函数奇偶性及周期性.doc

函数的奇偶性和周期性
目标定位
1. 能了解函数的奇偶性、周期性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性、周期性的方法
2. 能利用函数的奇偶性、周期性解决一些如求函数值、函数表达式、函数的周期、函数图象等问题
知识梳理
1. 奇偶性：一般的，对函数f(x),如果对于定义域内的每一个x，都有_______________，那么函数f（x）就叫做奇函数，图像关于_____对称；都有_______________，那么函数f（x）就叫做偶函数，图像关于_____对称，奇偶函数的定义域是关于________对称
2.奇偶性的判定法：
①定义：
②判断方法：Ⅰ.定义法 步骤：a.求出定义域；
b.判断定义域是否关于原点对称；
c.求f(-x)；
d.比较f(-x)与f(x)或f(-x)与-f(x)的关系。
若f(-x)=f(x)，则函数f（x）为_______；
若f(-x)=-f(x)，则函数f（x）为_______；
Ⅱ图象法
③已知：H(x)=f(x)g(x)
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内H(x)为_______
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)为_______
已知：H(x)=f(x) g(x)
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内H(x)和f（x）奇偶性_______
若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)的奇偶性无法判断
④常用的结论：若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)＝_______
3.函数奇偶性的性质：
① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）
② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是_______.
③ 任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
即_____________________
④ 若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是_______；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是_______ 。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
4.周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则_______为函数f(x)的周期。
若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则_______为函数f(x)的周期.
课堂互动
知识点1 函数奇偶性的判定和应用
本节的内容是高考中常考的内容，也是高考考察的重点，通常会结合其他的知识点考察，解决判断函数的奇偶性，函数的求值，函数的解析式等问题

【例题1】判断下列函数的奇偶性：
1）．
　 2）
3）
【分析】主要利用函数奇偶性的判断依据进行判定，
【答案】　解：1）定义域：　关于原点非对称区间
　　　 ∴此函数为非奇非偶函数
2）函数的定义域属于R,有

所以此函数为奇函数
3）
所以函数的定义域为
去掉绝对值符号得
又，所以函数为奇函数
【点评】函数奇偶性的考察首先要看其定义域是否关于原点对称，然后利用相关的概念或者结论解决问题,对于一些常见函数的奇偶性要熟悉
巩固练习
判断下列函数的奇偶性
1）的奇偶性___ 3）
2）f(x)= (x Î R)
4）已知是上的奇函数，且当时，，
则的解析式为
【例题2】 已知函数定义在R上，且对一切实数都有
，且.
求证：，且是偶函数；
【分析】本题涉及到抽象函数，证明过程中注意利用特殊值的思想
【答案】证明：当x=y=0时，有f(0)+f(0)=2f(0)f(0)
又,所以f(0)=1
当x=0时，带入中有

函数是偶函数
【点评】对于抽象函数性质的思考，要注意函数的原形是什么，可以用什么样的函数表达式来表示，另外，特殊的思想也要贯穿进去，某些特殊值，如1，-1，0等等，是可以非常快的帮我们找到函数的一些性质
巩固练习
定义在R上的函数f(x)满足：f(a+b)=f(a)+f(b)，（a，b为任意实数），
又当f＞0时，f(t)＜0，求f(0)，并判断f(x)的奇偶数；
【例题3】设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值．
【分析】这是一个含有绝对值的二次函数，需要利用奇、偶函数的性质来帮助我们解决第一个问题，如非零函数f(x),g(x)的奇偶性相同，则在公共定义域内H(x)和f（x）奇偶性相同，若非零函数f(x),g(x)的奇偶性相反，则在公共定义域内H(x)的奇偶性无法判断，因为在定义域内为偶函数，所以我们要考察函数f（x）的奇偶性，则重点的考察的奇偶性，同时我们也要借助函数的性质，利用分类讨论的思想来解决一些函数极值问题
【答案】（1）当时，，此时为偶函数；
当时，，，
∴
此时函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）①当时，函数，
若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；
若，函数在上的最小值为，且．
②当时，函数，
若，则函数在上的最小值为，且；
若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值．
综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，
当，函数的最小值是．
【点评】函数的综合运用是考察的重点，在此题当中涉及到函数的奇偶性，单调性，极值，二次函数以及数学分类讨论的思想，对于这类综合问题的解决需从细处入手，做到胆大心细，挖掘题目的知识点
巩固练习
已知奇函数在定义域上是减函数且满足，求的取值范围.
知识点2 函数的周期性
周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段。
求周期的重要方法：①定义法；②公式法；③图象法；④利用重要结论：若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x)，a≠b，则T=2|a-b|。
【例题4】已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期
【分析】利用周期函数的定义对抽象函数的周期性进行证明，注意利用条件进行灵活的转化，
【答案】 证明：因为f(x＋m)＝－f(x)
所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]
＝－f(x＋m)
＝f(x)
所以f(x)是以2m为周期的周期函数.
【点评】对于周期函数一些较常见的结论要了解和掌握其证明的方法
由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：
①函数满足，则是周期为2的周期函数；
②若恒成立，则；
③若恒成立，则.
④，则T= 2a
若函数关于及对称，则是周期函数且2是它的一个周期,
若既关于直线对称，又关于中心对称，则一定是周期函数，且是它的一个周期.
一般而言，如果函数的图象是双对称，则此函数是周期函数
巩固练习
已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证:2m是f(x)的一个周期
【例题5】 定义在R上的函数f（x）满足，且当时，，求当时，f(x)的函数解析式
【分析】首先对条件进行分析，函数所满足的条件提供给我们的是什么样的信息，需要我们对其进行变形和化归，使之成为我们需要的、有用的信息，当然也可以利用相关的结论，找到突破口，在求函数解析式的时候抓住函数的本质，谁是自变量，什么是不变的。
【答案】
故此函数是以4为周期的周期函数
设 ，有，
（）
【点评】 会利用周期函数的概念和性质来解决有关函数的问题，如求值、求解析式、判断 函数的单调性等
巩固练习
定义在R上的函数满足，当时, =，求在区间[2，6]上的解析式.
知识点3：函数奇偶性、周期性的综合运用
奇偶性、周期性常常和函数，方程不等式结合使用，具有较强的综合性和灵活性，
在运用函数的奇偶性、周期性和其他知识的时候，要注意数学化归思想的运用。
【例题6】已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是奇函数,
求证:4m是f(x)的一个周期.
【分析】关于这类的问题通常和抽象函数结合，对于函数式的变形是关键，变形时注意变形的目标是什么，朝着这样的目标变形。实际上此题是要利用题目的条件使f(m＋x)＝f(m－x)变成f(x)＝f(x+4m) ，
【答案】证明：

又函数f（x）是奇函数，

所以4m是f（x）的一个周期
【点评】证明的过程中要有整体的观念，函数中的自变量是什么需要在变形的过程中非常的清楚，否则就会产生思维障碍，大家也要注意例题4后面的结论，这样的题型是很常见，它的变式也是很多的。
巩固练习
以知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称。
（！）求f（0）的值
（2）证明函数f（x）是周期函数

【例题7】设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1－x2)=；
(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：
(1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.
【分析】解决此类问题要有目标意识，在证明的过程中所要达到的目标是什么，在证明中应该要非常明确
【答案】证明：(1）不妨令x=x1－x2,则f(－x)=f(x2－x1)=
=－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函数.
(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).
∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.

∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数
【点评】 学会利用函数的关系式进行变形，成为我们所需要的结构
巩固练习
函数R 是 （ ）
(A) 最小正周期为的偶函数 (B) 最小正周期为的奇函数
(C) 最小正周期为的偶函数 (D) 最小正周期为的奇函数
小试身手
【考题再现】
1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， .
3.已知，函数为奇函数，则a＝
（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1　　　　（D）±1
4．设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数
5.函数对于任意实数满足条件，若则__________。
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为 ( )
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
7． 是定义在R上的以3为周期的奇函数，且则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若函数 R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（－2，2）
9． 设函数，且在闭区间[0，7]上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求函数的周期。
【模拟训练】
1已知函数对一切，都有，
（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示
2已知f(x)是R上的偶函数，对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f(1)=2，则f(2005)等于（ ）
A．2005 B．2 C．1 D．0
3设函数是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，若，则　　　　　　　　
A、　 　B、且　
　 C、　 　D、
4.设周期为4的奇函数的定义域为R, 且当时, ,
则值为 .
5设是定义在R上的奇函数，且，
则
6.函数是定义域为R的偶函数，且对任意的，均有成立．当时，
（1）当时，求的表达式；
（2）若的最大值为，解关于x的不等式

7．函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如下图所示，则y=f(x)·g(x)的图象可能是 ( )

8已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
9．设偶函数的大小关系是（C）
A． B．
C． D．不能确定
10定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.
教考链接
在这一节的学习当中，函数奇偶性、周期性的概念要了解，从形和数两个方面来理解函数的奇偶性，充分的利用函数的关系和图形的对称，函数的周期性的有关结论要能够推得，利用这些结论可以非常方便的帮助我们很快的认识到函数的相关性质，达到解决问题的目的。有些小题是结合了函数这两个性质，更需要我们对它们的结论要了解，掌握推导的方法是什么，利用了哪些数学思想。
参考答案
知识梳理
2. f(-x)=-f(x)，原点，f(-x)=f(x)，y轴，原点
2.偶函数； 奇函数；偶函数；奇函数；相同；0
3.奇函数. f(x)= +;奇函数；偶函数 。
4.T;2a
课堂互动
知识点1
例题1）巩固练习
1）偶函数 2）奇函数 （利用函数奇偶性，直接的验证即可）
例题2）巩固练习
1）令a=b=0，知f(0=2f(0)) ∴f(0)=0
令b=－a，则有f(0)=f(a)+f(－a)=0，∴f(－a)= －f(a)
∴f(x)为奇函数
例题3）巩固练习

例题4）巩固练习
证明：
所以2m是f(x)的一个周期
例题5）巩固练习．
解：（1）

又

例题6）巩固练习
解：(1)因为函数f（x）是定义域为R的奇函数
所以有f(0)+f(-0)=0,f(0)=0
(2) 因为函数图象关于直线x=1对称，所以有，
又函数f（x）是奇函数，

所以函数f（x）为周期函数
例题7）巩固练习 C
小试身手
【考题再现】
1.画出函数图象，可快速判断答案A
2.因为函数f（x）在定义域R为偶函数，有f(x)=f(-x),
当时，有,
3.由函数是定义域为R的奇函数，则， 即，则a＝0，选A
4. A中则，
即函数为偶函数，B中，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中，，即函数为奇函数，D中，
，即函数为偶函数，故选择答案D。
如果在解题中知道一些结论，可以更快的解决的问题
5．由得，所以，则
6. 定义在R上的奇函数f(x)有f(0)=0,
所以，选B
另解，在奇函数中题目的条件并没有出现函数值，所以要挖掘出隐含的条件f(0)=0，从答案上观察，B
7. 是定义在R上的以3为周期的奇函数, 有f(0)=0，，，，
所以当x=1、2、3、4、5时，对应的函数值为0，选D
8. 函数是定义在R上的偶函数，所以，
又函数在上是减函数, ,得
函数在上是增函数, ,得
综合得x的取值范围是，答案D
9.　由于在闭区间[0，7]上，只有，故．若是奇函数，则，矛盾．所以，不是奇函数．
由
,　从而知函数是以为周期的函数．
若是偶函数，则．又，从而．
由于对任意的（3，7]上，，又函数的图象的关于对称，所以对区间[7，11）上的任意均有．所以，，这与前面的结论矛盾．
所以，函数是非奇非偶函数．
【模拟训练】
1. 如或R)等
2.当x=-3时，带入f(x+6)=f(x)+f(3)，得到f(-3)=0,又函数f（x）是偶函数，所以f(3)=f(-3)=0，从而f(x+6)=f(x)，函数f（x）的周期为6，f（2005）=f（6*334+1）=f（1）=2
3. 因为函数是定义在实数集上的以3为周期的奇函数，
所以，，
解得，答案选C
4. 由题意可得
5.因为是定义在R上的奇函数，所以，当x=1， ，
此函数的周期等于4，，同理，利用函数的周期性得答案0。
6.（1）当时，．
当时,,．
当时，，．
故当时，的表达式为

（2）∵是以2为周期的周期函数，且为偶函数，∴的最大值就是当时，的最大值．∵，∴在上是减函数，
∴，∴．
当时，由得或
得．
∵是以2为周期的周期函数，
∴的解集为