群作用的测度可扩性和强测度可扩性.pdf

利用类比的方法将测度可扩和强测度可扩的概念从同胚推广到了紧致度量空间上的群作用,并证明了群作用下的测度可扩是动力性质.另外,还证明了没有周期点的群作用T是测度可扩当且仅当其是强测度可扩,以及如果群作用T是强测度可扩的,则T|P e r(T)是可扩的.关键词:测度可扩;强测度可扩;不变测度;B o r e l概率测度;群作用;周期点中图分类号:O 1 9 2 文献标识码:AM e a s u r e e x p a n s i v i t y a n d s t r o n g m e a s u r e e x p a n s i v i t y f o r g r o u p a c t i o n sJ I N Q i u s h i,D ONG M e i h u a(C o l l e g e o f S c i e n c e,Y a n b i a n U n i v e r s i t y,Y a n j i 1 3 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:T h e c o n c e p t s o f m e a s u r e e x p a n s i v e a n d s t r o n g m e a s u r e e x p a n s i v e w e r e e x t e n d e d f r o m h o m e o m o r-p h i s m t o g r o u p a c t i o n o n c o m p a c t m e t r i c s p a c e b y a n a l o g y.A n d i t w a s p r o v e d t h a t m e a s u r e e x p a n s i v e u n d e r g r o u p a c t i o n w a s a d y n a m i c p r o p e r t y.I n a d d i t i o n,i t w a s a l s o p r o v e d t h a t g r o u p a c t i o n T w i t h o u t p e r i o d i c p o i n t s w a s m e a s u r e e x p a n s i v e i f a n d o n l y i f i t w a s s t r o n g m e a s u r e e x p a n s i v e a n d i f g r o u p a c t i o n T w a s s t r o n g m e a s u r e e x p a n s i v e,t h e n T|P e r(T)w a s e x p a n s i v e.K e y w o r d s:m e a s u r e e x p a n s i v e;s t r o n g m e a s u r e e x p a n s i v e;i n v a r i a n t m e a s u r e;B o r e l p r o b a b i l i t y m e a s u r e;g r o u p a c t i o n;p e r i o d i c p o i n t0 引言拓扑动力系统的可扩性是动力系统研究的核心问题之一.可扩同胚作为动力系统中的一个重要概念,因其在遍历理论和连续统理论中有着广泛的应用,因此近年来学者们对其进行了较多研究1-4.2 0 1 7年,C o r d e i r o等1研究了强测度可扩同胚和测度可扩同胚之间的关系,并给出了若干关于测度可扩和强测度可扩的定理.基于上述研究,本文利用类比的方法讨论了文献1 中的部分定理在群作用背景下的扩展,并证明了其在群作用背景下仍然成立.1 预备知识设G为一个有限生成群,X为一个度量为d的紧致度量空间,N为一个正整数.用A c t(G,X)表示 第2期金秋实,等:群作用的测度可扩性和强测度可扩性G在X上连续作用T的集合,即T:GXX是一个连续映射,使得对于所有的xX和g,hG都有T(e,x)=x和T(g,T(h,x)=T(g h,x)成立,其中e是G的单位元.记T(g,x)为Tgx,用(X)表示由X的所有开子集生成的B o r e l-代数5,并称(X)中的每一个元素为一个B o r e l集.称在(X)上的每一个可加测度为X上的一个B o r e l测度,并且设每一个B o r e l测度为概率测度,即(X)=1.称TA c t(G,X)是可扩的,是指如果存在常数c0,使得对于所有的xX,gG都有Tc(x)=x成立,其中Tc(x)=yX:d(Tgx,Tgy)c,gG,c为T的可扩性常数.称一个B o r e l概率测度是满支撑的5,是指对任意xX和x的任意邻域Ux都有(Ux)0;称是非原子的,是指对任意点xX都有(x)=0成立;称是原子的,是指存在点xX使得(x)0成立;称是不变B o r e l概率测度6,是指对所有的B o r e l集B和gG都有(B)=(TgB)成立;称点xX是周期点7,是指集合Tgx|gG 是有限的;记P e r(T)为所有周期点的集合;称轨道Tgx|gG 是周期轨道,是指轨道上的点都是周期点x.设M(X)为紧致度量空间X上的所有B o r e l概率测度的集合,并且记M*(X)=M(X)|是非原子的.定义17如果存在常数c0,使得对于所有的xX,始终有(Tc(x)=0成立,则称测度M(X)相对于TA c t(G,X)是可扩的(或者T是可扩的).如果任何的非原子B o r e l概率测度M*(X)相对于T都是可扩的,则称TA c t(G,X)是测度可扩的.由上述可得:对于任何TA c t(G,X)的可扩测度M(X)都是非原子的.此外,任何非原子B o r e l概率测度M*(X)相对于可扩作用TA c t(G,X)都是可扩的.定义2设NN.如果存在c0,使得对于所有的xX,始终有不超过N个元素的集合Tc(x)存在,则称TA c t(G,X)是N可扩的.如果存在c0,使得对于所有的xX,始终有可数集合Tc(x)存在,则称TA c t(G,X)是可数可扩的.定义3如果存在常数c0,使得对于所有的不变B o r e l概率测度M(X)和xX,始终有(Tc(x)=(x)成立,则称TA c t(G,X)是强测度可扩的.定义4设X和Y是紧致度量空间,且TA c t(G,X),SA c t(G,Y),则称一个有序偶对(X,T)为一个动力系统.如果存在一个同胚:XY,使得Tg=Sg成立,则称两个动力系统(X,T)和(Y,S)是拓扑共轭的.如果一个动力系统(X,T)具有P性质,则任何与(X,T)共轭的动力系统(Y,S)也具有P性质,并称P为动力性质.称同胚是T与S间的共轭.2 主要结论及其证明定理1测度可扩是动力性质.证明 设X和Y为度量d和d 的紧致度量空间,(X,T)和(Y,S)是拓扑共轭的,由此知存在一个同胚:XY,使得Tg=Sg成立.若T是测度可扩的,则由定义1可知:存在可扩常数c0,使得对于所有的xX和M*(X),始终有(Tc(x)=0成立,即x=y.由于X和Y是紧致的,-1是连续的,所以-1是一致连续的.由一致连续的定义可知:对于任意的c0,存在常数c 0,使得对任意的x,yY,只要d(x,y)c,即有d(-1(x),-1(y)c成立.上述x,yY可使得对于所有的gG,始终有d(Sgx,Sgy)c 成立,即始终有d(Tg-1(x),Tg-1(y)c 成立.于是再根据-1是一致连续的可得d(Tg-1(x),Tg-1(y)0,使得对于所有的xX和M*(X),始终有(Tc(x)=0成立.如果是不变原子的B o r e l概率测度,则在周期轨道下是满支撑的.由于T没有周期点,故由周期点的定义可知不是在周期轨道下,这与假设矛盾.如果是不变非原子的B o r e l概率测度,则对于所有的xX,始终有(Tc(x)=0=(x)成立;因此,T是强测度可扩,定理2证毕.定理3设T:GXX是一个连续映射,如果T是强测度可扩的,则T|P e r(T)是可扩的.证明 设T是强测度可扩的,则存在可扩常数c0,使得对于所有的不变B o r e l概率测度M(X)和xX,始终有(Tc(x)=(x)成立.令:xyP e r(T),且yTc(x);m为x的周期;n为y的周期;是不变B o r e l概率测度,使得对任意的pO(x)O(y)有(p)=1m+n成立,其中O(x),O(y)表示周期轨道Tmx|mG,Tny|nG 的集合.则由此可得:(Tc(x)(x)+(y)=2m+n1m+n=(x).该结果与式(Tc(x)=(x)矛盾,故T|P e r(T)是可扩的.定理3证毕.基于上述研究,本文将有限生成群作用下的有关可扩的诸多性质间的关系总结如下:1可扩 可扩 (当群作用T没有周期点时,此方向成立)N可扩 强测度可扩 (当群作用T没有周期点时,此方向成立)可数可扩 测度可扩注1由可扩定义和强测度可扩的定义可知,可扩等价于1可扩,且由该可扩能推出强测度可扩;由N可扩的定义可知,由1可扩能推出N可扩;由可数可扩的定义可知,由N可扩能推出可数可扩.参考文献:1 C O R D E I R O W,D E NK E R M,Z HAN G X.O n s p e c i f i c a t i o n a n d m e a s u r e e x p a n s i v e n e s sJ.D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s D y n a m i c a l S y s t e m s S e r i e s A,2 0 1 7,3 7(4):1 9 4 1-1 9 5 7.2 L E E K,MO R A L E S C A,S H I N B.O n t h e s e t o f e x p a n s i v e m e a s u r e sJ.C o mm u n i c a t i o n s i n C o n t e m p o r a r y M a t h e m a t i c s,2 0 1 8,2 0(7):1 7 5 0 0 8 6.3 L E E K,MO R A L E S C A,S AN MA R T I N B.M e a s u r e N-e x p a n s i v e s y s t e m sJ.J o u r n a l o f D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s,2 0 1 9,2 6 7(4):2 0 5 3-2 0 8 2.4 MO R A L E S C A,S I R V E N T V F.E x p a n s i v e M e a s u r e sM.R i o d e J a n e i r o:I MP A,2 0 1 3.5 井凯,尹建东.具有拓扑稳定测度的非自治动力系统的复杂性J.南昌大学学报(理科版),2 0 2 0,4 4(6):5 1 1-5 1 4.6 D ON G M,K I M S,Y I N J.G r o u p a c t i o n s w i t h t o p o l o g i c a l l y s t a b l e m e a s u r e sJ.D y n a m i c S y s t e m s a n d A p p l i c a t i o n s,2 0 1 8,2 7(1):1 8 5-1 9 9.7 O P R O CHA P.C h a i n r e c u r r e n c e i n m u l t i d i m e n s i o n a l t i m e d i s c r e t e d y n a m i c a l s y s t e m sJ.D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s D y n a m i c a l S y s t e m s S e r i e s A,2 0 1 2,2 0(4):1 0 3 9-1 0 5 6.8 L E E K,NGUY E N N T,YANG Y.T o p o l o g i c a l s t a b i l i t y a n d s p e c t r a l d e c o m p o s i t i o n f o r h o m e o m o r p h i s m s o n n o n-c o m p a c t s p a c e sJ.D i s c r e t e a n d C o n t i n u o u s D y n a m i c a l S y s t e m s,2 0 1 8,3 8(5):2 4 8 7-2 5 0 3.9 UT Z W R.U n s t a b l e h o m e o m o r p h i s m sJ.P r o c e e d i n g s o f t h e Am e r i c a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,1 9 5 0,1(6):7 6 9-7 7 4.821