绕水翼空化流固耦合特性研究现状与展望.pdf

年 月 第 卷 第 期 许彬绕水翼空化流固耦合特性研究现状与展望许彬，王浩，沈熙，刘克洋，张德胜（江苏大学国家水泵及系统工程技术研究中心，江苏 镇江 ）收稿日期：；修回日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：国家自然科学基金联合基金项目（）；江苏省高等学校基础科学（自然科学）重大项目（）第一作者简介：许彬（），男，江苏南京人，副研究员，博士（），主要从事流体机械及工程研究通信作者简介：张德胜（），男，江苏南通人，研究员，博士生导师（），主要从事流体机械及工程研究摘要：针对绕水翼空化流固耦合特性，从试验和数值模拟等方面进行了总结 详细评述了侵入式局部探针测量技术和非侵入式全场光学测量技术的优缺点，并且从空化形态、流场结构等方面对绕水翼非定常空化流动相关试验研究进行了较为详细的评述和讨论 总结了不同空化模型和湍流模型对模拟绕水翼空化初生、发展和脱落过程的影响 在绕水翼空化流固耦合的试验研究方面，详细从测量结构的固有频率、振动特性、应变以及结构位移等方面对相关研究进行了分析，指出空穴形态的捕捉和结构动力学特性参数的测量是绕水翼空化流固耦合试验研究的关键 在绕水翼空化流固耦合的数值模拟方面，详细讨论了整体求解法和分步求解法，指出附加质量效应是求解绕水翼空化流固耦合的重要关注点 最后，从多物理场同步观测与分析、空化 涡 湍流三者相互作用机制、考虑热力学效应的绕水翼空化流固耦合和建立考虑多物理尺度变化的空化模型等方面展望了绕水翼空化流固耦合未来发展方向关键词：水翼；空化；流固耦合；试验研究；数值模拟中图分类号：文献标志码：文章编号：（）：许彬，王浩，沈熙，等 绕水翼空化流固耦合特性研究现状与展望 排灌机械工程学报，（）：，（），（）：（），（，）：（），排灌机械工程学报第 卷 ，：；空化是指液体内局部压力低于环境温度下的饱和蒸汽压时，液体内部或者固液交界面上空泡的形成、发展和溃灭的过程 空化数是用来描述空化发展的量纲一数，表征系统的压力变化，按照空穴形态特征及发展程度，可以将水翼表面附着型空化分为初生空化、片状空化、云状空化和超空化等 个阶段 空化是一种常见的复杂流动现象，广泛存在于水力机械、深海发射、航空航天等涉及国民经济与社会发展的重要领域 随着材料学科的不断发展，弹性材料因具有高比强、耐高温、耐腐蚀、耐疲劳、阻尼减震性好、破损安全性好等优势常常被人们运用于螺旋桨、涡轮泵等水力机械领域以及能源和海洋工程领域的装备研发，水弹性载荷和结构弹性变形之间的相互作用更加复杂，非定常空化流动下的流固耦合特性尤为显著综上所述，考虑非定常空化流动及其流固耦合特性的研究对于水力机械性能的提升、水下兵器的研制以及航空航天的发展都具有非常重要的价值目前，基于水力机械叶片特征的水翼是水力机械及空化研究领域的热点之一 文中拟首先综述绕水翼空化流动的试验以及数值模拟研究现状，然后进一步对空化流动作用下的流固耦合特性进行回顾与梳理，最后对绕水翼空化流固耦合的发展趋势进行展望 绕水翼空化流动的研究现状 绕水翼空化流动的试验研究非定常空化流动试验测量的参数主要包括空化流动中的蒸汽含量、速度、压力等 流场内部蒸汽含量是表征空化最直观的物理量 早在 年 等 就尝试采用光学探针获得了不同形态空化区域中的时均蒸汽含量，再到采用 射线密度仪 测量空化流场中部分空间点的蒸汽含量，通过对流场蒸汽含量的测量试验很大程度上提高了对于非定常空化流动空穴形态的认知 速度作为基本的物理量之一，反映了流场内部的动力学特性 早期的流场速度是依靠探针进行测量，但由于速度探针会破坏流场内部结构而影响测量的准确性，故逐步被基于光学原理的激光多普勒测速仪（，）和粒子图像测速（，）技术所取代 等 基于 技术捕捉了绕 水翼非定常空化流动中空泡初生发展脱落的全过程 基于 技术基础上发展的时间分辨粒子成像测速系统（，）以及 结合激光诱导荧光（，）等技术，也在很大程度上提高了对空化内流场速度测量的准确性 空化的产生就是由于压力的变化，因此压力场也可以反映空化状态及剧烈程度 常见的压力测量方法就是在监测点位置安装压力传感器，等 借助压力传感器对水翼尾部振动进行测量，进而提出云空化尾部反射流脱落机制 为了能准确测量扭曲水翼表面的压力变化，等 通过增加传感器数量来保证压力测量的准确性 总的来说，目前流场中物理参数的主流测量技术可以分为 种：一种是侵入式局部探针测量技术，包括用于测量空隙率和速度的双光学探针、用于测量空隙率和气液两相形态的光学内窥镜以及测量压力的压力传感器等；另一种是非侵入式全场光学测量技术，包括典型的高速摄影以及利用荧光粒子结合光学滤镜的 等 表 总结了 类测量技术 第 期许彬，等绕水翼空化流固耦合特性研究现状与展望的优缺点表 不同测量技术的优缺点 测量技术测量方法优点和缺点侵入式局部探针测量技术光学探针、速度探针、压力传感器等优点：能够准确地测量被测量点的相关数据；缺点：探针等物体的存在会对流场形成干扰，与所预期的流场有所差距非侵入式全场光学测量技术射线密度仪、等优点：保证了流场结构的完整性；缺点：对于试验条件要求较为苛刻；获得的图像等数据需要特定的方法进行处理 等 探究了不同空化数下绕 水翼的非定常空化流动过程，指出云状空化会出现周期性的脱落过程 等 以 水翼为载体进行了试验探究，结合数值分析，指出了附着空化和云空化脱落是边界层厚度增加的主要原因 等 使用高速摄影探究不同攻角对水翼附着空腔长度的影响 等 采用高速摄影的方法对比了绕光滑壁面水翼和粗糙壁面水翼下的空化流动特性，指出了表面粗糙度会影响流体绕水翼空化流动的空泡形态 接着，等 对比了铝制水翼、不锈钢水翼以及环氧涂层水翼在不同空化数下的空化流动特性，发现该空化发展过程包含 个典型阶段：附着空化的发展和由于回射流导致的空泡云团的脱落及溃灭 陈倩等 在 水翼前缘添加了粗糙带 研究发现，该粗糙带会提高水翼前缘的局部压力从而改变空化流动特性 等 试验研究了障碍物对于绕水翼空化流动特性的抑制效果为了揭示热力学效应下的绕水翼的空化流动特性，不少学者都进行了相关研究 其中最为经典的是 在 年，针对液氢和液氮 种低温介质开展的较为全面的低温空化水洞试验试验模型包括不同尺寸的文丘里管、水翼和尖顶拱试验得到的关于不同空化数和不同温度下的低温空化数据被广泛用于低温空化数值模型的验证 年，等 针对不同温度水绕 水翼空化流动特性进行了试验研究 通过测量水翼表面压力以及空泡长度等变量，分析了热力学效应对空化流动特性的影响 等 针对液氮绕 水翼分析了不同空化数下绕水翼表面的空化形态 等 针对氟化酮绕水翼研究了不同来流速度、空化数以及温度对其空化流动特性的影响，指出热力学效应对空化的影响不可忽视 朱佳凯 搭建了一个适用于低温介质空化流动的可视化试验台，针对液氮绕水翼进行了试验研究，揭示了热力学效应对空化的抑制作用综上所述，试验研究的准确性依赖于测量方法的选择和试验环境的控制，如何在尽可能不破坏流场结构的前提下获得更为准确的试验数据是改进测量方法所面临的挑战；而低温介质绕水翼的非定常空化流动研究需要对流场温度和压力进行测量，这增加了试验的难度，需要在今后的试验中加以考虑 绕水翼空化流动的数值模拟 网格技术及空化模型梁尚等 采用基于四叉树结构的自适应网格技术，以 水翼为载体进行数值研究发现，在网格不加密的情况下，空泡脱落形态较为模糊；在一级加密下，数值计算结果能捕捉到空化脱落现象且流场分辨率显著提高；在二级加密下，能明显观察到回射流的产生以及一些涡结构 杨玉肖等 针对二维水翼周围流场的网格划分采用了基于四叉树结构的自适应网格加密方式，该网格生成方法很好地捕捉到了绕 水翼非定常空化流动过程中空泡的脱落及溃灭过程学术界广泛采用的是基于 方程的 空化模型 、空化模型 以及 （）空化模型 这 种空化模型的单位体积质量传输率都同含气率的一阶导数相关，不同的是 空化模型和 空化模型都认为含气率与气泡数密度相关，空化模型中的单位体积的质量传输率仅仅与气相密度有关，与液相密度、混合项密度均无关；空化模型中的单位体积质量传输不仅与蒸汽密度相关，还涉及了液相密度与混合项密度，因此被称为全空化模型；空化模型则是将蒸汽体积分数与单位体积中液体的气泡数量联系在一起 等 采用 空化模型捕捉到了绕 水翼空化流动过程中空泡初生发展溃灭的全过程 等 采用 空化模型模拟分析了 水翼的空蚀程度，利用强度函数法（，）、灰度级法（，）以及新提出的侵蚀功率法（，）对水翼进行空蚀预测并与试验结果进行了对比分析 郑小波等 在 空化模型的混合项密度中引入不可凝结相的体积分数和质量分数，重新定义并计算了新的质量传输率 刘莉莉 构建了一种非线性空化模型，并采用 排灌机械工程学报第 卷该模型模拟了绕水翼空化流动特性 该空化模型能够完整地预测空泡的初生发展脱落溃灭过程，其中附着片状空化的空泡增长率与试验基本一致，验证了该模型的适用性与正确性随着低温液体火箭的发展，许多学者针对不同低温介质绕水翼的非定常空化流动特性进行了数值方面的研究 孙铁志等 基于 空化模型，同时耦合求解考虑汽化潜热的能量方程，模拟了液氢和液氮 种低温介质绕水翼的非定常空化流动特性，研究了热力学效应对空化发展过程的抑制作用 等 对比液氢与水绕水翼的空化数值模拟结果，指出空泡的脱落和空化数与 倍攻角比值（）的大小密切相关 等 基于 空化模型，综合考虑了热力学效应对于流体物性参数的影响，模拟了低温介质空化流动特性，并与试验结果对比，验证了该模型的可行性 等 假设空化过程中存在热力学平衡，提出了一种动态空化模型，考虑了吉布斯自由能的影响，结合 方程与 方程来计算气核半径，该模型能更好地适用于考虑传热的激波诱导空化的情况 湍流数值模拟方法基于 方法所建立的湍流模型包含雷诺应力模型和涡黏模型 种，其中最为广泛也是最早运用于数值模拟的就是涡黏模型中的两方程模型，包括标准 模型，模型以及 模型等 丁恩宝等 基于标准 模型，采用 对绕 水翼非定常空化流动进行了数值模拟和分析，探究了空化起始点的位置 研究发现，空化初生的临界雷诺数与攻角有一定的关系 万初瑞等 采用了 种不同的两方程湍流模型对绕 水翼空化流动进行了数值模拟 研究发现，采用 湍流模型获得的计算结果能更好地与试验结果吻合，但由于数值耗散等问题，空化压降不足并且梢隙涡不明显这些模型对湍流黏度的过度预测导致无法准确捕捉到空化的发展过程，因而有学者针对湍流黏度进行修正，来提高数值模拟空化流动的准确度 等 基于密度修正的 模型，以 水翼为载体进行了数值模拟，预测了主动射流对空化流动的影响，得到了较为清晰的空化过程，指出了最佳抑制空化的射流位置是水翼上表面顶点处 陈铠杰等 对 湍流模型的湍流黏度进行了密度修正，并且通过数值计算模拟了回射流的流动特性，同时在绕三维 水翼的空化数值模拟中发现了“马蹄”形空化形态 这些修正方法都是采用密度函数替代原来湍流黏度中的混合项密度，在基于 方法的湍流模型中，还有考虑可压缩性的密度修正模型（，），它是通过引入 个参数来降低空化区域核心的涡流黏度；还有通过引入滤波器尺度对两方程模型进行修正的滤波器模型 （，），当湍流尺度大于滤波器尺度时，对原两方程模型中过度预测的湍流黏度进行修正，而当湍流尺度小于滤波器尺度时，则保留原湍流模型进行计算 种模型所影响的区域不同，故也衍生出了很多将 种模型结合的湍流模型，如将 与 结合形成基于混合密度分域的湍流模型（，），能够准确地预测整个流场的湍流流动特性；还有将 与 模型的滤波函数进行相互比较，采用适宜的模型 对 相 应 流 场 进 行 修 正 的 滤 波 器 模 型 （，）唐庆宏等 基于密度修正的湍流模型，同时考虑热力学效应，数值模拟了绕水翼空化流动特性，指出了绕水翼空化流动中水翼尾部空泡溃灭引起的凝结放热会导致温度升高 等 基于 模型对绕 水翼进行了数值模拟，分析了绕水翼非定常空化中各个时期的空穴特征 李雨等 分别采用标准 模型，以及 这 种湍流模型模拟了绕 水翼的非定常空化流动特性，研究结果表明，通过标准 模型得到的升阻力系数的主次频分明，基本没有杂频出现，难以表现出空化的非定常特性；而通过 湍流模型所得到的斯特劳哈尔数与试验相差较大；通过 和 这 种湍流模型得到的计算结果与试验结果较为吻合，能够较好地捕捉空化初生、发展以及脱落的过程，具有较好的适用性不同于基于 的湍流方法，大涡模拟能够解析所有尺度的结构，通过对 方程的低通滤波来求解涡结构，得到瞬态流场，能够非常准确地捕捉空化的非定常细节 对于大涡模拟而言，其关键之一就是亚网格尺度模型（，）的选择 最为典型的就是 模型、动态 模型和壁面自适应局部涡黏模型 模型的不足就在于 常数 被视为定值，因此可能会导致对于近壁面流动细节捕捉的不准确；动态模型则是 第 期许彬，等绕水翼空化流固耦合特性研究现状与展望根据特定流场情况来计算 值，从一定程度上优化了原模型；涡黏模型能够很好地处理层流到湍流之间的转化，因此被广泛运用于大涡模拟中 等 采用大涡模拟的方法模拟了 水翼在流场中的叶尖泄漏空化过程 等 基于大涡模拟，同时选用自适应局部涡黏模型对绕 水翼空化流动特性进行模拟，发现了水翼尾缘开始的圆形空腔结构由于局部压力增加而收缩形成了“马蹄”形涡 等 在大涡模拟的基础上采用了过滤的速度与压力替代原有的速度与压力，提出了一种隐式大涡模拟（，）来对水翼非定常空化做出预测，结合尺度自适应模拟（，）对绕 水翼空化流动特性进行了探究分离涡模拟（，）是一种将 与 相结合的一种混合建模方法 等 采用基于 方法的 湍流模型求解边界和无旋流区来建立 湍流模型，对绕 水翼的空蚀强度做出了预测 刘莉莉 采用分离涡模拟，揭示了绕水翼非定常空化周期性的全过程 方法以及 方法虽然能取得部分有前景的结果，很好地捕捉空化过程中的非定常细节，但其中包含大尺度结构的解析会使计算负荷大大增加；而传统的基于 方法模糊的非定常特征的分辨率也同样很难满足研究所需要的要求，在此基础上产生了一种基于 方法的湍流建模 方法同样是基于均匀假设，气液混合物被视为具有相同压力和速度场的单一流体，在此基础上引入模化的湍动能和总湍动能之比 以及模化耗散率和总耗散率之比 对滤波参数进行量化，在基于 方法的两方程模型中导出 湍流模型 等 采用基于 方法的 模型对添加障碍物的水翼云空化的发展进行分析，研究了的取值对于空化流动模拟准确性的影响 等 将 方法中固定的 值用含有湍流尺度长度和局部网格大小的函数替代，提出了改进的 湍流模型，研究发现，改进后的 方法能够实现较好的预测 涡量输运方程涡量输运方程反映了涡量变化率同流场各个物性参数之间的关系 等 模拟了绕水翼的叶尖泄漏空化过程，分析了空化 涡之间的相互作用 研究发现，拉伸扭曲项在空化演化过程中占据主导地位，而膨胀收缩项在叶尖泄漏涡空腔内的值是负的，而周围却是正的，说明涡量在从腔内向腔外转移，斜压扭矩项远远小于另外两项，说明了压力和密度梯度没有出现较大范围的失调 等 发现空化越不稳定，涡的拉伸扭曲项作用越突出，同时指出斜压扭矩项是空化涡产生的主要因素 等 指出了膨胀收缩项直接与流体相变过程相关，斜压扭矩项主要作用于气液相界面间，与空泡脱落有着密切的联系 等 指出涡的伸展发生在云空腔中心，云空化引起的旋涡变形、旋转、倾斜引起了角矩的增加，促进了涡量的产生，斜压扭矩项是空泡溃灭涡量的主要来源 刘莉莉 在对绕 水翼的空化数值模拟中也同样指出云空化的初生和发展阶段拉伸扭曲项以及膨胀收缩项在涡量变化中占主导地位，斜压扭矩项则主要作用于气液交界面处 绕水翼空化流固耦合特性研究现状 绕水翼空化流固耦合特性的试验研究大量的国内外试验研究表明，绕水翼非定常空化流动会对其结构造成比较大的影响 等 在空化水洞中对水翼进行试验，采用了激振器测量水翼的固有频率和模态振型，设置了传感器测量相应的力 对比空气介质和水介质下的模态，可以发现空气中第一阶模态为绕 轴的弯曲模态，第二阶模态为绕 轴的弯曲模态，第三阶模态为绕 轴的扭转模态；水介质下模态振型基本保持不变，但由于水的质量比要大于空气的质量比，故相应的固有频率有所降低 等 采用了一种新的嵌入式全分布光纤传感器来测量应变，这种方法能够有效避免传感器对水翼表面结构的影响多场同步测量也常被用来分析空化过程中各个形态对结构的影响，目前使用频率较高的是采用高速摄像机和激光多普勒测振仪进行同步测量 等 在多场同步测量系统下，采用小波分析的方法对载荷振动进行了数据处理，发现随着空化数的减小，载荷发生了显著变化，空泡形态与结构振动密切相关，同时指出弹性水翼在流固耦合作用下会使处在高频振荡下的载荷发生衰减，加速空化各个状态之间的过渡 等 采用高速数码相机和单点激光多普勒测振仪对绕 水翼的流固耦合特性进行了试验研究，揭示了空化数与结构振动之间的关联特性 刘韵晴等 同样采用多场同步测量的方法对绕弹性 水翼空化流固 排灌机械工程学报第 卷耦合特性进行了试验研究，揭示了空化流场对水翼结构特征及动力学特性的影响机制 王宁等 采用多普勒激光测振仪和高速摄影机捕捉到了不同空化数下绕水翼的空化形态，同时对比不同质量比的材料在云空化状态下的振动特性，发现由于弹性水翼更易受到水弹性载荷的影响，流固耦合作用也更为明显，振动过程中含有很多次频和杂频，从一定程度上说明了云空泡溃灭产生的能量对于弹性水翼影响更剧烈 等 试验测得不同空化数下的空腔脱落频率以及振动主要频率综上所述，空化流固耦合中包含了非定常空化流动和结构变形中的相互作用，是一种极为复杂的物理现象 而在现有条件下，试验研究受限于测量技术和环境条件，因此难以通过试验研究手段来充分揭示空化流固耦合特性 绕水翼空化流固耦合特性的数值模拟研究孟璐等 采用基于 模型修正的完全耦合策略对绕 水翼流固耦合特性进行了耦合求解，较为准确地预测了流固耦合作用下水翼的振动位移 整体求解方法有很大的局限性，需要在同一个系统内求解 种控制方程，网格数量过大难以求解，且在结构刚度与固液密度比较大时易产生病态矩阵 由于分块求解将流场和结构分开来进行求解，大大改善了整体求解的不足，它通过在固液交界面进行流场和结构之间的相互传递来实现流固耦合作用，这类耦合策略需要选取不同的网格和离散方法进行求解 固液交界面的流场网格处理、动网格技术以及界面插值方法的选取都决定着分块耦合的准确性 等 采用松耦合策略分析了流体黏性对绕水翼流固耦合的影响，指出了流体惯性项以及阻尼项对水翼的固有频率和总阻尼系数产生影响 松耦合最大的缺点就是流场与结构的积分存在时间延迟，不同于松耦合，紧耦合在每个时间步内增加耦合迭代的次数，消除了时间延迟的影响，也是目前运用最多的一种耦合策略 胡世良 采用了紧耦合的策略对绕 水翼流固耦合进行了数值研究，通过流场有限体积法和结构有限元法结合求解，发现了无空化作用下水翼弯曲变形非常有限，耦合作用更多来源于扭转变形产生的附加攻角；同时随着来流速度的增加，翼型变形加剧，升力系数有所提升 等 在紧耦合算法的基础上，求解了 方程，指出了水翼弯曲变形的趋势和水翼升力系数变化有着较好的一致性非定常空化流动中各个空泡形态的非定常特性会诱导弹性水翼发生强烈的流固耦合效应 高远 研究了不同空化形态下水翼的振动特性，阐述了空泡溃灭与结构振动的关联特性 等 基于径向基函数插值法的动网格技术，模拟了绕水翼空化流固耦合特性 研究发现空腔体积变化与涡量变化趋势有着较好的一致性，同时水弹性响应与旋涡的产生、消失密切相关 等 基于顶点迭代的紧耦合算法研究了绕水翼涡激振动特性，指出了涡激振动会影响横流方向上的波动分量 等 将有限元求解器 与 求解器耦合，能够捕捉黏性流体结构间的相互作用 孟璐 采用了双向流固耦合的方法，以复合材料水翼为载体，对比了不同空化条件下的水翼尖端振动位移值、压力云图及扭转角度，结果表明复合材料存在较强的流固耦合作用，抑制了云空化的发展与脱落，降低了空泡大尺度溃灭对水翼造成的振动影响附加质量效应是指物体在流场中运动时，即使不考虑流体的黏性仍会受到流体动力作用，即在物体的原有质量上增加了部分质量，增大了物体的惯性 其中最为典型的就是 模型和 模型，种模型分别对流体的作用力进行了预测，其中应用广泛的 模型是基于不可压缩、无黏性流动的流体构建的；而 模型则是考虑流体黏性对流体作用力的影响 吴钦 在紧耦合算法的基础上引入 模型来考虑附加质量力，提出了混合耦合算法，极大地提高了流固耦合求解时方程的数值稳定性 等 采用混合耦合算法对比了弹性、刚性水翼的空化流固耦合特性 研究展望）已有研究表明，绕水翼空化流固耦合特性涉及空化流动及结构场振动等多物理场的耦合作用，现有的测量技术都是针对空化流动或者结构场振动等单一变量进行测量，缺少同步观测与分析，这也将是今后试验测量的重要方向）绕水翼空化流固耦合包含了空化、旋涡、湍流等各种复杂的流动现象，如何通过输运方程以及旋涡结构图对旋涡进行研究，揭示速度和压力梯度与旋涡结构非稳态特征的关联特性，这是今后值得关注的方向）随着中国航空航天事业的不断发展，液氢、液氧和液氮等低温介质受到越来越多的关注 诱导 第 期许彬，等绕水翼空化流固耦合特性研究现状与展望轮空化产生的各种不稳定现象，比如振动和噪声等会极大地影响推进系统的稳定运行 考虑热力学效应的绕水翼空化流固耦合需要引起重视）空化中包含了从单个空泡发展到空泡群间复杂流动的多物理尺度的变化，如何建立多物理尺度变化的空化模型仍是目前所要面临的难题之一非定常空化流动中的湍流多尺度效应和多相流效应诱导结构振动机制也尚不明确，探究其存在的多尺度旋涡结构对诱导振动响应的影响机制是进一步研究绕水翼空化流固耦合特性的重点参考文献（），（）：，（）：，（）：，（）：，：，：，（）：，：，（）：，：陈倩，吴钦，黄彪，等 绕前缘粗糙水翼非定常空化流动实验研究 第三十届全国水动力学研讨会暨第十五届全国水动力学学术会议 合肥：合肥工业大学，：，（）：，：，：，：，：，：，（）：朱佳凯，低温空化非稳态特性和机理研究 杭州：浙江大学，梁尚，李勇，万德成 基于自适应网格技术的 水翼空泡数值模拟 水动力学研究与进展（辑），（）：，（），（）：（）杨玉肖，赵晟，万德成 不同网格加密方式模拟 水翼空化流动 第三十一届全国水动力学研讨会，：，（）：，：，排灌机械工程学报第 卷 ，：，（）：，：郑小波，刘莉莉，郭鹏程，等 基于不同空化模型 水翼三维空化特性数值研究 水动力学研究与进展（辑），（）：，（），（）：（）刘莉莉，基于非线性空化模型的三维水翼非定常空化流动数值研究 西安：西安理工大学，孙铁志，魏英杰，王聪 液氢和液氮绕水翼空化流动特性分析 哈尔滨工业大学学报，（）：，（）：（），：，：，：丁恩宝，常晟铭，林健峰，等 翼型空化起始点及尺度效应分析 应用科技，（）：，（）：（）万 初 瑞，严 鹏，王 建 强基 于 方 法 的 水翼梢隙涡数值模拟 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