【创新设计】2011高中数学二轮复习-考点突破-第一部分-专题四-第三讲-直线与圆锥曲线的位置关系-理.doc

第三讲　直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，
则椭圆的长轴长为 (　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
解析：设椭圆方程为＋＝1，
将x＝－y－4代入整理得：
4(a2－3)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0，
由Δ＝0可求a＝，则2a＝2.
答案：C
2．(2009·山东)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，
若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 (　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x
解析：y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，
令x＝0得：
y＝－.∴×·＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案：B
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝
|AF|，则△AFK的面积为 (　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
解析：

∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，准线为x＝－2，∴K(－2,0)
设A(x0，y0), 过A点向准线作垂线AB，则B(－2，y0)．
∵|AK|＝|AF|，
又AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2，
∴由BK2＝AK2－AB2，得y＝(x0＋2)2，
即8x0＝(x0＋2)2，解得A(2，±4)，
∴△AFK的面积为|KF|·|y0|＝×4×4＝8，故选B.
答案：B

A．1 B. C. D．2
解析：由e＝＝＝得a＝2b，a＝c，b＝.
由，得(3＋12k2)y2＋6cky－k2c2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝①
y1y2＝②
由＝3得y1＝－3y2③
联立①②③得k＝.
答案：B
5．(2010·安徽蚌埠)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k
的取值范围是 (　　)
A. B.
C. D.
解析：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，
∴直线与双曲线右支有两个不同交点，解得
－<k<－1.故选D.
答案：D
二、填空题
6．(2009·海南)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C
交于A，B两点，若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
解：设抛物线C的方程为y2＝ax，直线y＝x与抛物线C两交点的坐标为A(x1，y2)，
B(x2，y2)，
则有
①－②整理得×＝，∴a＝4.
所求抛物线方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
7．(2009·福建)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B
两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
解析：设直线AB的方程为y＝x－，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
把y＝x－代入y2＝2px整理得2＝2px
x2－3px＋＝0.
则x1＋x2＝3p，|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
由已知条件4p＝8，p＝2.
答案：2

解析：由
消去y得：(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＝1－x1，y2＝1－x2，
∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝0，
∴2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴－＋1＝0，
∴a2＋b2＝2a2b2，又∵a>b>0，∴＋＝2.
答案：2

答案：2
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有
两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向
量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.
整理得x2＋2kx＋1＝0①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①得x1＋x2＝－②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2③
而A(,0),B(0,1)，＝(－，1)．
所以+与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，
将②③代入上式，解得k＝.
由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.

②当k≠0时，可设l的方程y＝kx＋m(k≠0)，联立方程组

消去y，整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.
直线l和椭圆C有两个不同的交点．
则Δ＝36k2m2－12(1＋3k2)(m2－1)>0，即1＋3k2－m2>0.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0的两根，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
则PQ中点N(x0，y0)的坐标为
x0＝＝－，y0＝kx0＋m＝，
即N.
又∵||＝||，∴⊥，∴k·kAN＝－1，
即k·＝－1，
∴m＝，代入1＋3k2－m2>0，
得1＋3k2－2>0(k≠0)，∴k2<1，
∴k∈(－1,0)∪(0,1)．
综合①②，得k的取值范围是(－1,1)．

(1)若|k|≤2，求离心率e的取值范围；
(2)若|k|＝2，并且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程．
解：(1)直线l的方程为y＝k(x－c)，则点M(0，－ck)．
∵点B分的比λ＝2，
∴xB＝c，yB＝－.
∴＋＝1，
∴k2＝＝－
＝4e2＋－13.
∵k2≤24，∴4e4－37e2＋9≤0.
解之≤e2≤1，也即≤e<1.
(2)∵k＝2，∴e＝.
∴a＝2c，b＝c.
∴椭圆方程为＋＝1.将直线y＝2(x－c)代入椭圆方程得33x2－64cx＋28c2＝0.
由韦达定理得x1＋x2＝，又右准线为x＝4c，
∴弦AB中点到右准线距离为4c－，
故4c－c＝，
解得c＝2，从而a＝4，b＝2.
∴椭圆方程为＋＝1.
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用心 爱心 专心