高中数学：三角函数的图象和性质活页训练.doc

图表 1

三角函数的图象和性质
1．函数f(x)＝sin(x＋)＋sinx的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
解析：f(x)＝cos＋sin＝sin(＋)，
相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，
T＝＝3π，∴＝.
答案：
2．(2010年天津河西区质检)给定性质：a最小正周期为π；b图象关于直线x＝对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab的是________．
①y＝sin(＋)　　　　　　　②y＝sin(2x＋)
③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－)
解析：④中，∵T＝＝π，∴ω＝2.又2×－＝，
所以x＝为对称轴．
答案：④
3．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)若<x<，则函数y＝tan2xtan3x的最大值为________．
解析：<x<，tanx>1，令tan2x－1＝t>0，则y＝tan2xtan3x＝＝＝－2(t＋＋2)≤－8，故填－8.
答案：－8
4．(2010年烟台质检)函数f(x)＝sin2x＋2cosx在区间[－π，θ]上的最大值为1，则θ的值是________．
解析：因为f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在区间[－，θ]上的最大值为1，可知θ只能取－.
答案：－
5．(2010年苏北四市调研)若函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－，]上单调递增，则ω的最大值为________．
解析：由题意，得≥，
∴0<ω≤，则ω的最大值为.
答案：
6．(2010年南京调研)设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈[－，0]，则x0＝________.
解析：因为图象的对称中心是其与x轴的交点，
所以由y＝2sin(2x0＋)＝0，x0∈[－，0]，得x0＝－.
答案：－
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．
①y＝4sin(4x＋)　②y＝2sin(2x＋)＋2
③y＝2sin(4x＋)＋2　④y＝2sin(4x＋)＋2
解析：因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以，解得A＝m＝2，又最小正周期为＝，所以ω＝4，又直线x＝是其图象的一条对称轴，将x＝代入得sin(4×＋φ)＝±1，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，φ＝.
答案：④
8．有一种波，其波形为函数y＝sinx的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
解析：函数y＝sinx的周期T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则t≥T＝5.
答案：5
9．(2009年高考安徽卷改编)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵y＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，且由函数y＝f(x)与直线y＝2的两个相邻交点间的距离为π知，函数y＝f(x)的周期T＝π，
∴T＝＝π，解得ω＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
答案：[kπ－，kπ＋](k∈Z)
10．已知向量a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量b＝(cosωx,2)，其中ω>0，函数f(x)＝a·b，若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意实数x∈[，]，恒有|f(x)－m|<2成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx,2)
＝sin2ωx＋(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋)＋.
∵相邻两对称轴的距离为π，∴＝2π，
∴ω＝，∴f(x)＝2sin(x＋)＋.
(2)∵x∈[，]，
∴x＋∈[，]，
∴2≤f(x)≤2＋.
又∵|f(x)－m|<2，
∴－2＋m<f(x)<2＋m.
若对任意x∈[，]，恒有|f(x)－m|<2成立，则有
解得≤m≤2＋2.
11．设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为4，求m的值．
解：(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋sin2x＋m
＝2sin(2x＋)＋m＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
在[0，π]上的单调递增区间为[0，]，[，π]．
(2)当x∈[0，]时，∵f(x)单调递增，
∴当x＝时，f(x)取得最大值为m＋3，即m＋3＝4，
解之得m＝1，∴m的值为1.
12．已知函数f(x)＝sinωx－2sin2＋m(ω>0)的最小正周期为3π，且当x∈[0，π]时，函数 f(x)的最小值为0.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)在△ABC中，若f(C)＝1，且2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求sinA的值．
解：(1)f(x)＝sinωx＋cosωx－1＋m
＝2sin(ωx＋)－1＋m.
依题意，函数f(x)的最小正周期为3π，
即＝3π，解得ω＝.
∴f(x)＝2sin(＋)－1＋m.
当x∈[0，π]时，≤＋≤，≤sin(＋)≤1，
∴f(x)的最小值为m.依题意，m＝0.
∴f(x)＝2sin(＋)－1.
(2)由题意，得f(C)＝2sin(＋)－1＝1，
∴sin(＋)＝1.
而≤＋≤，
∴＋＝，解得C＝.∴A＋B＝.
在Rt△ABC中，∵A＋B＝，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得sinA＝.
∵0<sinA<1，∴sinA＝.

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韩卓艳
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