高一数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》导学案新课程（新课标人教A版）必修四---定稿.doc

必修四§2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案
学习目标
1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；
2. 掌握向量数乘的运算律，熟练进行向量的线性运算；
3. 理解并掌握向量共线定理，会用该定理处理平面几何点共线、线线平行、两条线段长度关系等问题。

学习重点
1、向量数乘运算及其几何意义，运算律；
2、向量共线定理的证明及应用。

学习难点
向量共线定理及其在几何证明中的应用。

学习过程
一、自主学习
（预习教材P87—P90）
复习： 向量减法的几何意义是什么？

二、新课导学
※ 探索新知
探究：向量数乘运算与几何意义
问题1：已知非零向量，作出：
①；②.
通过作出图形，同学们能否说明它们的几何意义？

1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：
（1）=___________________________________;
（2）当_________时，的方向与的方向相同；当_______时，的方向与的方向相反；当_________时，=。
问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.

2、向量数乘运算律，设为实数。
（1）_______；
（2）_________；
（3）_________；
（4）________=___________；
（5）______________；
（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_______________。

问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？

3、两个向量共线（平行）定理：向量与非零向量平行，当且仅当有唯一一个实数，使得 。
　 此定理可以分为两个定理：
　　判定定理：若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.
性质定理：若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.
※典型例题
例1、化简

例2、已知非零向量e1，e2不共线．
如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线．

例3、在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)．
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b

三、小结反思
（1）与的积还是向量，与是共线的；
（2）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。
（3）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

课后作业
1、=___________。 =________ _。
= ； =______ ___。
2、在中，、分别是、的中点，若，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3、设是两个不共线向量，若，与共线，则实数的值为 .、4、设两非零向量不共线，且，则实数k的值为
5、中，，，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，，用、分别表示向量.
6、如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：