第6章 磁流体力学不稳定性.doc

第6章 磁流体力学不稳定性
§6.1概论
等离子体能够被磁场约束并处于力学平衡状态。一个处于力学平衡状态的等离子体位形，当它受到某种扰动，偏离平衡态时，等离子体将如何反应？是越来越偏离平衡态，最后导致平衡态被破坏呢，还是很快将扰动抑制住回到平衡态．前者是不稳定平衡，后者是稳定平衡．
但当磁流体处在非热力学平衡态，其内部存在着可以转换成扰动能量的自由能时，在合适的条件下有些扰动就可能发展成为在大范围、长时间、能量超过热噪声水平的大幅度集体运动．这种集体运动就称为不稳定的模式，相应现象就称为磁流体的不稳定性．
研究等离子体的各种不稳定性，阐明其物理机制，探索抑制不稳定性的方法，一直是受控核聚变研究的重要课题．磁约束等离子体可以处于力学平衡状态，但它不是完全的热力学平衡态．等离子体处于非热力学平衡状态意味着等离子体具有较高的自由能，因而必然会产生从较高能量状态过渡到较低能量状态的宏观或微观运动．等离子体偏离热力学平衡态大体有两类方式．一类是等离子体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学量的空间局域性和不均匀性；另一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布．由于前一种原因产生不稳定性时，等离子体通常以整体形式在空间改变其形状，因而称为宏观不稳定性。由后一种原因产生的不稳定性称为微观不稳定性．宏观不稳定性通常用磁流体力学方程进行分析，因而也称为磁流体力学不稳定性，而微观不稳定性则用动力论方程进行分析，因而也叫动力学不稳定性．由于磁流体力学不稳定性在磁约束核聚变等离子体中具有更重要的地位，处理方法也相对地比较容易，因此本节仅讨论磁流体力学不稳定性．下面我们将首先从分析流体的瑞利一泰勒不稳定性（Rayleigh－Taylor instability）入手，这样做物理图像清晰，易于理解．然后讨论在分析磁流体力学不稳定性中得到广泛应用的能量原理．在这基础上分析几种主要的宏观不稳定性，最后讨论等离子体电阻对不稳定性的影响．
下面是几种典型的磁流体不稳定模式．
例 1．瑞利一泰勒（Rayleigh-Taylor）不稳定性（图4．1）；
例2．开尔文一亥姆霍兹（Kelvin－Helmholtz）不稳定性（图4．2）；
例3．腊肠型不稳定性（图4．3）；
例4．弯曲型不稳定性（图4.4）；
例5. 磁岛（图4.5）；
例6. 磁重联（图4．6）．

每种不稳定的扰动在其演化过程中都会依次经历下面三个阶段：线性阶段、非线性阶段及饱和阶段．在线性阶段，扰动的幅度较小，不同类型的扰动彼此之间并不相互作用，扰动对它所处的平衡态也无影响，这时扰动的幅度是随时间指数增长的．在非线性阶段，扰动幅度增大到会反过来使原有的平衡量作一定调整（因此改变了自己得以不稳定增长的初始条件，使馈入的自由能量减少），并达到开始和其他扰动模式相互作用（从而彼此间交换能量）的程度，从而使增长率木断下降．这时扰动幅度是依次随时间的不同幂次（一般是从高幂到低幂次）而增长的．当时间的幂次最后降低到零时，就达到了演化的终点——扰动的幅度不再随时间增加，而一直保持极大值，这就是饱和．本章只讨论磁流体的线性不稳定性．

线性不稳定性的基本描述方法
（1）简正模法
先将描述所研究对象的状态量写成平衡量（零级量）和扰动量（一级小量）之和，然后把它们代入所用的磁流体方程组，从中减去平衡方程并略去二级小量就得到了线性化的方程组．对这些方程作（时间）拉氏变换和（空间）傅氏变换后可能出现下列几种情况：
（i）全部空间坐标都能进行傅氏变换．这样线性微分方程组就变成了线性的齐次代数方程组，它的有非平凡解的条件（系数行列式为零）就给出了关于的色散关系．例如上一章中平板几何位形下的阿尔文波的色散关系正是由这种方式得到的．
（ii）只有部分空间坐标能进行傅氏变换，剩余的坐标构成了约化的微分方程组．这时要设法先得到它的通解，然后利用边条件或连接条件也可以得到的色散关系．例如上一章中，柱坐标下阿尔文波的色散关系就是这样求得的．
（iii）所得出的约化微分方程如果是奇异的，如上一章中连续谱阿尔文波所满足的方程
(2)能量原理（仅对理想磁流体适用）

§6.2瑞利一泰勒不稳定性
这是一种经典的流体不稳定性．因为这种不稳定性是由重力驱动的，故又称重力不稳定性．让我们来研究图3.25所示的一个容器．该容器内盛有两种不同质量密度的液体，上面的液体质量密度大，下面的质量密度小．两种流体之间有明显的分界线．显然，质量密度梯度由下向上，受到的重力由上向下，用来表示．液体的平衡方程是
(1)
(2)
式中是流体元的速度．流体达到平衡．现在假定在交界面上出现了一个微扰动，其形式为
(3)
这样，密度和流体速度便可写成：
(4)
从这里开始，参数下标为0表示平衡量，参数下标为1表示扰动量．将（4）式代入平衡方程（3），我们得到质量守恒方程
（5）
在整理上式时，已考虑到流体是不可压缩的，．将（3））式代人（5）式便得到表达式：
（6）
同样可以得到扰动后的动量方程和的表达式：
（7）
（8）
将（6）式和（8）相结合使得到如下的方程：
． （9）
（9）式说明，当流体的密度梯度方向跟受到的重力方向相反时就会产生不稳定性，此时，这就是说重流体在上面轻流体在下面的这种平衡是不稳定的．只要有微扰（轻轻晃动），就会破坏原来的平衡状态，直到达到另一种新的平衡态为止．这时重流体在下，轻流体在上，正好跟原来交换了位置，所以这种不稳定性也叫做交换不稳定性．
现在我们采用类比的方法来研究约束在磁场中的等离子体．假定磁场与等离子体之间达到了平衡，中间有明显的分界面．就是说在等离子体中没有磁场，在磁场中没有等离子体．这时，等离子体除了受到重力之外，还受到磁场的作用力，包括磁场梯度引起的力和磁场的弯曲引起的力．当然这是指单个粒子受到的力，我们把它们当作等效重力（跟流体情况作类比），记作，
(10)
将

以及粒子能量代入上式并对整个麦克斯韦速度分布函数积分，我们可以得到作为流体元的等效重力：
（11）
对干各向同性等离子体，，因此
因为在低情况下
所以 （12）
将（12）式代入（9）式便得到描述瑞利一泰勒不稳定性的方程
（13）
上式说明，当磁场曲率与等离子体密度梯度方向相反，即，就会产生不稳定性．这种不稳定性条件也可以表示为磁场梯度与等离子体密度梯度同向，即．如图3.26（a）所示．从图中可以看出，这时的磁力线是凹向等离子体的．这种曲率被称为“坏曲率”．图3．26（b）画出了稳定的磁场位形．此时，磁场曲率与等离子体压强梯度（或密度梯度）同向．磁力线凸向等离子体，这种磁场位形的曲率被称为“好曲率”．
在实际的磁场位形中，曲率矢量往往不断改变方向．也就是说，在某个地方是“好曲率”，在另一个地方则变成“坏曲率”．如在简单磁镜场中，在中心部位是“坏曲率”，而在“咽喉”部位则是“好曲率”．因此，有必要引入“平均曲率”的概念．
定义： 磁力线管的比容，它是磁力线管的几何体积与管内的磁通量的比值：，，

平均曲率的定义为

因此，平均曲率半径为

前面得到的稳定条件（好曲率）是曲率与同向，即，在聚变等离子体中，一般都是中心密度大，即；因此稳定条件要求．这就相当于要求

其中为磁面包围的体积．因此，即有极大值，其中必有磁场极小值，这相当于平均磁阱．这说明位于磁阱的等离子体是稳定的．与之相反，位于磁山“磁山”的等离子体是不稳定的，

§6.2 等离子体的能量原理
不考虑离子和电子的效应，可将等离子体作为单流体来处理。采用理想磁流体力学方程组作为出发点
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
其中 表示比热比。设每一个变量均为平衡量和扰动量的叠加，即。为简化起见，不考虑平衡流，即。（如果可以讨论）则将方程（1）－（6）线性化之后可得关于一阶扰动量的微分方程组
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
令相对于流体元平衡位置的扰动位移为一阶小量，则有
（12）
将上式分别代入方程（7）、（9）和（10），对时间积分，可将扰动密度、扰动压强和扰动磁场均用扰动位移来表示
（13）
（14）
（15）
将这些表达式代入方程（8），并利用方程（11），则可得到关于扰动位移的二阶微分方程
（16）

（17）
显而易见，相当于由扰动位移所引起的作用在单位流体体积上的力。在适当的边界条件下解此方程，可以确定位形的稳定性。
根据能量守恒原理，扰动位移引起的系统总能量的变化为零，即动能和势能的变化之和为零
（18）
将上式对时间微商可得
（19）
利用扰动方程（16）和函数的自伴性，即
（20）
可将方程（19）中的第一项写成
（21）
则由方程（19）可得扰动势能的变化
（22）
从直观上来说，线性系统在力的方向上做位移时，所做的功为。根据能量守恒原理，这个功之可能是以消耗势能为代价，因此可得方程（22）。
假设等离子体边界为理想导电壁，一次在边界上垂直位移。将式（17）代入方程（22）可得等离子体内部扰动势能变化的表达式

（23）
右边被积函数中第一项总是正的，代表流体可压缩性的稳定作用；第二项在很多情况下是负的，可导致压强梯度驱动的不稳定性；第三项总是正的，代表磁张力的稳定作用，因为弯曲磁感应线会导致磁能增加；第四项有时是负的，可导致电流驱动的不稳定性。
如果等离子体边界为真空区，在等离子体内部，根据欧姆定律（6）的线性化形式，在固定于流体上的坐标系中必有。而电场的切向分量在等离子体和真空的交界面上连续，故在等离子体之外的真空区也有
（24）
即 （25）
这里是垂直于等离子体边界、法向的单位矢量，是垂直速度。在真空中可将扰动磁场用矢势表示成，利用法拉第电磁感应定律（5）式，则有，代入方程（25）并利用可得边界条件为
（26）
在真空之外的理想导电壁上，则有
（27）
根据平衡方程，在跨越等离子体和真空的交界面上的总压强连续，
（28）
相应地，在位移的边界上总压强也必须连续
（29）
将方程（29）的各项用其在平衡位置上的值展开，且只保留一级近似，则有
（30）
此时，这扰动势能除了方程（23）所示的外，还有等离子体表面的部分
（31）
利用边界条件（25）和（31）可将分成边界上的扰动势能
（32）
表示稳定性取决于界面内外的势能差，和真空区中的扰动势能
（33）
代表环绕等离子体之真空磁场的势能，总是起稳定作用。
有了扰动势能的一般表达式，对于具体问题，在已知平衡位形的情况下，如果能找到一种位移扰动，使得，则可以判断对应的等离子体系统是不稳定的。 但问题在于如何选区一个位移扰动使得。一位使得最负的扰动是最不稳定的扰，可以采用逐步挑选使不断极小化的方法来求出尽可能地的扰动势能。 当这个事能的极小值时，相应的就是使系统不稳定的扰动位移。这表明，寻求使得的扰动位移的问题，可以看做寻找泛函的变分极值问题。