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第八讲 平面向量及向量的应用
一、主干知识整合
1.向量的概念
(1)概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模．长度为0，方向任意的向量为零向量，0与任一非零向量共线．
(2)向量夹角：a，b的夹角记为〈a，b〉，范围是.
(3)投影：〈a，b〉＝θ，cosθ叫做b在a方向上的投影．投影是数量．
2．向量的运算与重要法则
(1)加法、减法运算：a＋b为平行四边形法则，a－b为三角形法则；
(2)数乘运算：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb；
(3)数量积运算：a·b＝b·a，(a＋b)·c＝a·c＋b·c，(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)．
3．两非零向量平行、垂直的充要条件
(1)共线条件：a，b(b≠0)共线⇔存在λ，a＝λb，坐标表示为(x1，y1)＝λ(x2，y2)⇔x1y2＝x2y1；
(2)垂直条件：a⊥b⇔a·b＝0，坐标表示为x1x2＋y1y2＝0.
二、要点热点探究
►　探究点一　向量的概念及线性运算
例1 (1)[2012·广东卷] 若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝(　　)
A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10)

(2)在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是(　　)
A. B. C. D.

►　探究点二　平面向量的数量积问题
例2 (1)[2012·课程标准卷] 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

(2)[2012·天津卷] 已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－，则λ＝(　　)
A. B. C. D.

变式题 平面上O，A，B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于(　　)
A.
B.
C.
D.

►　探究点三　有关向量的平行、垂直问题
例3 (1)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)
A. B. C．2 D．10

(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|

变式题 (1)在△ABC中，若＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

(2)如图2－8－1，已知||＝3，||＝1，·＝0，
∠AOP＝，若＝t＋，则实数t等于(　　)

图2－8－1
A. B. C. D．3

►　探究点三　平面向量的综合应用
例4 [2012·安徽卷] 若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．

运算求解能力——建立平面直角坐标系解决向量数量积问题

示例 [2012·北京卷] 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________.·的最大值为________．

[跟踪练]

1．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在梯形ABCD内运动(含边界)，设＝α·＋β·，则α＋β的最大值是(　　)
A. B. C．1 D.

2．在△ABC中，∠BAC＝120°，||＝2，||＝1，点P满足＝λ(0≤λ≤1)，则2－·的取值范围是(　　)
A.　 B.　 C.　 D.

备用例题：
例1　　[2012·山东卷] 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．

例2　[2012·安徽卷] 在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)
A．(－7，－) B．(－7，)
C．(－4，－2) D．(－4，2)

例3　　[2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)
A. B．1 C. D.

参考答案：例1（1）A(2)A
例2（1）(2)A例2变式题C
例3（1）B(2)C例3变式题(1)D(2)B
例4：
示例：1、1【跟踪练】（1）A(2)D
备用例题：
例1：[答案] (2－sin2,1－cos2)
[解析] 根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C2M⊥y
轴于M，∠PC2Q＝2，∠PC2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.
例2：[答案] A　
[解析]本题考查三角函数的和角公式，点的坐标．
设∠POx＝α，因为P，所以＝(10cosα，10sinα)⇒cosα＝，sinα＝，
则＝＝(－7，－)．故答案为A.
例3：[答案] C
[解析]本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义，突破口是通过新定义把问题转化为熟悉的问题解决．根据新定义得：
a∘b＝＝＝≥cosθ>，
b∘a＝＝＝≤cosθ<1，
且a∘b和b∘a都在集合中，所以b∘a＝＝，＝，所以a∘b＝＝2cos2θ<2，所以1<a∘b<2，所以a∘b＝.所以选择C.

【家庭训练题】平面向量及向量的应用

1．设向量a＝(1，0)，b＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|a|＝|b| B．a·b＝ C．a∥b D．a－b与b垂直
2．已知e1，e2是两夹角为120°的单位向量，a＝3e1＋2e2，则|a|等于(　　)
A．4 B. C．3 D.
3．对于平面内任意两个非零不共线向量a，b，下列结论错误的是(　　)
A.与的模相等 B．a在b方向上的投影为
C．a－b与a＋b共线 D.－与＋垂直
4．已知P是边长为2的正方形ABCD及其内部一动点，若△PAB，△PBC面积均不大于1，则·的取值范围是(　　)
A. B．(－1，2) C. D．[－1，1]

5．定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)
A．－8 B．8 C．－8或8 D．6
6．已知两点A(1，0)，B(1，)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝120°，设＝－2＋λ(λ∈R)，则λ等于(　　)
A．－1 B．2 C．1 D．－2
7．已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则m＝1是(a－mb)⊥a的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．在四边形ABCD中，＝＝(1，0)，＋＝，则四边形ABCD的面积是(　　)
A. B. C. D.
9．设i，j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．

10．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．

11．⊙O的半径为1，点A，B，C是⊙O上的点，且∠AOB＝30°，AC＝2AB，则·＝________．
12．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|<m恒成立，求实数m的取值范围．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的对边长分别为a，b，c.
(1)设向量x＝(sinB，sinC)，向量y＝(cosB，cosC)，向量z＝(cosB，－cosC)，若z∥(x＋y)，求tanB＋tanC的值；
(2)若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：a2－c2＝2b2.

14．设向量m＝(cosx，sinx)，x∈(0，π)，n＝(1，)．
(1)若|m－n|＝，求x的值；
(2)设f(x)＝(m＋n)·n，求函数f(x)的值域．

【家庭训练题】平面向量及向量的应用参考答案

【基础演练】
1．D　[解析] ＝1，＝，A不正确；a·b＝，B不正确；a＝λb时可得1＝λ且0＝λ，此方程组无解，C不正确；(a－b)·b＝，－·，＝0，D正确．
2．D　[解析] ＝＝.
3．C　[解析] 向量a－b与a＋b不一定共线．
4.

D　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，由于△PAB，△PBC面积均不大于1，故点P在图中的区域EFGB的边界及其内部，设P(x，y)，则·＝(x，y)·(x－2，y)＝x2＋y2－2x＝(x－1)2＋y2－1，其中(x－1)2＋y2表示区域内的点到点(1，0)距离的平方，显然范围是[0，2]，故·的取值范围是[－1，1]．
【提升训练】
5．B　[解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，所以|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.
6．C　[解析] ＝－2＋λ＝－2(1，0)＋λ(1，)＝(－2＋λ，λ)．因为∠AOC＝120°，所以由tan120°＝＝－，解得λ＝1.
7．C　[解析] (a－mb)⊥a⇔(a－mb)·a＝1－m＝0，m＝1，选C.
8．D　[解析] 由＝＝(1，0)可得四边形ABCD是平行四边形且||＝||＝1，又因为＋＝，所以四边形ABCD是边长为1的菱形且＝，可得cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，故S▱ABCD＝×2＝.
9．5　[解析] 由题可知||＝，||＝5，·＝－5，所以cos〈，〉＝＝－，sin〈，〉＝，所求面积为S＝××5×＝5.
10.∪　[解析] 由题意可得
即即λ∈∪(0，＋∞)．
11.－3　[解析] 在△AOB中，|OA|＝|OB|＝1，∠AOB＝30°，所以||2＝12＋12－2cos30°＝2－，
·＝·(－)＝·－·＝(|OA|2＋|AB|2－|OB|2)－(|OA|2＋|AC|2－|OC|2)＝||2－||2，
因为||2＝4||2，所以·＝－||2＝－(2－)＝－3.
12．解：(1)∵a⊥b，∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)∵2a－b＝(2cosθ－，2sinθ＋1)，
∴|2a－b|2＝(2cosθ－)2＋(2sinθ＋1)2
＝8＋8＝8＋8sin.
又θ∈[0，π]，∴θ－∈－，，
∴sin∈－，1，
∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|<m恒成立，∴m>4.
13．解：(1)x＋y＝(sinB＋cosB，sinC＋cosC)，
∵z∥(x＋y)，
∴cosB(sinC＋cosC)＋cosC(sinB＋cosB)＝0，
整理得tanC＋tanB＋2＝0，
∴tanC＋tanB＝－2.
(2)证明：∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，
∴由正、余弦定理得：a·＋3××c＝0，
∴a2－c2＝2b2.
14．解：(1)∵m－n＝(cosx－1，sinx－)，
由|m－n|＝得cos2x－2cosx＋1＋sin2x－2sinx＋3＝5，
整理得cosx＝－sinx，显然cosx≠0，∴tanx＝－.
∵x∈(0，π)，∴x＝.
(2)∵m＋n＝(cosx＋1，sinx＋)，
∴f(x)＝(m＋n)·n＝(cosx＋1，sinx＋)·(1，)
＝cosx＋1＋sinx＋3
＝2sinx＋cosx＋4
＝2sinx＋＋4.
∵0<x<π，∴<x＋<.
∴－<sinx＋≤1⇒－1<2sinx＋≤2，
∴3<2sin＋4≤6，
即函数f(x)的值域为(3，6]．