微积分与矩形面积.doc

积分
　　1）问题的提出——求曲边梯形的面积
　　可以用矩形面积近似取代曲边梯形面积. 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

　　　　　　　　　　　　（图一）
　　　　图二中用四个小矩形逼近

　　　　　　　　　　　　（图二）
　　　　图三中用九个小矩形逼近

　　　　　　　　　　　　（图三）
　　　　曲边梯形面积的近似值为：

　　　　当等分间隔无穷多时：

　　　　　　　　　　　　　　　（图四）
　　2）定积分的定义
　　　　上式的这个极限称为函数在区间上的定积分，记为：

　　3）定积分的几何意义
　　　　曲边梯形的面积：

　　　　曲边梯形的面积的负值：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（图五）
　　　　图五中曲线与坐标轴所围区域的面积为：

　　4）定积分的性质

　　5）原函数与不定积分的概念
　　　　定义：
　　　　如果在区间 内，可导函数的导函数为，即，都有或
，那么函数就称为或在区间内的原函数。

　　例：
　　　　　，是的原函数．
　　　　　，是在区间内的原函数．
　　　　　原函数并非唯一，如：
　　　　　，C为任意常数

　　　　不定积分的定义：
　　在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，
记为．

　　6）积分的基本计算
　　　　ⅰ°由不定积分的定义可知，寻找原函数是计算的关键
　　　　例如：

　　　　微分运算与求不定积分的运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 如：

　　　　ⅱ°定积分是特殊条件下的不定积分

　　　　　这称为牛顿—莱布尼茨公式　　　　　　　　　　　　　
　　　例1:求

　　　　　　 解：

　　　　 例2: 求

　　　　　　 解：

　　　例3:求

　　　　　　 解:

　　结束语:
　　　　发展独立思考和独立创新的一般能力，应当始终放在首位，而不应当把知识放在首位。如果一个人掌握了他
的学科的基础理论，并且学会了独立思考与工作，他必定会找到自己的道路。而且比起那些主要以获取细节知识为其
训练内容的人来，他一定会更好适应进步和变化．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－－爱因斯坦
7. 定积分的基本思想是化整为零、以不变代变，积零为整，再取极限四个部分。的几何意义是由，，，围成的曲边梯形的面积（代数和）。矩形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值（见图）。试选择一个简单的定积分题目利用定积分近似计算的矩形公式计算之，观察后者随着节点的增多，计算值与准确值的误差变化。

图1定积分的几何意义
3.3.3应用实验
   本实验研究转售机器的最佳时间问题。
1．定积分定义
面积问题（资料）
在极限部分我们已经讨论抛物线下的面积问题。现在我们讨论一个更一般的面积问题。
设函数在区间上是连续的，且是非负的，如图1所示。如何求由曲线与直线与轴所围成的区域的面积呢？
我们现在有两个问题要解决，一是给出面积的定义，一是找出计算面积的方法。微积分的巨大功绩就在于用干净利落的方法同时解决了这两问题。
由图1所示的图形称为曲边梯形。求曲边梯形的面积的方法与求抛物线下的面积的方法是一样的。

图1 曲边梯形

把区间分成份，分点为

小区间的长度分别为
,

过各分点作平行于轴的直线，这些直线把曲边梯形分成个小曲边梯形，设第个小曲边梯形的面积为
在每个小区间上，任取一点，即过点引平行于轴的直线，交曲线于点点的纵坐标为过作平行于轴的直线，与直线交成
一个小矩形，如图2中的阴影部分所示，这个小矩形的面积为，即

图2小矩形面积

把个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形面积的一个近似值：

=
令
符号“”为希腊字母，念作“西格玛”，它表示一种求和运算。
当分点无限增多，即无限增大，而小区间的长度无限缩小时，如果和的极限存在，我们就很自然地定义曲边梯形的面积为和的极限：

由此我们提出的问题也就解决了。因为我们已经给出了曲边梯形面积的定义，并且给出了计算面积的方法，但是在一般情况下，用求极限的方法去计算面积是太困难了，我们还需要找出更为简便的方法，这将在后面给出。

定积分概念的起源与应用
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（17世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，直到牛顿--莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。
牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大的贡献，但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有积分概念，后有导数概念。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业，荣耀应由他们两人共享。
定积分概念的理论基础是极限。人类得到比较明晰的极限概念，花了大约2000年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的 （）定义，极限概念才完全确立，微积分才有了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书中有关定积分的定义是由黎曼给出的。

一、从阿基米德的穷竭法谈起
【引例】从曲线与直线，，所围图形的面积。

 如图：在区间  上插入  个等分点 ，得曲线上点 ，过这些点分别向轴，轴引垂线，得到阶梯形。它们的面积分别为：

故可得到面积值为 
为了便于理解阿基米德的思想，我们先引入曲边梯形的概念。

所谓曲边梯形是指这样的图形，它有三条边是直线段，其中两条是平行的，第三条与前两条垂直叫做底边，第四条边是一条曲线弧叫做曲边，这条曲边与任意一条垂直于底边的直线至多只交于一点。
根据这一定义，引例所求图形的面积便是一个曲边梯形的面积。运行程序gs0501.m，可更深刻地了解阿基米德穷竭法思想。

二、曲边梯形的面积计算
设连续函数，求由曲边，直线，及 轴所围成的曲边梯形的面积。

如图，在区间上任意地插入个分点

区间分划成  个小区间 ，且记小区间的长度为

过每个分点作平行于轴的直线段，这些直线段将曲边梯形分划成个窄小的曲边梯形，用记第  个窄小的曲边梯形的面积。
(由于曲边梯形的高在上是连续变化的，在很短小的一段区间上它的变化也很小，即可近似地视为不变。因此，在每个小区间上，可用其中某一点的高来近似代替该小区间上小曲边梯形的变化高，用相应的小矩形面积来近似小曲边梯形的面积。)
具体地
对第  个窄小曲边梯形，在其对应区间上任意地取一点，以作为近似高，以矩形面积近似。
即    
于是，
很明显地
小区间的长度越小，近似程度就越好；要使得近似程度越好，只需都越来越小。因此，为了得到面积的精确值，我们只需将区间无限地细分，使得每个小区间的长度都趋向于零。
若记   ，则每个小区间的长度趋向于零价于 。
从而                                  (1)

三、变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上的连续函数，且，求物体在时间间隔内所经过的路程。
在时间间隔内任意地插入个分点

将分划成个时间区间

各时间区间的长度依次为

记各时间区间内物体运动所经过的路程依次为

在时间间隔，物体所经过的路程的近似值为

即：将物体在上的速度视为不变的，以来近似代替。很自然地，当这一时间间隔段很短时，这种近似是合理的。
于是可给出的近似值    
为得到的精确值， 只需让每个小时间间隔段的长度均趋向于零。
若记 
则                                      (2)
上述两例， 尽管其实际意义不同，但有两点是一致的。
1、曲边梯形的面积值由高及的变化区间来决定；
变速直线运动的路程由速度及的变化区间来决定。
2、计算与的方法、步骤相同，且均归结到一种结构完全相同的和式极限。

抛开这些问题的具体实际意义，抓住它们在数量关系上共同的本质加以概括， 我们可给出定积分概念。