高中数学经典错因正解汇总：第十章导数及其应用.doc

导数及其应用---导数及其运算
辅导教师 朱屿 15044088809
一、知识导学
1.瞬时变化率：设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。
2.导数：当趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。
3.导函数：如果在开区间内每一点都是可导的，则称在区间可导。这样，对开区间内每个值，都对应一个确定的导数。于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数的导函数。记为或（或）。
4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。
2）函数积的求导法则：设，是可导的，则即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
3）函数的商的求导法则：设，是可导的，，则

5.复合函数的导数:设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.
6.几种常见函数的导数：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
二、疑难知识
1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
2.运用复合函数的求导法则,应注意以下几点
（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.
(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如实际上应是。
(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如选成，计算起来就复杂了。
3.导数的几何意义与物理意义
导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。
4.
表示处的导数，即是函数在某一点的导数；表示函数在某给定区间内的导函数，此时是在上的函数，即是在内任一点的导数。
5.导数与连续的关系
若函数在处可导，则此函数在点处连续，但逆命题不成立，即函数
在点处连续，未必在点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。
6.可以利用导数求曲线的切线方程
由于函数在处的导数，表示曲线在点处切线的斜率，因
此，曲线在点处的切线方程可如下求得：
（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率。
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：，如果曲线在点的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为.
三、经典例题
[例1]已知,则 .
错因：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.
正解：设,,则
.
[例2]已知函数判断f(x)在x=1处是否可导？
错解：。
分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .
解：

　　　∴ f(x)在x=1处不可导.
注：，指逐渐减小趋近于0；，指逐渐增大趋近于0。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即，△x→0，包括△x→0＋，与△x→0－，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.
[例3]求在点和处的切线方程。
错因：直接将，看作曲线上的点用导数求解。
分析：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；
点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．
解：
即过点的切线的斜率为4，故切线为：．
设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，
故，。
即切线的斜率为4或12，从而过点的切线为：

点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．
[例4]求证：函数图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.
分析： 由导数的几何意义知，要证函数的图象上各点处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.
解：（1），即对函数定义域内的任一，其导数值都小于，于是由导数的几何意义可知，函数图象上各点处切线的斜率都小于1.
（2）令，得，当时，；当时，，
曲线的斜率为0的切线有两条，其切点分别为与，切线方程分别为或。
点评： 在已知曲线 切线斜率为的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是的导数值为时的解，即方程的解，将方程的解代入就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.
[例5]（02年高考试题）已知，函数，，设，记曲线在点处的切线为 .
（1）求 的方程；
（2）设 与 轴交点为，求证：
　① ；　　　　　②若，则
分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .
解：（1）

切线的方程为
即.
（2）①依题意，切线方程中令y=0得，

②由①知，

[例6]求抛物线 上的点到直线的最短距离.
分析：可设 为抛物线上任意一点，则可把点到直线的距离表示为自变量的函数，然后求函数最小值即可，另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线的距离即为本题所求.
解：根据题意可知，与直线 x－y－2=0平行的抛物线y=x2的切线对应的切点到直线x－y－2=0的距离最短，设切点坐标为（），那么,∴
∴ 切点坐标为，切点到直线x－y－2=0的距离，
∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为.
四、典型习题
1.函数在处不可导，则过点处，曲线的切线 （ ）
A．必不存在　B．必定存在 C．必与x轴垂直　 D．不同于上面结论
2.在点x=3处的导数是____________.
3.已知，若，则的值为____________.
4.已知P（－1，1），Q（2，4）是曲线上的两点，则与直线平行的曲线的切线方程是 _____________.
5.如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程.
6．若过两抛物线和的一个交点为P的两条切线互相垂直.求证：抛物线过定点，并求出定点的坐标.
§10.2导数的应用
一、 知识导学
1.可导函数的极值
（1）极值的概念
设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或），则称为函数的一个极大（小）值，称为极大（小）值点.
（2）求可导函数极值的步骤:
①求导数。求方程的根.
②求方程的根.
③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数在这个根处取得极小值.
2.函数的最大值和最小值
（1）设是定义在区间上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值，可分两步进行.
①求在内的极值.
②将在各极值点的极值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若函数在上单调增加，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数在上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.
二、疑难知识
1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0，可是这里的根本不存在，所以点不是的驻点.
(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数的导数，在点处有，即点是的驻点，但从在上为增函数可知，点不是的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然.
(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.
2.极大（小）值与最大（小）值的区别与联系
极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值.
三、经典例题
[例1]已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.
错解：，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.
错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.
正解：设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率
，又，。①点在曲线上，
②，②代入①得
化简，得，或.若，则，过点的切线方程为；若，则，过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或
[例2]已知函数在上是减函数，求的取值范围.
错解：在上是减函数，在上恒成立，
对一切恒成立，，即，.
正解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即且，.
[例3]当 ，证明不等式.
证明：，，则，当时。在内是增函数，，即，又，当时，，在内是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.
点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间，从而导出及是解决本题的关键.
[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?
解 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得
=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.
点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.
[例5]函数，其中是的导函数.（1）对满足－1≤≤1的一切的值，都有＜0，求实数的取值范围；
（2）设＝－，当实数在什么范围内变化时，函数＝的图象与直线＝3只有一个公共点.
解：（1）由题意
令，
对，恒有，即
∴ 即
解得
故时，对满足－1≤≤1的一切的值，都有.
（2）
①当时，的图象与直线只有一个公共点
②当时，列表：

极大

极小

∴
又∵的值域是，且在上单调递增
∴当时函数的图象与直线只有一个公共点.
当时，恒有
由题意得
即
解得
综上，的取值范围是.
[例6]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）
分析：如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，
即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最
大的照度，只需求的极值就可以了.
解：设到的距离为，则，
于是，.
当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大.

（0，）

+
-

↗
↘
点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.
四、典型习题
1．已知函数，若是的一个极值点，则值为 （ ）
A．2 B.-2 C. D.4
2.已知函数在处有极值为10，则= .
3．给出下列三对函数：①②，
③，；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是 ， .
4．已知函数有极大值和极小值，求的取值范围.
5．已知抛物线，过其上一点引抛物线的切线，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求的方程.
6．设在上的最大值为，，
（1）求的表达式；（2）求的最大值.
§10.3定积分与微积分基本定理
一、知识导学
1．可微：若函数在的增量可以表示为的线性函数（是常数）与较高阶的无穷小量之和:（1）,则称函数在点可微，（1）中的称为函数在点的微分，记作或.函数在点可微的充要条件是函数在可导，这时（1）式中的等于.若函数在区间上每点都可微，则称为上的可微函数.函数在上的微分记作.
2．微积分基本定理：如果，且在上可积.则
.其中叫做的一个原函数.
由于，也是的原函数，其中为常数.
二、疑难知识
1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.
1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成份，这样只要2其中的使就可以了.
2）对每个小区间内的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.
3）求极限的时候，不是，而是.
2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为.
3．利用定积分来求面积时，特别是位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.
三 、经典例题
[例1]求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积S.
错解：分两部分，在，在，因此所求面积为 2+（-2）=0。
分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。
正解：
[例2]用微积分基本定理证明
（）
分析：即寻找的原函数代入进行运算。
解；设，则
= =
由微积分基本定理的逆运用可知：上式
所以原式成立，即证。
注：该式可用来求分布在轴两侧的图形的积分。
[例3]根据等式求常数的值。
1） 2）
分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入求解
解：1）
2）
[例4]某产品生产x个单位时的边际收入　　
（１）   求生产了50个单位时的总收入。
（２）   如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。
分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数和边际收入的关系可得
（1）生产50个单位时的总收入为
= =99875
（2）已生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为
答：生产50个单位时的总收入为99875；生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850.
[例5]一个带电量为的电荷放在轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿轴方向从处移动到处时电场力对它所作的功。
分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。
解：单位正电荷放在电场中，距原点处，电荷对它的作用力为
在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知

答：电场力对它做的功为。
[例6]一质点以速度沿直线运动。求在时间间隔上的位移。
分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。
解：
答：位移为。
四、典型习题
1. ( )
A. B. C. D.
2．（ ）
A．0 B.2 C.-2 D.4
3．，则 。
4．利用概念求极限：
5．求下列定积分；
（1） （2）
6．写出下面函数在给定区间上的总和及的表达式

- 16 -