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平面向量的数量积教案(带答案)
平面向量的数量积教案(带答案)

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平面向量的数量积教案
教学目标：
(i）知识目标:
（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示。
（2） 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标:
（1） 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力。
(2） 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点: 1。 掌握平面向量的数量积及其几何意义。
2。 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点: 平面向量数量积的综合应用。
 教学过程：
一、知识梳理
1．平面向量数量积(内积）的定义:已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量｜|｜｜cosq叫与的数量积，记作×，即× = ||｜｜cosq,并规定与任何向量的数量积为0
2．平面向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影||cosq的乘积.
3．两个向量的数量积的性质 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
1°× = × =｜|cosq； 2°^ Û × = 0
3°当与同向时，× = ｜|｜|；当与反向时,× = -|｜｜｜，特别地× = ｜|2
4°cosq = ； 5°｜×｜ ≤ ｜|｜｜
4。平面向量数量积的运算律
① 交换律： × = × ② 数乘结合律：（)× =(×） = ×(）
③ 分配律：（ + )× = × + ×
5.平面向量数量积的坐标表示
①已知两个向量，，则。
②设，则.
③平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、，那么.
④向量垂直的判定 两个非零向量，,则 。
⑤两向量夹角的余弦 cosq = （）.
二、典型例题
1. 平面向量数量积的运算
例题1 已知下列命题：
①; ②; ③; ④
其中正确命题序号是 ②、④ .
点评: 掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
例题2 已知； (2） ;(3） 的夹角为，分别求.
解(1)当 时， =或=。
（2）当时, =。
(3)当的夹角为时， =.
变式训练：已知,求
解：=
点评： 熟练应用平面向量数量积的定义式求值，注意两个向量夹角的确定及分类完整.
2。夹角问题
例题3 若，且,则向量与向量的夹角为 （ )
A。 B。 C. D.
解：依题意 故选C
变式训练1:① 已知，求向量与向量的夹角.
② 已知，夹角为，则 .
解： ① ，故夹角为。
②依题意得.
变式训练2:已知是两个非零向量,同时满足，求的夹角.
法一 解：将两边平方得 ，
则, 故的夹角.为。
法二: 数形结合
点评：注意两个向量夹角共起点，灵活应用两个向量夹角的两种求法。
3.向量模的问题
例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.
解： ,且的夹角为
;
变式训练 :
①（2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围 （ ）
A。 B. C。 D.
②（2006年福建） 已知的夹角为，, ,则 等于( ）
A 5 B. 4 C。 3 D. 1
解： ① , 故选C
②, ，解得,故选B
点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.
4.平面向量数量积的综合应用
例题5 已知向量.
(1) 若 ； (2）求的最大值 。
解:(1)若，则,。
（2) ==

，的最大值为.
例题6已知向量，且满足,
(1) 求证 ； (2）将与的数量积表示为关于的函数；
(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.
解：（1)
, 故
（2) ,

故。
（3） ，此时当最小值为。
,量与向量的夹角

小结
1. 掌握平面向量数量积的定义及几何意义,熟练掌握两个向量数量积的五个性质及三个运算率。
2. 灵活应用公式× = ||｜|cosq , ， .
3. 平面向量数量积的综合应用
作业
1．设i，j是互相垂直的单位向量，向量a＝(m＋1）i－3j，b＝i＋（m－1)j，（a＋b)⊥(a－b），则实数m的值为（　　)
A．－2　　 B．2 C．－ D．不存在
解析：由题设知：a＝（m＋1，－3)，b＝(1，m－1）,∴a＋b＝（m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2）．∵（a＋b)⊥(a－b）,∴（a＋b)·（a－b）＝0,∴m(m＋2）＋(m－4)(－m－2）＝0,解之得m＝－2.故应选A.
答案：A
2．设a，b是非零向量，若函数f（x)＝(xa＋b)·（a－xb）的图象是一条直线,则必有（　　)
A．a⊥b B．a∥b C．|a｜＝｜b| D．｜a｜≠|b｜
解析:f(x）＝（xa＋b）·(a－xb)的图象是一条直线，即f（x)的表达式是关于x的一次函数．
而（xa＋b)·(a－xb)＝x｜a|2－x2a·b＋a·b－x|b|2，故a·b＝0，又∵a，b为非零向量,∴a⊥b，故应选A。
答案：A
3．向量a＝(－1,1）,且a与a＋2b方向相同，则a·b的范围是（　　)
A．(1，＋∞） B．（－1，1） C．(－1，＋∞) D．（－∞，1)
解析:∵a与a＋2b同向，∴可设a＋2b＝λa（λ>0)，则有b＝a，又∵|a|＝＝，
∴a·b＝·|a|2＝×2＝λ－1>－1,∴a·b的范围是(－1,＋∞),故应选C.
答案：C
4．已知△ABC中， a·b<0，S△ABC＝，|a|＝3，｜b|＝5，则∠BAC等于(　　)
A．30° B．－150° C．150° D．30°或150°
解析:∵S△ABC＝｜a｜|b｜sin∠BAC＝，∴sin∠BAC＝，又a·b<0，∴∠BAC为钝角,
∴∠BAC＝150°。
答案：C
5．(2010·辽宁）平面上O,A，B三点不共线，设则△OAB的面积等于（　　)
A。 B。 C。 D.
解析：cos〈a，b>＝，sin∠AOB＝＝，
所以S△OAB＝|a|｜b｜sin∠AOB＝.
答案：C
6．(2010·湖南）在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝4，则等于（　　）
A．－16 B．－8 C．8 D．16
解析:解法一：因为cosA＝，故cosA＝AC2＝16，故选D。
解法二：在上的投影为||cosA＝||，
故cosA＝AC2＝16，故选D.
答案：D
7．(2010·江西）已知向量a,b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是________．
解析：b在a上的投影是｜b｜cos〈a，b〉＝2cos60°＝1。
答案：1
8．（2010·浙江）已知平面向量α，β,｜α|＝1，｜β｜＝2，α⊥（α－2β），则|2α＋β｜的值是________．
解析：由于α⊥（α－2β)，所以α·(α－2β）＝｜α｜2－2α·β＝0，故2α·β＝1,所以｜2α＋β|＝＝＝.
答案：
9．已知|a｜＝2，|b|＝,a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直,则λ＝________。
解析:由λb－a与a垂直,（λb－a）·a＝λa·b－a2＝0,所以λ＝2。
答案：2
10．在△ABC中,O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则）的最小值是________．
解析：令||＝x且0≤x≤2，则｜｜＝2－x. ＝－2（2－x）x＝2(x2－2x)＝2（x－1)2－2≥－2。 ∴的最小值为－2.
答案：－2
11．已知｜a｜＝，｜b｜＝1,a与b的夹角为45°，求使向量(2a＋λb)与（λa－3b)的夹角是锐角的λ的取值范围．
解:由|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°,则a·b＝|a｜|b｜cos45°＝×1×＝1.
而（2a＋λb)·（λa－3b）＝2λa2－6a·b＋λ2a·b－3λb2＝λ2＋λ－6.
设向量(2a＋λb）与(λa－3b）的夹角为θ,则cosθ＝>0，且cosθ≠1，
∴（2a＋λb）·（λa－3b)〉0，∴λ2＋λ－6>0，∴λ〉2或λ〈－3.
假设cosθ＝1，则2a＋λb＝k(λa－3b）(k>0),∴解得k2＝－.
故使向量2a＋λb和λa－3b夹角为0°的λ不存在．
所以当λ〉2或λ<－3时,向量(2a＋λb）与（λa－3b）的夹角是锐角．
评析:由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝去判断θ分五种情况：cosθ＝1,θ＝0°;cosθ＝0，θ＝90°;cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ〈0且cosθ≠－1，θ为钝角；cosθ>0且cosθ≠1，θ为锐角．
12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα）（0°≤α〈360°）,b＝。
(1）求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)当向量a＋b与a－b的模相等时,求α的大小．
解：（1）证明：因为(a＋b)·(a－b)＝｜a|2－｜b|2＝（cos2α＋sin2α）－＝0,故a＋b与a－b垂直．（2)由|a＋b|＝｜a－b｜，两边平方得3|a|2＋2a·b＋|b｜2＝｜a｜2－2a·b＋3|b|2，
所以2(|a｜2－｜b｜2）＋4a·b＝0，而｜a｜＝｜b｜，所以a·b＝0,则·cosα＋·sinα＝0，
即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k·180°＋90°，即α＝k·180°＋30°，k∈Z，
又0°≤α〈360°,则α＝30°或α＝210°。
13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ）),b＝，
(1)求证：a⊥b;
(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb满足x⊥y，试求此时的最小值．
解：(1)证明：∵a·b＝cos（－θ）·cos＋sin（－θ）·sin＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.
∴a⊥b.
(2）由x⊥y，得x·y＝0,即［a＋(t2＋3）b]·（－ka＋tb）＝0，
∴－ka2＋（t3＋3t）b2＋[t－k（t2＋3)]a·b＝0，∴－k|a｜2＋（t3＋3t)｜b|2＝0。
又｜a|2＝1，|b｜2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0,∴k＝t3＋3t，
∴＝＝t2＋t＋3＝2＋。故当t＝－时，有最小值。