江西省鹰潭市2010届高三数学第一次高考模拟考试(理)人教版.doc

江西省鹰潭市2010届高三第一次模拟考试
数学理
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把正确答案填入答题卡上的相应空格内)
1. 已知复数，则复数（ A ）
A.0 B.2 C. D.
2. 下列结论正确的是( C )
A不等式x2≥4的解集为{x|x≥±2}
B不等式x2-9＜0的解集为{x|x＜3}
C不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-＜x＜1+}
D设为的两个实根，且,则不等式的解集为{x|x1＜x＜x2}
3.直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
4. 中，角A、B、C满足方程：的两根之和等于两根之积的，则一定是（B）
A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D钝角三角形
5. 在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（ C ）
A． B． C． D．
6.一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（ B ）
A．40 B．74 C．84 D．200
7.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法不正确的是（ B ）
（A）A中的每一个元素在集合B中都有对应元素
（B）A中两个元素在B中的对应元素必定不同
（C）B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同
（D）B中的元素在A中可能没有对应元素
8.已知函数f(x)=且，
则方程f(x)=x解的个数为（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9. .在直角坐标系中，若方程表示的曲线是椭圆，则m的取值范围为 （ D ）
A. B. C. D.
10. 函数的图象如右图所示，其中a、b为常数，
则下列结论正确的是（ D ）
（A） （B）
（C） （D）
11. 已知;则( )
（A） （B） （C） （D）
12. 设，且总体密度曲线的函数表达式为：，
　　则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填入答题卡上)。
13. 正三棱锥S-ABC的侧棱长为2，侧面等腰三角形的顶角为，过底面顶点作截面交侧棱SB、SC分别于M、N两点，则周长的最小值是 。

14. 设是的展开式中的一次项的系数,则
的值是
答案：18
15. 如图所示，已知A、B、C是椭圆E：=1（a＞b＞0)上的三点，,BC过椭圆的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|.则椭圆的离心率为

16. 给出封闭函数的定义：若对于定义域内的任意一个自变量,都有函数值,则称函数在上封闭.若定义域则给出下列函数：
（A） （B）
（C） （D）
其中在D上封闭的是 .（填序号即可）
答案 BCD
三、解答题：(本大题6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积.
解：（I）由 得
整理，得 ……………… …………… 4分
解得 ……………… …6分
（II）由余弦定理得，
， ………………………8分
又， ∴ab = 6……………………………10分
…………………………12分
18．（本小题满分12分）
某商场准备在元旦节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?
解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为. ……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……5分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 ……6分[来源:高考资源网ZXXK][来源:高考资源网ZXXK]
同理可得 ……7分
……8分[来源:高考资源网ZXXK]
……9分[来源:Z+xx+k.Com]
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是. ……10分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以, …… 11分
故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利.… 12分
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，⊥底面，底面为梯形，，，且，点是棱上的动点.
（Ⅰ）当∥平面时，确定点在棱上的位置；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角余弦值.
解：（Ⅰ）在梯形中，由，，得，∴．又，故为等腰直角三角形．∴．
连接，交于点，则
∥平面,又平面,∴
在中，，
即时，∥平面
（Ⅱ）方法一：在等腰直角中，取中点，连结，则．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴平面．
在平面内，过作直线于，连结，由、，得平面，故．∴就是二面角的平面角．
在中，设，则，[来源:K]
，，
，
由，可知：∽，∴，
代入解得：．
在中，，∴，
．∴二面角的余弦值为．
方法二：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．
设，则，，，，．
设，为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．
设为平面的一个法向量，则，，
又，，∴，解得，∴．
∴二面角的余弦值为．
（文科）在四棱锥O—ABCD中，OA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=OA=tBC（t>0）。
（I）当t=1时，求证：BD⊥DC；
（II）若BC边有且仅有一个点E，使得OE⊥ED，求此时二面角A—CD—E的正切值。

解：（I）当t=1时底面ABCD为正方形，
又因为
又 （5分）
（II）因为AB，AD，AO两两垂直，分别以它们所在

直线为x轴、y轴、z轴建立坐标系，如图所示，令AB=1，
可得
则B（1，0，0），（7分）
设BE=m，则
要使
∵BC边有且仅有一个点E，使得OE⊥ED。

所以BC边上有且仅有一个点E，使得OE⊥ED时，E为BC的中点，且
（9分）
设面OED的法向量
则 即 解得
取平面OAD的法向量的大小与二面角A—DO—E的大小相等或互补。 所以
因此二面角A—OD—E的正切值为 （12分）
20．（本小题满分12分）
已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线.
（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；
（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，求直线的方程
（Ⅲ）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程.

解：（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线上， 所以 ，即. ………….2分
故所求抛物线的方程为，其准线方程为. ……………….3分
（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，由，可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，故直线的斜率为，所以的方程为 …6分
（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为， ………………8分
由 得,……….10分
易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，
所以点B的坐标为,
同理可得C点坐标为, ……………….11分
所以
, ……………….9分
线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，
所以 ,由于， 解得 . …………….10分
此时，点B的坐标为，点C的坐标为，
直线BC的斜率为，
所以，BC的方程为，即. …….12分
21．（本小题满分12分）
（文科）已知函数和的图象关于原点对称，且．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)解不等式；
(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．
解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
∵点在函数的图象上
∴
(Ⅱ)由
当时，，此时不等式无解。
当时，，解得。
因此，原不等式的解集为。
（Ⅲ）
①
②
ⅰ）
ⅱ）
（理科）设函数在上是增函数。
（1） 求正实数的取值范围；
（2） 设，求证：
解：（1）对恒成立，
对恒成立 又 为所求。…………5分
（2）取，，
一方面，由（1）知在上是增函数，
即……………………………………8分
另一方面，设函数
∴在上是增函数且在处连续，又
∴当时，
∴ 即
综上所述，………………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
（文科）在数列
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若m为正整数，当
解：（I）由变形得：
故数列是以为首项，1为公差的等差数列 （5分）
（II）（法一）由（I）得
（7分）
令
当

又

则为递减数列。
当m=n时，
递减数列。 （9分）

要证：时，

故原不等式成立。 （14分）
（法二）由（I）得
（7分）
令
上单调递减。（9分）
也即证，

故原不等式成立。 （14分）

（理科）已知数列中，，当时，其前项和满足，
（1） 求的表达式及的值；
（2） 求数列的通项公式；
（3） 设，求证：当且时，。
解：（1）
所以是等差数列。则。。
（2）当时，，综上，。
（3）令，当时，有 （1）
法1：等价于求证。
当时，令
，则在递增。
又，所以即。
法（2）
（2）
（3）
因
所以
由（1）（3）（4）知。
法3：令，则
所以
因则
所以 （5） 由（1）（2）（5）知

用心 爱心 专心