三角代数上的局部广义李n导子.pdf
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1、利用恒等式理论,证明了在一定条件下,三角代数T上的局部广义李n导子可以表示为=G+h,其中G:TT为广义导子,h:TZ(T)满足:对于任意的x1,x2,xnT,有h(pn(x1,x2,xn)=0,其中pn为(n-1)-交换子.最后给出了上述结果的一个应用.关键词:局部广义李n导子;三角代数;广义导子;李n导子;恒等式理论中图分类号:O 1 5 3.3 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 3)0 5-0 0 2 4-0 5L o c a l g e n e r a l i z e d L i e n d e r i v a t i o n s o n t r i a
2、 n g u l a r a l g e b r a sYUAN H e,YU H u i-l i n g,T I AN Y i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s,J i l i n N o r m a l U n i v e r s i t y,S i p i n g 1 3 6 0 0 0,J i l i n,C h i n a)A b s t r a c t:U s i n g t h e i d e n t i t y t h e o r y,t h i s p a p e r p r o v e s t h a t u n d e
3、 r c e r t a i n a s s u m p t i o n s,t h e l o c a l g e n e r a l i z e d L i e n d e r i v a t i o n o n a t r i a n g u l a r a l g e b r a T i s o f t h e f o r m=G+h,w h e r e G:TT i s a g e n e r a l i z e d d e r i v a t i o n a n d h:TZ(T)s a t i s f i e s h(pn(x1,x2,xn)=0 f o r a l l x1,x
4、2,xnT,a n d pn i s(n-1)-c o mm u t a t o r.T h e a p p l i c a t i o n o f t h i s r e s u l t i s p r e s e n t e d a t t h e e n d o f t h i s p a p e r.K e y w o r d s:l o c a l g e n e r a l i z e d L i e n d e r i v a t i o n;t r i a n g u l a r a l g e b r a;g e n e r a l i z e d d e r i v a t
5、 i o n;L i e n d e r i v a t i o n;i d e n t i t y t h e o r y 2 0 0 1年,C h e u n g1给出了一类三角代数上交换映射的表示形式,开创了三角代数上映射问题的研究,之后,学者们研究了三角代数上的各类导子2-1 0.2 0 0 3年,C h e u n g2给出了三角代数上李导子的表示形式,随后,其结果被推广到了李三导子3及李n导子4上.2 0 1 1年,B e n k o v i c5研究了三角代数上广义李导子的表示形式.2 0 1 7年,A s h r a f等6给出了三角代数上广义李三导子可以表示成一个广义导子与一
6、个中心映射之和的充分条件.2 0 1 8年,L i n7将文献6 的结果推广到了广义李n导子上.随着对三角代数上李导子的研究越来越深入,学者们开始研究三角代数上的局部李导子8-1 0.本文在上述结果的基础上研究三角代数上局部广义李n导子的表示形式.1 预备知识设R是含有单位元的交换环,A和B是R上含有单位元的代数,设M是非零(A,B)-双模且既是左A-忠实模又是右B-忠实模,定义集合T=AM0B =a m0b :aA,bB,mM .显然,T在通常矩阵运算下构成一个代数,并称之为三角代数,I=1A001B 为T的单位元.T的中心为Z(T)=a00b :a m=b m,mM .定义R-线性投射:A
7、:TA和B:TB分别为:42 2 0 2 3年第5期 袁 鹤等:三角代数上的局部广义李n导子 2 0 2 3 N o.5L o c a l g e n e r a l i z e d L i e n d e r i v a t i o n s o n t r i a n g u l a r a l g e b r a sA:a m0b a,B:a m0b b.容 易 看 出,A(Z(T)是Z(A)的 子 代 数,B(Z(T)是Z(B)的子代数,且存在唯一的代数同构:A(Z(T)B(Z(T),满足对于任意的aA(Z(T),mM,有a m=m(a)1.设e=1A000 ,f=I-e=000 1B
8、,T1 1=e T e,T1 2=e T f,T2 2=f T f,则三角代数T可以分解为T=e T e+e T f+f T f=T1 1+T1 2+T2 2.显然,T1 1与T2 2为T的子代数且分别同构于A与B,T1 2为(T1 1,T2 2)-双 模 且 同 构 于M,A(Z(T)与B(Z(T)分别同构于e Z(T)e与f Z(T)f,且存在代数同构:e Z(T)ef Z(T)f满足对 任 意 的ae Z(T)e,me T f有a m=m(a)7.本文提到的线性映射均为R-线性映射.若代数T上线性映射d:TT满足d(x y)=d(x)y+x d(y),x,yT,则称d为导子.若对于线性映
9、射g:TT,存在导子d:TT满足g(x y)=g(x)y+x d(y),x,yT,则称g为广义导子,并称d为g的伴随导子.类似地,可以给出李导子及广义李导子的定义.若线性映射:TT满足(x,y)=(x),y+x,(y),x,yT,则称为李导子.若对于线性映射:TT,存在李导子:TT,满足(x,y)=(x),y+x,(y),x,yT,则称为广义李导子,并称为的伴随李导子.相应地,可以定义李n导子及广义李n导子.设p1(x1)=x1,p2(x1,x2)=p1(x1),x2=x1,x2,p3(x1,x2,x3)=p2(x1,x2),x3=x1,x2,x3,pn(x1,x2,xn)=pn-1(x1,x
10、2,xn-1),xn.若线性映射L:TT满足L(pn(x1,x2,xn)=nk=1pn(x1,xk-1,L(xk),xk+1,xn),x1,x2,xnT,则称L为李n导子.同样地,若对于线性映射G:TT,存在李n导子L:TT满足:对于任意的x1,x2,xnT,有G(pn(x1,x2,xn)=pn(G(x1),x2,xn)+nk=2pn(x1,xk-1,L(xk),xk+1,xn),则称G为广义李n导子,并称L为G的伴随李n导子.2 主要结果 若对于线性映射:TT及任意的xT,存在广义李n导子Gx:TT满足(x)=Gx(x),则称为局部广义李n导子.引理17 设T=AM0B 是(n-1)挠自由三
11、角代数,G:TT为广义李n导子,则存在内导子d:TT及广义李n导子G:TT满足G=d+G,e G(f)f=0.由引理1知,只需研究三角代数上满足e G(f)f=0的广义李n导子的表达式便可以得到一般的广义李n导子的表达式.因此,假设本文的局部广义李n导子满足:对于任意的xT,存在T上满足e Gx(f)f=0上的广义李n导子Gx,使得(x)=Gx(x).(1)引理24 设T=AM0B 是三角代数,则对于任意的xT及任意的正整数n2,有pn(x,e,e)=(-1)n-1e x f,pn(x,f,f)=e x f.特别地,x,e=-e x f,x,f=e x f.引理37 设T=AM0B 是(n-1
12、)挠自由三角代数,若T满足以下条件:(i)e Z(T)e=Z(T1 1),f Z(T)f=Z(T2 2);(i i)Z(A)=a:a,x,y=0,x,yA或Z(B)=b:b,x,y=0,x,yB.则T上广义李n导子G可以表示成G(x)=g(x)+(x),xT,其中g:TT为广义导子,:TZ(T)满足(pn(x1,x2,xn)=0,x1,x2,xnT.定理1 设T=AM0B 是(n-1)挠自由三角代数,假设T满足以下条件:52西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第5 9卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e
13、r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.5 9(i)A,B可由其中的幂等元生成;(i i)e Z(T)e=Z(T1 1),f Z(T)f=Z(T2 2);(i i i)Z(A)=a:a,x,y=0,x,yA或Z(B)=b:b,x,y=0,x,yB.则T上满足(1)的局部广义李n导子可以表示成(x)=G(x)+h(x),n2,其中G:TT为广义导子,h:TZ(T)满足h(pn(x1,x2,xn)=0,x,x1,xnT.根据文献8 引理2.2,结合引理3可得引理4 设T=AM0B 是三角代数,:TT为局部广义李n导子,n2,则对于任意幂等元P,QT及
14、任意元素XT,存在线性映射1,2,3,4:TZ(T),满足(PXQ)=(PX)Q+P(XQ)-P(X)Q+P1(PXQ)Q-P 2(PXQ)Q+P 3(PXQ)Q-P4(PXQ)Q,(2)其中P=I-P,Q=I-Q,i满足i(pn(x1,xn)=0,i1,2,3,4,x1,xnT.引理5 设T=AM0B 是(n-1)挠自由三角代数,:TT为局部广义李n导子,n2,则对于任意的A1 2T1 2有(A1 2)=e(A1 2)f.证明 对 于 任 意 的A1 2T1 2,由A1 2=pn(A1 2,f,f)及引理2可得(A1 2)=GA1 2(A1 2)=GA1 2(pn(A1 2,f,f)=pn(
15、GA1 2(A1 2),f,f)+pn(A1 2,DA1 2(f),f,f)+pn(A1 2,f,f,DA1 2(f)=e(A1 2)f+(n-1)eA1 2,DA1 2(f)f,其中DA1 2为广义李n导子GA1 2的伴随李n导子.上式两边左乘e右乘f,可得eA1 2,DA1 2(f)f=0,因此(A1 2)=e(A1 2)f.】引理6 在定理1的假设条件下,局部广义李n导子满足:对于任意的A1 1T1 1,A2 2T2 2,有f(A1 1)fZ(T2 2),e(A2 2)eZ(T1 1).证明 对于任意的A1 1T1 1,A2 2T2 2,A1 2T1 2,由pn(A1 1,A2 2,A1
16、 2,f,f)=0可得GA1 1(pn(A1 1,A2 2,A1 2,f,f)=pn(GA1 1(A1 1),A2 2,A1 2,f,f)+pn(A1 1,DA1 1(A2 2),A1 2,f,f)=0,其中DA1 1为GA1 1的伴随李n导子,因此 GA1 1(A1 1),A2 2+A1 1,DA1 1(A2 2),A1 2=0,即e(GA1 1(A1 1),A2 2+A1 1,DA1 1(A2 2)e+f(GA1 1(A1 1),A2 2+A1 1,DA1 1(A2 2)fZ(T).因此,对 于 任 意 的A1 1T1 1,A2 2T2 2,有fGA1 1(A1 1),A2 2f=f GA
17、1 1(A1 1)f,A2 2Z(T2 2),由定理1的(i i i)有f GA1 1(A1 1)fZ(T2 2),即f(A1 1)fZ(T2 2).显然n=2时上式仍成立.同理可得e(A2 2)eZ(T1 1).】根据引 理6,定 义f1(A1 1)=f(A1 1)fZ(T2 2),f2(A2 2)=e(A2 2)eZ(T1 1),则对于任意的x1,x2,xnT1 1,有f1(pn(x1,x2,xn)=f(pn(x1,x2,xn)f=f Gpn(pn(x1,x2,xn)f=f(pn(Gpn(x1),x2,xn)f+f(pn(x1,Dpn(x2),xn)f+f(pn(x1,x2,Dpn(xn)
18、f=0,其中Dpn为Gpn的伴随李n导子.类似地,对于任意的y1,y2,ynT2 2有f2(pn(y1,y2,yn)=0.再定义h(x)=f1(e x e)+-1(f1(e x e)+f2(f x f)+(f2(f x f),其中xT并且为预备知识中的代数同构,则h(x)Z(T),h(pn(z1,z2,zn)=0,z1,z2,znT.(3)令G=-h.(4)由引理5及h(A1 2)=h(pn(A1 1,A1 2,f,f)=0可知,对任意的A1 2T1 2,A1 1T1 1,A2 2T2 2,有G(A1 2)=(A1 2)-h(A1 2)T1 2,(5)G(A1 1)=(A1 1)-h(A1 1
19、)=(A1 1)-f1(A1 1)-1(f1(A1 1)=(A1 1)-f(A1 1)f-1(f1(A1 1)T1 1T1 2,(6)62 2 0 2 3年第5期 袁 鹤等:三角代数上的局部广义李n导子 2 0 2 3 N o.5L o c a l g e n e r a l i z e d L i e n d e r i v a t i o n s o n t r i a n g u l a r a l g e b r a sG(A2 2)=(A2 2)-h(A2 2)=(A2 2)-f2(A2 2)-(f2(A2 2)=(A2 2)-e(A2 2)e-(f2(A2 2)T1 2T2 2.(
20、7)显然,对于任意的广义导子g:TT,有g(T1 2)T1 2,g(Ti i)Ti iT1 2,i0,1.(8)事实上,一方面,对于 任意的A1 1T1 1,A1 2T1 2,有g(A1 2)=g(A1 1A1 2)=g(A1 1)A1 2+A1 1d(A1 2)T1 1T1 2;另一方面,对于任意的A1 2T1 2,A2 2T2 2,有g(A1 2)=g(A1 2A2 2)=g(A1 2)A2 2+A1 2d(A2 2)T1 2T2 2.比较上面两式可得g(A1 2)T1 2.同时,对于任意的A1 1T1 1,A2 2T2 2,有g(A1 1)=g(A1 1e)=g(A1 1)e+A1 1d
21、(e)T1 1T1 2,g(A2 2)=g(A2 2f)=g(A2 2)f+A2 2d(f)T1 2T2 2.引理7 在定理1的假设条件下,满足(4)式的G为广义导子,其伴随导子为d(x)=G(x)-G(I)x,xT.证明 首先证明对于任意的A1 1T1 1,A2 2T2 2,A1 2T1 2,有G(A1 1A1 2)=G(A1 1)A1 2+A1 1d(A1 2),G(A1 2A2 2)=G(A1 2)A2 2+A1 2d(A2 2),其中d(x)=G(x)-G(I)x.在(2)式中设P=A(1)1 1,X=B1 1,Q=e+A1 2,其中A(1)1 1T1 1为幂等元,B1 1T1 1,A
22、1 2T1 2,则PXQ=(I-A(1)1 1)B1 1(f-A1 2),PXQ=A(1)1 1B1 1(f-A1 2),因此1(A(1)1 1B1 1A1 2)=1(pn(A(1)1 1B1 1,A1 2,f,f)=0,(9)2(B1 1A1 2-A(1)1 1B1 1A1 2)=2(pn(e-A(1)1 1)B1 1,A1 2,f,f)=0,(1 0)3(PXQ)=3(pn(e-A(1)1 1)B1 1,(-A1 2),f,f)=0,(1 1)4(PXQ)=4(pn(A(1)1 1B1 1,(-A1 2),f,f)=0.(1 2)由于T上存在满足e GA1 1B1 1(f)f=0的广义李n
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