湖南省各市2012年中考数学分类解析-专题6-函数的图像与性质.doc

湖南各市2012年中考数学试题分类解析汇编
专题6：函数的图像与性质
一、 选择题
1. （2012湖南常德3分）对于函数，下列说法错误的是【 】
A. 它的图像分布在一、三象限 B. 它的图像既是轴对称图形又是中心对称图形
C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大 D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小
【答案】C。
【考点】反比例函数的性质，轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可：
A、∵函数中k=6＞0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵函数是反比例函数，∴它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、∵当x＞0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵当x＜0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而增大，故本选项正确。
故选C。
2. （2012湖南张家界3分）当a≠0时，函数y=ax+1与函数在同一坐标系中的图象可能是【 】
A.B．C．D．
【答案】C。
【考点】反比例函数和一次函数的图象性质。
【分析】∵当a＞0时，y=ax+1过一．二．三象限，经过点（0，1），过一．三象限；当a＜0时，y=ax+1过一．二．四象限，过二．四象限。
∴选项A的y=ax+1，a＞0，经过点（0，1），但的a＜0，不符合条件；
选项B的y=ax+1，a＜0，，的a＜0，但y=ax+1不经过点（0，1），不符合条件；
选项C的y=ax+1，a＞0，经过点（0，1），的a＞0，符合条件；
选项D的y=ax+1，a＞0，，的a＞0，但y=ax+1不经过点（0，1），不符合条件。
故选C。
3. （2012湖南岳阳3分）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的是【 】

A．点A和点B关于原点对称 B．当x＜1时，y1＞y2
C． D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
【答案】C。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
【分析】求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断：
A、联立y=x+1和，
把y=x+1代入得：，解得：x1=﹣2，x2=1。
代入y=x+1得：y1=﹣1，y2=2，
∴B（﹣2，﹣1），A（1，2）。
∴A、B关于原点不对称，故本说法错误。
B、由图象知，当0＜x＜1时，一次函数y1=x+1的图象在反比例函数的图象下方，即
y1＜y2，故本说法错误。
C、∵，∴，故本说法正确。
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本说法错误。
故选C。
4. （2012湖南永州3分）下列说法正确的是【 】
A．
B．
　 C．不等式2﹣x＞1的解集为x＞1
D．当x＞0时，反比例函数的函数值y随自变量x取值的增大而减小
【答案】B。
【考点】二次根式的乘法，同底数幂的乘法，解一元一次不等式，反比例函数的性质，
【分析】分别根据二次根式的乘法、同底数幂的乘法、解一元一次不等式及反比例函数的性质对各选项进行逐一判断即可：
A、当a＜0，b＜0时，，故本选项错误；
B、符合同底数幂的乘法法则，故选项正确；
C、不等式2﹣x＞1的解集为x＜1，故本选项错误；
D、当x＞0，k＜0时，反比例函数的函数值y随自变量x取值的增大而增大，故本选项错误。
故选B。　
5. （2012湖南郴州3分）抛物线的顶点坐标是【 】
A．（－1，2） B．（－1，－2） C．（1，－2） D．（1，2）
【答案】D。
【考点】二次函数的性质。
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标：
∵顶点式y=a（x－h）2＋k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）。故选D。
6. （2012湖南怀化3分）在函数中，自变量的取值范围是【 】
A． B. C. D.
【答案】D。
【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件。
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选D。
7. （2012湖南娄底3分）对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是【 】
　 A． 函数值随自变量的增大而减小
　 B． 函数的图象不经过第三象限
　 C． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象
　 D． 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
【答案】D。
【考点】一次函数的性质，一次函数图象与平移变换。
【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可．
A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确；
B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确；
C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确；
D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误。
故选D。
8. （2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】
　 A． B． C． D．
【答案】B。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数图象设解析式为，
将点（﹣1，2）代入得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为。故选B。
9. （2012湖南衡阳3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为【 】

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号：
①∵图象开口向下，∴a＜0。说法错误。
②∵对称轴为x=，∴，即2a+b=0。说法正确。
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0。说法正确。
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0。说法正确。
∴说法正确的有3个。故选C。　
10. （2012湖南株洲3分）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是【 】

　　A．（﹣3，0）　　B．（﹣2，0）　　C．x=﹣3　　D．x=﹣2
【答案】A。
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。
【分析】设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），
∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，
∴=﹣1，解得b=﹣3。∴B（﹣3，0）。故选A。
11. （2012湖南株洲3分）如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为【 】

　　A．3　　B．t　　C．　　D．不能确定
【答案】C。
【考点】反比例函数系数k的几何意义，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】把x=t分别代入，得，∴B（t，）、C（t，）。
∴BC=﹣（）=。
∵A为y轴上的任意一点，∴点A到直线BC的距离为t。
∴△ABC的面积=。故选C。
二．填空题
1. （2012湖南长沙3分）如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
　 ▲ 　．
【答案】m＜0。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】一次函数的图象有四种情况：
①当时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。
∵一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，∴m＜0。
2. （2012湖南益阳4分）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是　 ▲ 　．
【答案】。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】将（1，k）代入一次函数y=2x+1得，k=2+1=3，则反比例函数解析式为。
3. （2012湖南永州3分）一次函数y=﹣x+1的图象不经过第　 ▲ 　象限．
【答案】三。
【考点】一次函数图象与系数的关系。
【分析】一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。
因此，函数y=﹣x+1的，，故它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。
4. 2012湖南怀化3分）如果点在一次函数的图像上，则 ▲ .(填
“>”,“<”或“=”)
【答案】＞。
【考点】一次函数图象上点的坐标特征。
【分析】∵点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y=2x－1的图象上，
∴y1=2×3－1=5，y2=2×2－1=3。
∵5＞3，∴y1＞y2。
5. （2012湖南衡阳3分）如图，反比例函数的图象经过点P，则k= ▲ ．

【答案】﹣6。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据图象写出P点坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，把P点坐标代入反比例函数解析式中即可得到k的值：
根据图象可得P（3，﹣2），把P（3，﹣2）代入反比例函数中得：k=xy=﹣6。　
6. （2012湖南衡阳3分）如图，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1，﹣2），则kb= ▲ ．

【答案】﹣8。
【考点】两条直线平行问题，曲线上点的坐标与方程的关系。119281
【分析】根据两条平行直线的解析式的k值相等求出k的值，然后把点A的坐标代入解析式求出b值，再代入代数式进行计算即可：
∵y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行，∴k=2。
∵y=kx+b的图象经过点A（1，﹣2），∴2+b=﹣2，解得b=﹣4。
∴kb=2×（﹣4）=﹣8。　
7. （2012湖南株洲3分）一次函数y=x+2的图象不经过第　 ▲ 　象限．
【答案】四。
【考点】一次函数的性质。
【分析】一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限。
由题意得，函数y=x+2的，，故它的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
三、解答题
1. （2012湖南长沙10分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：.
（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）
（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
【答案】解：（1）∵25≤28≤30，，
∴把28代入y=40﹣x得， y=12（万件）。
答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件。
（2）①当 25≤x≤30时，
W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，
∴当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万。
②当30＜x≤35时，
W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5，
∴当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万。
综合①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。
答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。
（3）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+59x﹣782.5，
令W=67.5，则﹣x2+59x﹣782.5=67.5，化简得：x2﹣59x+850=0，
解得 x1=25；x2=34。
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x≤30；
②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x2+35.5x﹣547.5，
令W=67.5，则﹣x2+35.5x﹣547.5=67.5，化简得：x2﹣71x+1230=0，
解得x1=30；x2=41。
此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，
综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是25≤x≤35。
【考点】一、二次函数的应用。
【分析】（1）因为25≤28≤30，所以把28代入y=40－x即可求出该产品的年销售量为多少万件。
（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入－生产成本－投资成本，得到w和x的二次函数关系，再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。
（3）由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别令w=67.5，求出对应x的值，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。
2. （2012湖南益阳10分）已知：如图，抛物线y=a（x﹣1）2+c与x轴交于点A和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．
（1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）

【答案】解：（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，∴P点坐标为（1，﹣3）。
∵抛物线y=a（x﹣1）2+c顶点是P（1，﹣3），
∴抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣3。
∵抛物线y=a（x﹣1）2﹣3过点A，
∴a（﹣1）2﹣3=0，解得a=1。
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣2x﹣2。
（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，∴C、D两点纵坐标为3。
由（x﹣1）2﹣3=3，解得：。
∴C、D两点的坐标分别为。∴CD=。
∴“W”图案的高与宽（CD）的比=（或约等于0.6124）。
【考点】二次函数的应用，翻折对称的性质，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可。
（2）根据已知求出C，D两点坐标，从而得出“W”图案的高与宽（CD）的比。
3. （2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．
（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；
（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？

【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，
∵图象经过（0，1500），（25，1000），
∴，解得：。∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。
清洗阶段：y=0。
灌水阶段：设解析式为：y=at+c，
∵图象经过（195，1000），（95，0），
∴，解得：。∴灌水阶段解析式为：y=10t﹣950。
（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。
∴排水时间为75分钟。
清洗时间为：95﹣75=20（分钟），
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，
∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。
【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。
4. （2012湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．
（1）求C1和C2的解析式；
（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；
（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），
∴设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）。
∵抛物线C1还经过D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=。
∴抛物线C1：y=（x﹣3）（x+3），即y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）。
∵抛物线C2还经过A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣
∴抛物线C2：y=﹣（x﹣3）（x+3），即y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）。
（2）∵直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）。
∵由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，
∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。
若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：
①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC，
由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。
∴3：=BP1：，
得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=。∴P1（，0）
②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：
：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=。∴P2（﹣，0）．
综上所述，符合条件的P点有：P1（，0）、P2（﹣，0）。
（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=x+b。
①当直线l与抛物线C1只有一个交点时：
x+b=x2﹣3，即：x2﹣x﹣（3b+9）=0。
由△=（－1）2＋4（3b+9）=0。得。
此时，。
∴该交点Q2（）。
过点Q2作Q2F⊥BE于点F，则由BE：y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率为－3，
设Q2F：y=－3x＋m。将Q2（）代入，可得。∴Q2F：y=－3x。
联立BE和Q2F，解得。∴F（）。
∴Q2到直线 BE：y=x﹣1的距离Q2F：。
②当直线l与抛物线C2只有一个交点时：x+b=﹣x2+1，即：x2+3x+9b﹣9=0。
由△=32＋4（9b－9）=0。得。
此时，。∴该交点Q1（）。
同上方法可得Q1到直线 BE：y=x﹣1 的距离：。
∵，
∴符合条件的Q点为Q1（）。
∴△EBQ的最大面积：。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。
【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。
5. （2012湖南永州10分）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），
∴-，解得。∴二次函数的解析式为y=x2﹣1。
（2）当﹣2＜x＜2时y＜0。
（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；
当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4；
当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25。
由此发现|PO|2=|PH|2。
设P点坐标为（m，n），即n=m2﹣1
|OP|2= m2+ n2，|PH|2=（n+2）2=n2+4n+4=n2+m2。
∴对于任意实数m，|PO|2=|PH|2。
（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形。
设P点坐标为（m，n），|OP|2= m2+ n2，|OH|2=4+ m2，
由|OP|=|OH|得，m2+ n2=4+ m2，即n2=4，解得n=±2。
当n=﹣2时，n=m2﹣1不符合条件，
当n=2时，由2=m2﹣1解得m=±2。
∴故当m=±2时可使△POH为正三角形．
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，等边三角形的判定。
【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），待定系数法求出a和b的值，抛物线的解析式即可求出。
（2）令y=x2﹣1=0，解得x=﹣2或x=2，由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0。
（3）分别求出当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．然后观察其规律，再进行证明。
（4）由（3）知OP=OH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表达式，令两式相等，求出m和n的值。
6. （2012湖南郴州6分）已知反比例函数的图象与直线y=2x相交于A（1，a），求这个反比例函数的解析式．
【答案】解：设反比例函数的解析式为（k≠0），
把A（1，a）代入y=2x得a=2，则A点坐标为（1，2）。
把A（1，2）代入得k=1×2=2。
∴反比例函数的解析式为。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数的解析式为（k≠0），先把A（1，a）代入y=2x可得a=2，则可确定A点坐标为（1，2），然后把A（1，2）代入可计算出k的值，从而确定反比例函数的解析式。
7. （2012湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，
∴ ，解得。
∴抛物线的解析式为：，其对称轴为：。
（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。
如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。
设直线AC的解析式为y=kx＋b，
∵A（4，0），C（0，3），∴ ，解得。
∴直线AC的解析式为：y=x＋3。
令x=1，得y= 。∴M点坐标为（1，）。
（3）结论：存在。
如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。
由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。
在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。
∴P1（－2，0）。
∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。
∴四边形ABCP1为梯形。
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。
设CP2与x轴交于点N，
∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。
设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。
∴直线CN的解析式为：y=x+3。
∵点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，
∴x+3=，化简得：x2－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。
∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。
∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，
线段最短的性质，梯形的判定。
【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。
（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。
（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P1为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。
8. （2012湖南郴州10分）阅读下列材料：我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d= ．

  例：求点P（1，2）到直线的距离d时，先将化为5x－12y－2=0，再由上述距离公式求得d= ．
解答下列问题：
如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线上的一点M（3，2）．
（1）求点M到直线AB的距离．
（2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。
【分析】（1）按例求解即可。
（2）用二次函数的最值，求出点P到直线AB的距离最小值，即可求出答案。
9. （2012湖南娄底10分）已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

【答案】解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，
∴令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m。
∴，化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1。
当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；
当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意。
∴m=1。∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2。
（2）存在。理由如下：
假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形。
如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点。
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2）。
∴OB=1，OC=2。
∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。
在Rt△PAD与Rt△CBO中，
∵∠PAD=∠CBO ，PA=BC，∠APD=∠OCB ，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。
∴PD=OC=2，即yP=2。
∵直线解析式为y=x+3，∴xP=﹣1。∴P（﹣1，2）。
∴在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）。
【考点】二次函数综合题，二次函数与x点问题，曲线图上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决。注意：解答中求得两个m的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去。
（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，从而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标。
10. （2012湖南株洲10分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线
y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．

【答案】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=。
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2。
（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。
∵，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）× =2﹣t。
又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2。
∴。
∴当t=2时，MN有最大值4。
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，
由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；
由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=x﹣2。
由两方程联立解得D为（4，4）。
综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。
（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值。
（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标。
11. （2012湖南湘潭6分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．
【答案】解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），∴b=2。
令y=0，则。
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，∴，即。
当k＞0时，=2，解得k=1；当k＜0时，=－2，解得k=﹣1。
∴此函数的解析式为：y=x+2或y=﹣x+2。
【考点】待定系数法求一次函数解析式。
【分析】先根据一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2）可知b=0，再用k表示出函数图象与x轴的交点，利用三角形的面积公式求解即可。
12. （2012湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。
【分析】（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。
（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。
（3）△MBC的面积可由表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。

25
用心 爱心 专心