拓扑空间上一类函数的极限及连续性.pdf

Pure Mathematics 理论数学理论数学,2023,13(8),2225-2230 Published Online August 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/pm https:/doi.org/10.12677/pm.2023.138228 文章引用文章引用:康晨佳,邹志伟.拓扑空间上一类函数的极限及连续性J.理论数学,2023,13(8):2225-2230.DOI:10.12677/pm.2023.138228 拓扑空间上一类拓扑空间上一类函数的极限函数的极限 及连续性及连续性 康晨佳康晨佳，邹志伟邹志伟 南华大学数理学院，湖南 衡阳 收稿日期：2023年6月25日；录用日期：2023年7月26日；发布日期：2023年8月2日 摘摘 要要 极限和连续是实数集理论最重要的概念，而实数集可以看作特殊的拓扑空间，因此如何定义拓扑空间到极限和连续是实数集理论最重要的概念，而实数集可以看作特殊的拓扑空间，因此如何定义拓扑空间到实数域上函数的极限及连续是具有重要研究意义的。本文借助于拓扑空间中邻域的概念给出了极限和连实数域上函数的极限及连续是具有重要研究意义的。本文借助于拓扑空间中邻域的概念给出了极限和连续的定义，证明了它们续的定义，证明了它们的的充要条件并讨论了相关性质。充要条件并讨论了相关性质。关键词关键词 拓扑空间，连续函数，极限拓扑空间，连续函数，极限 Limit and Continuity of a Class of Functions on Topological Spaces Chenjia Kang,Zhiwei Zou School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang Hunan Received:Jun.25th,2023;accepted:Jul.26th,2023;published:Aug.2nd,2023 Abstract Limit and continuity are the most important concepts in the theory of the real number set,and the real number set can be regarded as a special topological space,so how to define the limit and con-tinuity of the function from the topological space to the real number field is of great research sig-nificance.In this paper,we give the definition of limit and continuity by means of the concept of neighborhood in topological space,prove their sufficient and necessary conditions,and discuss their related properties.康晨佳，邹志伟 DOI:10.12677/pm.2023.138228 2226 理论数学 Keywords Topological Space,Continuous Function,Limit Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 众所周知，拓扑空间是一种数学结构，可以在上面形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。连续映射理论是拓扑学中最重要的研究内容之一。不少学者在拓扑空间中引入了各种各样的极限和连续性的概念，并系统研究了各种连续的性质及其应用(参考文献1-9等)，丰富了拓扑空间理论。本文在此研究基础上对拓扑空间到拓扑空间，实数到实数的连续函数和恒等映射等概念进行推广给出了拓扑空间到实数域上极限和连续函数等概念(参考文献10 11 12)，研究了拓扑空间上连续映射的等价条件，并讨论了拓扑空间中连续函数的基本性质。本文进一步丰富和完善了连续映射理论，为深入研究拓扑空间理论提供了新的理论工具。2.预备知识预备知识 本节给出实数集上极限和连续函数以及拓扑空间中的基本概念，更多结果见参考文献10 11 12：定义定义 2.1.10设函数()f x在点0 x的某个邻域()0 xU中有定义，如果函数()f x当0 xx时有极限存在 且等于它在点0 x处的函数值()0f x，即()()00limxxf xf x=，那么我们就称函数()f x在点0 x处连续。定义定义2.2.10(函数极限的定义)设函数f在点0 x的某个空心邻域()0;Ux内有定义，A为定数。若对任给的0，存在正数()，使得当00 xx时有()f xA使得当0 xx时有()()0f xf x，0 xU，使得0 xxU，()f xA，()10Ux。()()10:2xUxf xA，()20Ux。()()20:2xUxf xB，0 xU，使得当()0 xUx 时，()0f x 成立。证明：证明：取()02f x=，由0，0 xU，使得0 xxU 时，有()()()002f xf xf x=即()()()()()000022f xf xf xf xf x。推论推论 3.1.(线性关系)若()()00limxxf xf x=，()()00limxxg xg x=，由此可推出下列式子也成立()()()()()0121020limxxk f xk g xk f xk g x+=+。证明：证明：0，0 xU，使得0 xxU 时，有()()012f xf xk，()()022g xg xk()()()()()()()()121210201102201222kkk f xk g xk f xk g xk f xk f xk g xk g xkk+，当()0 xUx时，()2Af x 成立。证明：证明：由()0limxxf xA=及()()f xAf xA可知()0limxxf xA=令()2Ag x=，由2AA，当0 xxU时成立()2Af x。推论推论 3.3.若()0limxxf xA=，()0limxxg xB=，且0 xU，使得()0 xUx时，成立()()f xg x则AB。证明：证明：(反证法)若BA，则由定理 3.2 知，当()01 xxU时()01 xU，()()g xf x取()()()20010min,UxUxUx=，则当()02 xxU时，既有()()g xf x又有()()g xf x从而产生矛盾。推论推论 3.4.(局部有界性)若()0limxxf xA=，则0 xU使得()f x在0 xU中有界。证明：证明：取常数 M 和 m，满足mAM，令()g xm=，()h xM=为两个常拓扑算子，由定理 3.2 可知0 xU，当0 xxU时成立()mf xM，由()0limxxh xA=，可知()01 xU，()()0:xUxh xA，从而()h xA，()()02:xxUg xA，从而()Ag x取()()()()3010200min,UxUxUxUx=，()()()()30:xUxAg xf xh xA，0 x的一个开邻域0 xU，使得当0 xxU时，()()0f xf x使得()()()21,f xUf x又因为 f 在1x处连续，1x使得1xxU，必有()()()1,f xUf x，得到()12xf xU所以()()()21,f xUf x，与假设矛盾。例例 3.3.平庸拓扑空间上的拓扑连续函数必为恒等映射。证明：证明：已知(),X为平庸拓扑空间，对xX，()f xX，映射:fXX，定义()f xx=，则必为恒等映射。推论推论 3.5.设:fXR是一个映射，则以下两个条件等价：(1):fXR是拓扑连续函数；(2)f 为(),X到()0,R上的拓扑连续映射。证明：证明：(1)(2)设0V，令()1fVU=，xU，即要证U，xU 有()0f xV,a bR使得()()0,f xa bV又因为 f 在0 x处连续所以0 xU使得()()0,xf Ua bV有0 xUU所以U。(2)(1)0 xX，()()()0,f xf x+，令()()(),f xf xU+=因为 f 为XR上的拓扑连续映射，所以我们有()1fUV=，()f VU=，0 xV即()()()(),f VUf xf x=+因此 f 在0 x处连续，又因为 x 的任意性，所以 f 在 x 处连续。推论推论 3.6.设:fXR是一个映射，若XR，0继承拓扑，则以下条件两两等价：(1):fXR是拓扑连续函数；(2):fXR拓扑连续；康晨佳，邹志伟 DOI:10.12677/pm.2023.138228 2229 理论数学 (3):fXR是连续函数。证明：证明：由推论 3.5 可知，(1)(2)显然成立.下面我们只证明(1)(3)便可全部证出(1)(3)0 xU，使得，当()()()()0,xf Uf xf x+时有()00,xxa bU，00min,xa bx=所以()()000,xxU xa bU，()()()()()()00,xf U xf Uf xf x+我们得:fXR是连续函数。(3)(1)0，0，当0 xx时有()()0f xf x当()0,xU x时有()()()(),f xf xf x+因为()0,U x为包含0 x的一个邻域，所以开集0 xU使得()000,xxUU x，()()()()()()00,xf Uf U xf xf x+因此对0 xx，0 x的开邻域0 xU使得当0 xxU时有()()0f xf x因此得到:fXR是拓扑连续函数。定理定理 3.3.若:fXR为拓扑连续函数，DX，若 D 为 X 中的一个紧集，则()f D为 R 中的一个紧集。证明：证明：D 为 X 中的一个紧集，又因为:fXR为拓扑连续函数由推论 3.6 知:fXR为拓扑连续映射因此得出()f D为 R 的一个紧集。定理定理 3.4.(有界定理)设:fXR为拓扑连续函数，DX，若 D 为 X 中的一个紧集，则()f D有界。证明：证明：D 为 X 中的一个紧集，:fXR为拓扑连续函数，由定理 3.3.知()f D为 R 的一个紧集，所以()f D为 R 上的闭区间，因此()f D有界。定理定理 3.5.(最值定理)设:fXR为拓扑连续函数，DX，若 D 为拓扑空间 X 上的一个紧致子集，则()f D在 R 上必能取到最大值和最小值。证明：证明：由定理 3.4 知()fRf x xD=是有界的，所以必有上确界supfMR=和下确界inffmR=现 在证明yD，使得()fyM=。设，对于xD 有()f xM，令()()1g xMf x=，xD，因为fR有界，所以对xD，12,g g使得()121ggMf x，()1211Mf xMgg得到1211,MMgg为()f x的一个邻域，又因为 f 为拓扑连续函数，所以一定x的一个邻域xU使得()1211,xf UMMgg，()()12,xg Ug g，由于 g 在点 x 处连续得到 g 在 D 上连续，所以对xD，()g x在 R 上有界()gRg x xD=。令supgGR=，()10GMf x对xD 成立，()1f xMG与 M 为()f x的上确 界矛盾，因此yD，使得()fyM=。基金项目基金项目 湖南省自然科学基金青年项目：Domain 理论中一类新近似算子的研究(项目编号：2019JJ50505)。参考文献参考文献 1 卢天秀,朱培勇.拓扑空间上半连续函数的等价条件J.西南师范大学学报(自然科学版),2010,35(5):50-53.2 张风,魏建刚.下半连续函数的逼近性质J.数学研究,1999,32(2):194-197.3 Borsk,J.(1993)Errata to“Limits of Simply Continuous Functions”.Real Analysis Exchange,19,57.https:/doi.org/10.2307/44153813 4 熊良鹏.一类和式数列极限探讨J.高等数学研究,2021,24(6):23-25.5 陈舒婷,陈水利,蔡璐蔚,等.拓扑空间中的半弱连续映射及其性质J.集美大学学报(自然科学版),2020,25(4):311-316.康晨佳，邹志伟 DOI:10.12677/pm.2023.138228 2230 理论数学 6 陈英玮,钱有华.关于算子连续映射J.南昌大学学报(理科版),2005,29(6):577-578.7 Vechtomov,M.E.(1990)On Semigroups of Continuous Partial Functions of Topological Spaces.Russian Mathemati-cal Surveys,45,192-193.https:/doi.org/10.1070/RM1990v045n04ABEH002384 8 何晓丹.拓扑空间中的连续映射分解及几种近似紧性D:硕士学位论文.江门:五邑大学,2013.9 安艳.拓扑空间中一类紧性与分离性的研究D:硕士学位论文.呼和浩特:内蒙古师范大学,2018.10 华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2021.11 熊金城.点集拓扑讲义M.北京:高等教育出版社,2011.12 朱培勇,雷银彬.拓扑学导论M.北京:科学出版社,2009.