高考中《平面向量》易错题.doc

平面向量
高考中《平面向量》易错题
055350 河北隆尧第一中学 焦景会

平面向量知识要点
1．两个向量的数量积与向量同实数积
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；
（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分，符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；
（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；
2．平面向量数量积的运算律
（1）结合律不成立：，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线，在实数中，有(×) = ，但是(×)¹ (×)。
（2），，但，。
3．向量知识在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直。
4．注重数学思想方法
①．数形结合的思想方法。
由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。
②．化归转化的思想方法。
向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。
③．分类讨论的思想方法。
如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。下面就高考中平面向量易错、易混点举例分析如下。
一、概念定义理解不透彻致错
例1、（陕西卷理8文8）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （（ （ ）
（A） （B） （C） (D) （（（（（（（（
【错解】 不能正确处理向量的方向致错选为D 由知, 为的重心,根据向量的加法, ，则=。
【正解】 =，
，正确答案：A 。
二、混淆平面向量运算公式及运算律致错
例2、（浙江卷文5）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）
A． B． C． D．
【错解】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．由于混淆向量平行与垂直的条件，即非0向量 ，，而不能求得答案。
【正解】不妨设，则，对于，则有；又，则有，则有，答案：D 。
例3、（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
【正解】向量＝（－3－1，2），＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有
（－3－1，2）×（－1,2）＝0，即3＋1＋4＝0，解得：＝，选.A。
三、不能正确应用向量加法与减法几何意义致错
例4、（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _________。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【错解】错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质即平面向量基本定理。
【正解】设、则 , ,，
代入条件得。
例5、（天津卷理15）在四边形ABCD中，==（1，1），，则四边形ABCD的面积是
【错解】不清楚与∠ABC的角平分线有关。
【正解】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为，且对角线BD等于边长的倍，所以，故，。
四、不能将向量与函数进行联系
例6、（四川卷文16）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：
①设是平面上的线性变换，，则
②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；
③对，则是平面上的线性变换；
④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。
其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
【错解】忽略函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，对立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力的试题不够适应。
【正解】①：令，则故①是真命题
同理，④：令，则故④是真命题
③：∵，则有，
是线性变换，故③是真命题
②：由，则有，

∵是单位向量，≠0，故②是假命题，【答案】①③④。
五、不能将向量与平面几何进行联系
例7、（天津卷文15）若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.
【错解】不能将向量与三角形中的几何性质结合运用，或对基本知识的综合运用能力不够强。
【正解】合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设
这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2。
例8、（浙江卷理7）设向量，满足：，，．以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A． B． C． D．
【错解】不能将向量与圆、三角形等知识相结合。
【正解】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．答案：C
六、不能将向量与三角函数进行联系
例9、（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.
若其中,则
的最大值是________.
【错解】不能正确应用三角函数性质求解。
【正解】设 ，，即，
∴。
总上可见，不断积累练习过程中易错的问题，有针对性地进行易错题训练，可少走弯路，避免大量练习，收到事半功倍的效果。
[链接练习]
1、O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
, 则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
(A) 外心 (B) 内心 (C) 重心 (D) 垂心
2、将函数y=2x的图象按向量 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① 的坐标可以是
（-3，0） ②的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③的坐标可以是（0，6） ④的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4

3、已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. （3，8） C. D. （3，13）
4、△ABC中，已知，，，判断△ABC的形状。
[链接练习答案]：1、答案：B。错误原因：对理解不够。
不清楚与∠BAC的角平分线有关。
2、答案：D 错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。
3、答案：C 解题思路：因为向量减法满足三角形法则，作出，，。
（1）当△ABC存在，即A、B、C三点不共线时，；
（2）当与同向共线时，；当与反向共线时，。∴，故选C。
错误原因：对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线，因此它们可以共线。当A、B、C共线时，△ABC不存在，错选D。
4、【正解】；
，。
∵。∴，，，∴、B、C均为锐角。∴△ABC为锐角三角形。
错因 ∵，∴。∴∠B为钝角，∴△ABC为钝角三角形。错将与的夹角看成是△ABC的内角B，向量与的夹角应为。

第 5 页 2024-12-25