代入谢才公式得
5-20流速由 变为 的突然扩大管，如分为二次扩大，中间流取何值时局部水头损失最小，此时水头损失为多少？并与一次扩大时的水头损失比较。
解：一次扩大时的局部水头损失为：
分两次扩大的总局部水头损失为：
在 、 已确定的条件下，求产生最小 的 值:

即当 时，局部水头损失最小，此时水头损失为

由此可见，分两次扩大可减小一半的局部水头损失。
5-21 水从封闭容器 沿直径 ，长度 的管道流入容器 。若容器 水面的相对压强 为2个工程大气压， ，局部阻力系数 沿程阻力系数 ，求流量 。
解：取 基准面，列 断面能量方程

所以 =
=
Q= =
5-22 自水池中引出一根具有三段不同直径的水管如图所示。已知 ， ， ，局部阻力系数 求管中通过的流量并绘出总水头线与测压管水头线。
解：取 基准面，则 断面方程得

其中，

5-23 图中 ， ，计算水银差压计的水银面高差 ，并表示出水银面高差方向。
解：以 为基准面，据
又
= =7.65
5-25 计算图中逐渐扩大管的局部阻力系数。已知 ， 工程大气压， ， 工程大气压， ，流过的水量 。
解：以 断面为基准面，据
又，

第六章 理想流体动力学
6-1平面不可压缩流体速度分布为
Vx=4x+1；Vy=-4y.
(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ
解：（1）由于，故该流动满足连续性方程
（2）由ωz=()=＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，.
（3）因 Vx=4x+1
Vy==-=-4y
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy
φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy
=2x2-2y2+x
dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy
ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy= 4ydx+(4x+1)dy
=4xy+y
6-2 平面不可压缩流体速度分布:
Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y).
(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ .
解：（1）由于+=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在.
(2）由ωz=()=＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.
（3）因 Vx= == x2-y2+x, Vy==-=-(2xy+y).
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dy
φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy = (x2-y2+x )dx+(- (2xy+y))dy =-xy2+(x2-y2)/2
dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy
ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy =(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/3
6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x2-y2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值
解: 因 Vx= ==2x-1，Vy ＝，由于+＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在
dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy
ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y
在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3
在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6

6-4已知平面流动速度势函数 φ=-lnr,写出速度分量Vr,Vθ,q为常数。
解: Vr= =-, Vθ===0
6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-mθ+C ,写出速度分量Vr、Vθ, m为常数
解: Vr= =0, Vθ===-
6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy, 求出速度势函数φ.
解： 因 Vx= == 1
Vy==-=-1
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy
φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-y

ax=；
ay=
6-7 已知平面流动流函数ψ=x2-y2,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.
解： 因 Vx= == -2y
Vy==-=-2x
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy
φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=-2ydx+(-2x)dy=-2xy
ax=x
ay=y;
6-8一平面定常流动的流函数为

试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，）两点的流线方程.
解：,
平面上任一点处的速度矢量大小都为，与x和正向夹角都是。
A点处流函数值为•，通过A点的流线方程为。同样可以求解出通过B点的流线方程也是。
6-9 已知流函数ψ=V∞(ycosα-xsinα),计算其速度,加速度,角变形率(==(+)),并求速度势函数φ.
解： 因 Vx= == V∞cosα
Vy==-= V∞sisα
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy
φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy= V∞cosαdx+ sisαdy
= V∞( cosαx+ sisαy)
ax=
ay=;
==(+)=0
6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。
解: 不可压缩三维流动的连续性方程为
将关系代入上式得到

或
可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。
6-11 什么样的平面流动有流函数?
答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程

或
的情况下平面流动有流函数.
6-12 什么样的空间流动有势函数?
答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量=i+j+k都是零矢量，即，或关系成立, 这样的空间流动有势函数.
6-13 已知流函数ψ=-,计算流场速度.
解: Vr==-
Vθ=-=0
6-14平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x2-3y2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量.
解： 因 Vx==a(3x2-3y2)
Vy==-=-6axy
dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dy
ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy
=6axydx+(3x2-3y2)dy =3x2y-ay3
在A(0,0)点 ψA=0； B（1,1）点ψB=2a，q=ψA-ψB=-2a.
6-15 平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x2 +y2), 试确定该流动的势函数φ.
解：因 Vx= ==
Vy==-=-
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx-dy
Vxdx+Vydy=dx-dy=-2
6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?
解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为，, 流函数分别为。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数可由下式求出：

同样，合成流动的流函数等于

6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数和流函数与速度分量有什么关系?
解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数和流函数与速度分量有如下关系.

6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?
解:在平面定常有势流动中，势函数只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。
6-19 试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=V∞)的速度势函数φ，流函数ψ.
解：因 Vx= ==0
Vy==-=V∞
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=0dx+ V∞dy φ= V∞y
dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=- V∞dx - V∞x
6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y；Vy=-y-4x 试证：
（1） 该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势的，求φ, (3)求ψ，
解：（1）由于 1-1=0，故该流动满足连续性方程, 流函数ψ存在
(2）由于ωz= ()=0, 故流动有势, 势函数φ存在.
3）因 Vx= =x-4y
Vy==-=-y-4x
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy
φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy
=
dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy
ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy
=xy+2(x2-y2)
6-21 已知平面流动流函数ψ=arctg，试确定该流动的势函数φ.
解：因 Vx= ==
Vy==-=
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+dy
φ= dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy= dx+dy
=
6-22 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x2+x-y2, (Ⅱ)ψ=2xy+y.
证明:对 (Ⅰ)φ=x2+x-y2
Vx= =2x+1
Vy==-2y
对 (Ⅱ) ψ=2xy+y
Vx =2x+1
Vy=-=-2y
可见与代表同一流动.
6-23 已知两个点源布置在x轴上相距为a的两点，第一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q0）。
解: 两个流动的势函数分别为及, 合成流动的势函数为+, +)=
(+)=
6-24 如图所示，平面上有一对等强度为的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流，试求合成速度在原点的值。

解: 平面上无穷远平行于x轴的来流, 上,下两点涡的势函数分别为，, , 因而平面流动的势函数为+ ,
,+,将原点坐标(0,0)代入后可得, .
6-25 如图，将速度为的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。

解: 均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为及, 因而平面流动的势函数为+, , ,令, 得到,.
6-26如图，将速度为的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.

解: 先计算流场中驻点位置.
均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为及, 因而平面流动的势函数为+, , ,令, 得到,.此即流场中驻点位置.
均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为, ,因而平面流动的流函数为+, 在驻点, 因而经过驻点的流线方程为+=0
6-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。
解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为-, , , 因而平面流动的势函数为+-

,

令, 得到,.此即流场中驻点位置.
6-28 一平面均匀流速度大小为，速度方向与x轴正向夹角为，求流动的势函数和流函数。
解: ,
dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy
φ=dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+dy=x+ y
dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy
ψ= dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy=-dx+=-x+
第七章
7.1 水以来流速度v0=0.2m/s顺流绕过一块平板。已知水的运动粘度，试求距平板前缘5m处的边界层厚度。
【解】计算x=5m处的雷诺数

该处的边界层属湍流

7.2 流体以速度v0=0.8m/s绕一块长 L=2m的平板流动，如果流体分别是水（）和油（），试求平板末端的边界层厚度。
【解】先判断边界层属层流还是湍流
水：
油：
油边界层属层流

水边界层属湍流

7.3 空气以速度v0=30m/s吹向一块平板，空气的运动粘度，边界层的转捩临界雷诺数，试求距离平板前缘x=0.4m及x=1.2m的边界层厚度。空气密度。
【解】（1）x=0.4m，，为层流边界层

（2）x=1.2m，，为湍流边界层

7.4 边长为1m的正方形平板放在速度v0=1m/s的水流中，求边界层的最大厚度及双面摩擦阻力，分别按全板都是层流或者都是湍流两种情况进行计算，水的运动粘度。
【解】b=1m, L=1m,
层流：

湍流：

7.5 水渠底面是一块长L=30m，宽b=3m的平板，水流速度v0=6m/s，水的运动粘度，试求：（1）平板前面x=3m一段板面的摩擦阻力；（2）长L=30m的板面的摩擦阻力
【解】设边界层转捩临界雷诺数，因为
,
所以
(1) x=3m，平板边界层为混合边界层

(2) L=30m，平板边界层为混合边界层

7.6 一块面积为的矩形平板放在速度的水流中，水的运动粘度，平板放置的方法有两种：以长边顺着流速方向，摩擦阻力为F1；以短边顺着流速方向，摩擦阻力为F2。试求比值F1/F2。
【解】设定转捩雷诺数，那么
长边顺着流速方向时，b1=2m，L1=8m，L1>xcr，整个平板边界层为混合边界层，那么摩擦阻力为

短边顺着流速方向时，b2=8m，L2=2m，L2>xcr，整个平板边界层也为混合边界层，那么摩擦阻力为

这里

所以

7.7 平底船的底面可视为宽b=10m，长L=50