第21课时圆的认识.doc

第21课时 圆的认识与和圆有关的位置关系
一、中考导航图
1.弧、弧与圆心的概念；
2.圆周角及其与同弧上圆心解的关系；
3.圆的对称性；
4.点和圆的位置关系；
5.直线和圆的位置关系: 切线的判定和性质,切线长定理；
6.圆和圆的位置关系。
二、中考课标要求
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│ │ │ 知识与技能目标 │
│ 考点 │ 课标要求 ├──┬──┬──┬───┤
│ │ │了解│理解│掌握│灵活应用
├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ │理解圆的有关概念 │ │ ∨ │ ∨ │ │
│ ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ 圆 │掌握“等对等”定理和垂│ │ │ │ │
│ 的 │径定理 │ │ │ ∨ │ ∨ │
│ 认 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ 识 │掌握圆周角的定义及基本│ │ │ ∨ │ ∨ │
│ │特征 │ │ │ │ │
│ ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ │了解圆的旋转不变性 │ ∨ │ │ │ │
├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ │理解并记住点和圆，直线│ │ │ │ │
│ 与 │和圆，圆与圆的位置关系│ │ ∨ │ ∨ │ │
│ 圆 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ 有 │掌握切线的定义及切线长│ │ │ ∨ │ ∨ │
│ 关 │定理 │ │ │ │ │
│ 的 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ 位 │会画三角形的外接圆和内│ ∨ │ │ │ │
│ 置 │切圆 │ │ │ │ │
│ 关 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ 系 │运用切线的定义和切线长│ │ │ │ │
│ │定理进行计算 │ │ │ │ ∨ │
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三、中考知识梳理
1.与圆有关的概念
正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念,并能正确分析它们的区别与联系.
2.与圆有关的角
掌握圆周角和圆心角的区别与联系,将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起,一般地,若题目无直径,往往需要作出直径.
3.圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理
定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的,需注意“在同圆或等圆中”中这个关系.
4.与圆有关的位置关系
了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系,并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键.
5.切线长定理
切线长定理是圆的对称性的体现,它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据.
中考题型例析
1.判断位置关系
例1 (2004·辽宁)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,圆心距为3,则两圆的位置关系是( ).
A.内含 B.外切 C.相交 D.内切
解析:两圆内切时,圆心距等于两半径之差,∵5-2=3,∴两圆内切.
答案:D.
例2 (2001·常数)已知⊙O的半径为5cm,A为线段OP的中点,当OP=6cm时,点A与⊙O的位置关系是( ).
A.点A在⊙O内 B.点A在⊙O上; C.点A在⊙O外 D.不能确定
解析:本题为点与圆位置关系的考查,若d<r,则点在圆内;d=r,则点在圆上;d>r,则点在圆外.本题只需判断点A到圆心O的距离与半径5cm的大小.因OP=2·OA,所以OA=3cm<5cm,故点A在⊙O内.
答案:A.
2.垂径定理的应用
例3 (2004·吉林)如图,弦AB的长等于⊙O的半径,点C在上,则∠C的度数是_______.
解析:本题主要考查等边三角形的判定和圆周角与圆心角关系.连结OA、OB,可知△OAB和等边三角形.∠AOB=60°,
所以∠C=∠AOB=30°.
答案:30°.
3.和角有关的计算
例4 (2004·安徽)如图,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB=30°,则点O到CD的距离OE=________.
解析:本题主要考查圆的有关知识和等腰三角形的性质和判定.由题意可知∠COD=60°,∠ADC=75°,所以∠OCE=45°,所以△OCE为等腰直角三角形,所以OE=.
答案: .

基础达标验收卷
一、选择题
1.(2003·武汉)如图1,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数为( ).
A.100° B.130° C.50° D.80°

(1) (2) (3) (4)
2.(2003.武汉)过⊙O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,那么OM的长为( )
A.3cm B.6cm C. cm D.9cm
3.(2004·北京)如图2,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,点C在⊙O上,如果∠P=50°,那么∠ACB等于( )
A.40° B.50° C.65° D.130°
4.(2004·武汉)已知⊙O的半径为10cm,如果一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的位置关系为( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离
5.(2004·武汉)如果⊙O的周长为10cm,那么它的半径为( )
A.5cm B. cm C.10cm D.5cm
6.(2004·武汉)⊙O1与⊙O2的半径分别是3cm和4cm,若O1O2=10cm,则这两圆的位置关系为( )
A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
7.(2004·宜昌)如图3,AB为⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于E,则下列结论中错误的是( )
A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.AE=DE D.
8.(2004·深圳)下列图中:①线段;②正方形③圆;④等腰梯形;⑤平行四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
1.(2003·黑龙江)如图4,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.
2.(2003·兰州)D是半径为5cm的⊙O内的一点,且OD=3cm,过点D的所有弦中最短弦AB=________cm.
3.(2003·陕西)如图5,AB是⊙O的直径,C、D、E都是⊙O上的点,则∠1+∠2=_______.

(5) (6) (7) (8)
4.(2004·徐州)如图6,AB为⊙O的直径,弦AC=4cm,BC=3cm,CD⊥AB,垂足为D,那么CD的长为_______cm.
5.(2004·甘肃)如图7,有一圆弧形门拱的拱高AB为1m,跨度CD为4m,则这个门拱的半径为________m.
6.(2003·巴中)如图8,在⊙O中,AB=AC,∠CBD=30°,∠BCD=20°,
 则∠ABC=____.
7.(2004·大连)如图,⊙O的半径为5cm,圆心O到弦AB的距离为3cm,
则弦AB的长为_______cm.
三、解答题
1.(2004·大连)如图,AB、CD是⊙O的直径,DF、BE是弦,且DF=BE.
求证:∠D=∠B.

2.(2004·湖州)如图,⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A到点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点,∠BMO=120°,求:⊙C的半径和圆心C的坐标.

3.(2003·四川)已知:如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.
(1)求证:AC·BC=BE·CD;
(2)已知CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长.

能力提高练习
一、开放探索题
1.(2004·徐州)如图,⊙O1与⊙O2相交于点A、B,顺次连结O1、A、O2、B四点,得四边形O1AO2B.
(1)根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验,探求图中的四边形有哪些性质?(用文字语言写出4条性质)
性质1:__________________;
性质2:__________________;
性质3:__________________;
性质4:__________________.
(2)设⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为r(R>r),O1、O2的距离为d,当d变化时,四边形O1AO2B的形状也会发生变化.要使四边形O1AO2B是凸四边形(把四边形的任一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形),则d的值取值范围是________.
2.(2003·南通)已知:如图,AB是⊙O的直径,BD=OB,∠CAB=30°,请根据已知条件和所给图形,写出三个正确的结论(除AO=OB=BD外):①____________;②______________;③____________.
3.(2003·福州)已知:三角形ABC内接于⊙O,过点A作直线EF.
(1)如图a,AB为直径,要使得EF是⊙O的切线,还需添加的条件是(只需写出三情况):①________或②_________或③________;
(2)如图b,AB为非直径的弦,∠CAE=∠B;求证:EF是⊙O的切线.

二、实际应用题
4.(2003·甘肃)现需测量一井盖(圆形)的直径,但只有一把角尺(尺的两边互相垂直,一边有刻度,且两边长度都长于井盖半径).请配合图形、文字说明测量方案,写出测量的步骤(要求写出两种测量方案).

答案:
基础达标验收卷
一、1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.A 7.C 8.A
二、1. 2.8 3.90° 4. 5. 6.65° 7.8
三、1.证法1:如图1,∵CD,AB是⊙O直径,
∴.
∵FD=EB,∴.
∴,即.
∴∠D=∠B.
证法2:连结OF,OE,
∵DF=BE,∴∠FOD=∠EOB.
又∵OF=OD=OB=OE,
∴△ODF≌△OBE,∴∠D=∠B.
证法3:连结OF,OE.
∵DF=BE,∠FOD=∠EOB,
∵OF=OD,OE=OB,
∴∠F=∠D,∠E=∠B.
又∵2∠D+∠FOD=2∠B+∠EOB=180°,∴∠D=∠B.
证法4:如图3,连结CF,AE,
∵AB,CD是⊙O的直径,
∴∠F=∠E=90°.
∵AB=CD,DF=BE,
∴Rt△DFC≌Rt△BEA.
∴∠D=∠B.
证法5:,连结CF,AE.
∵DF=BE,∴.
∴∠C=∠A.
∵CD,AB是⊙O的直径,
∴∠F=∠E=90°.
∴∠C+∠D=∠A+∠B=90°.
∴∠D=∠B.
证法6:,过O点作OM⊥FD于M,ON⊥BE于N.
∵DF=BE,∴OM=ON.
∵OD=OB,∴Rt△OMD≌Rt△ONB.
∴∠D=∠B.
证法7:,连结DB.
∵OD=OB,∴∠1=∠2.
∴.
∵DF=BE,∴.
∴.
∴,即.
∴∠D=∠B.
2.解:连结BA,则易证AB为⊙C的直径.
∵∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°.
∴AB=2AO=8.
∴⊙C的半径r==4.
再过C做AO、BO的垂线,垂足分别为P、Q,则易知PO==2.
QO=CP=ACsin60°=4-=2
∴圆心C的坐标为(-2,2).
3.(1)证明:连结CE.
∵BE是⊙O的直径,
∴∠ECB=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠ADC=90°.
∴∠ECB=∠ADC.
又∵∠A=∠E,
∴△ADC∽△ECB.
∴.
∴AC·BC=BE·CD.
(2)解:在Rt△ACD和Rt△BCD中,
∵CD=6,AD=3,BD=8,
∴BC==10,
AC==3.
由(1),有AC·BC=BE·CD.
即3×10=BE·6.
∴BE=5.
∴⊙O的直径BE的长是5.
能力提高练习
1.(1)性质可以是:有一组对角相等;有两组邻边相等;对边之和相等;对角线互相垂直;有一条对角线平分一组对象;是轴对称图形;其面积等于两条对角线乘积的一半.这个四边形也具有一般四边形的性质,如不稳定性;内角和为360°;外角和为360°等.
(2) <d<R+r.
2.CD是⊙O切线;CD2=DB·DA;∠ACB=90°;AB=2BC;BD=BC等.
3.(1)①∠CAE=∠B ②AB⊥EF ③∠BAC+∠CAE=90° ④∠C=∠FAB ⑤∠EAB=∠FAB
(2)证明:连结AO并延长AO交⊙O于H,连结HC
∴∠H=∠B.
∵AH是直径,∴∠ACH=90°.
∵∠B=∠CAE,
∴∠CAE+∠HAC=90°.
∴HA⊥EF.
∵OA是⊙O的半径,
∴EF是⊙O的切线.
4.解法1:如图(1),把井盖卡在角尺间,可测得AB的长度.
记井盖所在圆的圆心为O,连结OB、OC,由切线的性质得OB⊥AB,OC⊥AC.
又AB⊥AC,OB=OC,则四边形ABOC为正方形.
那么井盖半径OC=AB,这样就可求出井盖的直径.
解法2:如图(2),把角尺顶点A放在井盖边缘,记角尺一边与井盖边缘交于点B,另一边交于点C(若角尺一边无法达到井盖的边上,把角尺当直尺用,延长另一边与井盖边缘交于点C),度量BC长即为直径.
解法3:如图(3),把角尺当直尺用,量出AB的长度,取AB中点C,然后把角尺顶点与C点重合,有一边与CB重合,让另一边与井盖边交于D点,延长DC交井盖边于E,度量DE长度即为直径.
解法4:如图(4),把井盖卡在角尺间,记录B、C的位置,再把角尺当作直尺用,可测得BC的长度.记圆心为O,作OD⊥BC,D为垂足,由垂径定理得BD=DC=BC,且∠BOD=∠COD.
由作图知∠BOC=90°,∴∠BOD=×90°=45°.
在Rt△BOD中,BO=,这样就可求出井盖的半径,进而求得直径.
解法5:如图(5),把角尺当作直尺用,先测得AB的长度,记录A、B的位置,再量AC=AB,记录C的位置,然后测得BC的长度.
作等腰三角形BAC的底边BC上的高AD,D为垂足.
∵AD垂直平分BC,
∴由垂径定理的推论可知AD一定过圆心O,由BD=BC,可求出BD.
∵AB已测出,
∴在Rt△BDA中,根据勾股定理可求出AD.那么,在Rt△BDO中,
OB2=BD2+OD2=BD2+(AD-AO)2.
设井盖半径为r,则r2=BD2+(AD-r)2.
∵BD、AD都已知.
∴解一元二次方程就可求井盖的半径r,这样就可求出井盖的直径.