中学青年数学教师优秀课观摩课课件 函数的极值.doc

3．8 函数的极值
教材《人教版 全日制普通高级中学教科书 数学第三册（选修II）》
1. 教学目标
知识技能目标：
掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；
掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法；
了解可导函数极值点与=0的逻辑关系；
培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.
过程与方法目标：
培养学生观察 分析 探究 归纳得出数学概念和规律的学习能力。
情感与态度目标：
培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；
体会数学中的局部与整体的辨证关系.
2．教学重点和难点
重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.
难点：为函数极值点与=0的逻辑关系.
3．教学方法与教学手段
师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.
利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.
4、教学过程
1.引入
情景创设
学生活动
教师活动
设计理由
利用学生们熟悉的海边体育运动—冲浪，直观形象地引入函数极值的定义.
学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.
多媒体演示图形

直观形象，立即抓住学生.
2
函数极值
的定义

掌握函数极值的定义.
着重理解：“在点附近”的含义。
体会：极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
教师给出函数极值的定义:
一般地,设函数在点附近有定义，
如果对附近的所有的点，都有﹤,我们就说是函数的一个极大值，记作y极大值=；
如果对附近的所有的点，都有﹥，我们就说是函数的一个极小值，记作y极小值=.
强调：极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值.
易于接受直接给出
(幻灯片打出) .

3
再观察再认识
再观察冲浪板在波峰波谷时的状态.

(冲浪板近似的理解为曲线的切线)
寻找函数极值点与导数之间的关系.
不难得出：(1)曲线在极值点处切线的斜率为0；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.
（巩固导数与函数单调性之间的关系）
复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；
教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.

给出寻找和判断可导函数的极值点的方法：
(1) 如果在附近的左侧﹥0，
右侧﹤0,那么,是极大值；
(左正右负为极大)
(2) 如果在附近的左侧﹤0,
右侧﹥0,那么,是极小值.
(右正左负为极小)
根据大纲要求及学生的知识水平,此处突出直观性,降低理论性.
4 应用1
求函数=
的极值.

教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。
解:∵=x2-4,由=0解得x1=2, x2=-2.当x变化时,、的变化情况如下表:

(-∞,-2）
-2
（-2,2）
2
(2,+∞）

+
0

0
+

极大值

极小值

当x=-2时,y极大值=；当x=2时,y极小值=.
这是本节课的重点，利用导数知识求可导函数的极值.
5归纳

求可导函数的极值的步骤：
(1)求导数；
(2)求方程=0的根；
(3)检查在方程的根左右的值的符号.如果左正右负,那么在这个根处取极大值；如果左负右正,那么在这个根处取极小值.
幻灯片打出
6练一练

P130 练习

学生独立完成,然后口答。
思考：（1），（2）问中的极值是该函数的最值吗？
体会：局部与整体的关系。
及时点评，并给出正确答案
(1)极小值==；
(2)极大值==；
(3)极大值==54,极小值==-54；
(4)极大值==2,极小值==-2.
及时巩固重点内容，作到课堂上就过手。

7探索

让学生逐步归纳出为函数极值点与=0的逻辑关系.
若寻找函数极值点,可否只由=0求得即可?
探索:x=0是否是函数=x的极值点?
（展示此函数的图形）
结论：左右侧导数异号 是函数f(x)的极值点 =0
删除严格的推导过程.
8应用2

求y=(x-1)+1的
极值.

仿应用1解答此题.
思考教师提出的问题.

分析应用2，让学生参与解答.
提出思考问题：能否利用“穿轴法”优化解题书写过程？ =0的偶重根处是否是极值点？

再次强调：要想知道是极大值点还是极小值点就必须判断左右侧导数的符号.
这是本节课的难点内容：利用函数极值点与=0的逻辑关系解决多峰函数的极值问题.
9小结

可导函数的极值与导数的关系：
函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大；
点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.

10研究性问题

求函数=
的极值.

解：的定义域为R，且=可知当x=1时,=0；而当x=0和x=2时，不存在.由“穿轴法”图可知函数有极小值=0，=0，有极大值=1.
着重说明：函数的导数不存在的点也可能是极值点.
层层递进
可留给同学们作为研究性问题，使得知识更全面.
11作业

P136习题3.8 选作：已知=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1处取得极值,且=-1.(1)求a,b,c的值;(2)判断x=1时函数取极大值还是极小值,并说明理由.

适当分层
让不同的人学习不同的数学.
12启下

我们知道了函数的一种局部性质——极值，那我们一定也想知道它的一种整体性质——最值，这是我们下堂课的内容.
引出下一堂的课题.
(局部与整体）

附 教学设计说明
本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。其后还有利用导数求函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用.
由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致，大学里还将继续深入学习，因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明.让学生掌握的重点内容：求可导函数的极值的方法和一般步骤，必须在课堂上就过手.对于难点问题：为函数极值点与=0的逻辑关系，可由教师层层递进性的主动提出，师生共同探究完成，体现教师的主导性和学生的主体性.
本节教案中的研究性问题为补充例题，选取它的目的是想体现知识的完整性，教师可根据自己学生的认知能力以及课时情况适当删减.
作业采取适当分层的办法，既可以照顾大多数，又让学有余力者可以发挥.

另:板书设计
3．8 函数的极值
函数的极值的定义
判断可导函数极值的方法
3．应用1求函数y=的极值

（板书解题过程）

4．求可导函数的极值的步骤:
5．应用2求y=（x-1）+ 1的极值。

(学生口答,教师板书解题过程)

6．可导函数的极值与导数的关系：左右侧导数异号 是可导函数的极值点
=0
7．研究问题：求函数y=的极值

8．作业P136习题3.8, 选作
一堂课结束以后,黑板上应留下完整的教学基本结构, 重点内容或是易错问题应用彩色笔加以突出. 让学生有整体上的知识结构图,课后有回忆，有思索的空间.