专升本高等数学备考题型汇总.doc

专升本高数备考
高等数学备考题型汇总
第一章 函数的极限与连续性
（一）极限七大题型
1. 题型一
（）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。
2. 题型二
0 结果：
将a带入分子
=0

=0 “0/0型” 用洛比达法则继续计算求值

将a带入分母
0 直接带入a求出结果就是要求的值

3. 题型三（进入考场的主要战场）
注：应首先识别类型是否为为“”型！
公式： 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是。（三步曲）
4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：）
（1）
A:同阶无穷小：；
B:等价无穷小：；
C:高阶无穷小：.注意：
（2）常用等价替换公式：
1

4

7
*
*
2

5

3

6

特别补充：
（3）等价替换的的性质：
1）自反性：
2）对称性：
3）传递性：
（4）替换原则：
A:非0常数乘除可以直接带入计算；
B:乘除可换，加减忌换
（5）另外经常使用：进行等价替换
题型五

有界： （）
识别不存在但有界的函数：
5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则
6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分
7. 题型三&题型四的综合
（二）极限的应用
1、单侧极限
（1）极限存在条件 左左右右
（2）极限的连续性

（3）间断点及分类（★难点）
把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。
A:间断点：定义域不能取值的内点
B:间断点分类

Ⅰ类可去

Ⅱ类

Ⅰ类跳跃

A,Ⅰ类可去
,Ⅱ类
不存在，不能分类，求左右极限

第二章  导数及其应用 与 第七章 多元函数微学分
（一） 导数定义
定义一
1、“陡”、“平”的形象叙述;
2、;
3、;
4、 . 拓展：
注意：1）分段点求导，永远用定义！
2）有连续性条件时可直接带入
定义二

（二） 导数常用公式
1

7

2

3

4

5

8

6

（三） 导数运算
1、乘法运算：
2、除法运算：
（四） 复合函数求导（核心内容★★★）
1、 层次分析
2、几点性质：
（1）公式，推广为：
（2）形如： 利用公式等价替换
（3）奇偶性: ① ②
（五） 高阶导数
1

3

2

4

（六） 微分
1、 基本知识 注意求的时候要加“”.
2、 参数方程求导（考试重点）
参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分

标准形式：

t为中间变量

公式：
3、 符号型求导
4、 隐函数求导（必考）

题目一般形式是:
5、 对数法求导
巧用对数的性质，变形式子
（七） 导数的应用
1、 切线与法线
切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1；
2、 洛必达法则（极限题型六）（★）
注意：
1． 等价无穷小，乘除可换，加减忌换
2． 洛必达法则可重复使用

条件：1.；2.后有则前有

3、 函数的单调性与极值、凹凸性、拐点
1）“峰”——极大值；“谷”——极小值；
单调性与极值求解
A：单调性：
B：单调性交界点→极值点（判据）
C:极值点可疑点（）
D:渐近线
2）函数凹凸性与拐点
A：
B:凹凸性交界点且能取值→拐点
C：拐点可疑点
一般求解步骤：
（1） 求定义域、渐近线；
（2） 计算；
（3） 求的点和使不存在的点，设为；
（4） 列表分析；
（5） 得出结论.
4、 函数最大值、最小值

比较：1）； 2）端点
5、 函数的实际应用
步骤：（1）合理做设，具有唯一性；
（2）；（关键点所在）
（3）令；
（4）唯一驻点，即为所求。
二、 多元微分学
（一） 显函数一阶偏导数
“求即变”：求哪个，哪个就是变量

（二） 全微分
一元函数： 此时，
二元函数： 此时，
（三） (高)二阶偏导数
主要是求，分别定义为：
一定条件下，即连续时：

（四） 二元隐函数求导

一阶： 二阶直接求 ：
（五） 符号型求导（必考）

1. (重点)
2.

第三章 一元函数积分学 与 第八章 二重积分

一、不定积分
1. 性质：
2. 基本公式★
1

7

2

3

8

4

5

6

（一） 求不定积分的四大方法
1、 方法一
（1） 凑常数
公式：
（2） 配方
见到一元二次方程想到配方法
（3） 拆分
公式：
（4） 利用三角函数和差化积和积化和差公式积分
2、 方法二——固定搭配
公式
3、 方法三——分布积分
（1） 一般分布积分
公式： 关键：是什么？

三角函数
三角函数

高

的优先级方向

（2） 特殊方程法积分法
积分时，对如下积分要特别注意：
等等
4、 方法四——变量替换
（1） 一次项替换
如:
方法：直接令.
（2） 二次项替换
根据下表进行相应替换：
原项
替换原理:
根据下面两个三角变换得来的
1.
2.

换元

二、定积分
（一） 定积分计算
1.N-L公式 （牛顿-莱布尼兹公式）

主要思想是利用积分方法进行积分，然后“出来代值”计算 ；
2.变换——变限
（二） 定积分性质
1.（1） （2）
2.
3. 更名：
4. 拆分：
积分性质的运用：
（1） 分段函数的定积分
（2） 函绝对值积分
（3） 三角函数积分（实质是判断三角函数符号进行拆分积分运算）
5.若则
★这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。
6.变限积分
涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七
（1） ★记住：与没有关系
推广：
上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导
(2)洛必达法则 （极限题型七）
7广义积分
三种形式：（1）；（2）；（3）.
解：定义：
原式=
A（有限） 收敛
发散
（三） 定积分应用
一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积（绕）
1. 面积

（1）“左右型”
*

（2）“上下型”
*

2. 旋转体体积
（1）“坐在轴上”
微元法推导：
1. 绕轴： 公式1： “墩”；
2. 绕轴： 公式2： “城墙”。

（2）“坐在轴上”
微元法推导：
1. 绕轴： 公式1：“城墙”；
2. 绕轴： 公式2： “墩”。

二重积分
1. 累次积分
公式：
2. 二重积分的计算

直角坐标系的几何意义：

3. 二重积分改变次序
记住一些不能正序积分的函数：
思路:原累次积分二重积分新累次积分
4. 极坐标
主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！
Jacobi因子

第四章 微分方程
（一） 分离变量法
1. 标准型

步骤：①
2. 变化型
核心：令
（二） 一阶线性微分方程（重点）
1.标准型：，关键是找到、；
一次
无
+号

2.常数变量法：
做题步骤：
注意：
1） 积分不要加C;
2） ，不要“| |”符号。
（4） 找到、；
（5） ，计算，；
（6） 带入公式.
（三） 三大题型
题型1：贝努里方程
→，即

题型2：积分方程 特定条件
整理之：=…
题型3：二阶线性微分方程
（1） 齐次方程（）

特性方程即： （补充：）

， 为互异实根

，

，

（2） 非齐次方程
标准型：
关键是读参数：
求解过程：
=
1）
解出
2)读参数.

可设特解方程：

A
B

代入
3）

第五章 无穷级数
一、收敛与发散

S有限 收敛
发散
1.
2.
3.收敛的必要条件
N
判别图

发散
Y
比值判别法

>1 发散
<1 收敛
=1 失效

根式判别法

>1 发散
<1 收敛
=1 失效

比较判别法

p>1 收敛
P≤1 发散

莱布尼兹法则
1.交错
2.
3.
二、交错级数
（7） 莱布尼兹法则
发散
收敛

（2）绝对收敛与条件收敛的判别
发散
绝对收敛
条件收敛

三、幂级数
1.收敛域和收敛半径
级数对称性：1.一收朝里皆收； 2.一发朝外均发。
1. 收敛半径：R; 公式：
2. 收敛区间（收敛域） 如
将

2.幂级数的展开
1）公式1：
2）公式2：；
3）逐项微分，逐项积分
注：不改变收敛区间，改变端点

第六章 向量代数与空间解析几何
（一） 矢量运算
1. 矢量的内积
（1）
（2）内积：
(3)
2. 矢量的叉积

+ - +

O
（1）
（2）

（3）
（二） 平面方程★
1.点法式：
2.直线
标准型(点斜式)

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