高中数学-第二章-第15、16课时-数列复习课(2课时)(教师版)-苏教版必修5.doc

听课随笔
第15、16课时 数列复习课(2课时)
一、

二、数列知识回顾
（一）数列的概念
数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是
（二）等差数列和等比数列
1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质

等差数列
等比数列
定义

通项公式
=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d

求和公式

中项公式
A= 推广：2=
。
推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则。
2
若成A.P（其中）则也为A.P。
若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3
成等差数列。
成等比数列。
4

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2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
【精典范例】
一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
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函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：
数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。
在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。
因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。
例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。
（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。
分析 （1）等差数列前n项和S=n+(a－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值；
（2）由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。
（3）求S的关键，在于求a,由a=dn+(a－d)(d≠0)知，它是关于n的一次函数，故可设a= An+B，由条件列出方程组求A、B。
【解】（1）设S= An+B（A≠0），
∵S=S，
∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。
又∵S= An+B=A（n+）－,
∴当n=－=7时，S有最大值S。
另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0,
又∵a+ a= a+ a= a+ a= a+a,
∴4(a+a)=0, a+a=0.
由于a＞0,据题意知a=－a＞0，a＜0
因此，前7项和最大。
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（2）设S=An+Bn(A≠0)
∵S=100，S=300,
∴
∴S=900×+30×5=600。
另解 ∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。
∴S－S=2（S－S）－S
∴S=600
（3）设a=An+B(A≠0)
∵a=15,a=a·a,
∴
∴
a=2n－1
∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1）
=2×(1+2+…+n)－n
=n(n+1)－n=n.
评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。
二 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。
1. 观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
例2写出下面各数列的一个通项公式
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（1），…；
（2）1，－…；
（3）…；
（4）21，203，2005，20007，…；
（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…；
（7）1，…
【解】（1）注意各项的分子分别是1，2，3，4，…，分母比分子大1，
∴数列的通项公式为a=.
(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作2－1=1，2－1=3，2－1=7，2－1=15，2－1=31，…，各项分子均为1。
∴数列的通项公式为a=（－1）·
（3）各项的分母分别是2，2，2，2，…分子比分母小1。
∴数列的通项公式为a=
（4）各项可看作21=2×10+1203=2×100+32005=2×1000+5
20007=2×10000+7，
∴数列的通项公式为a=2×10+（2n－1）.
(5)把各项适当变形0.2=2×0.1=×0.9=×(1－),0.22=2×0.11=×0.99=×(1－),0.222=×(1－),0.222=×(1－),…，
∴数列的通项公式为a=·（1－）。
（6）奇数项皆为1，偶然项为0，
∴数列的通项公式为a=
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（7）各项可看作1=1+0，=+1，=+0，=+1，=+0，=+1，…，∴数列的通项公式为a=+.
评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：
（1） 观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）或者（－1）部分，如本例中（2），（6），（7）也有所涉及。
（2） 分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。
（3） 考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例（1），（2），（3）等。
2. 已知S求a或已知S与a的关系求a
已知数列｛a｝的前n项和S求a时，要注意运用a和S的关系，即

例3已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。
（1） S=10－1；（2）S=10+1；
【解】（1）当n=1时，a=S=9,
当n≥2时，a= S－S=（10－1）－（10－1）=10－10=9·10，
且n=1时，a=9也适合上式，∴a=9·10（n）.
(2)当n=1时，a=S=10+1=11,
当n≥2时，a= S－S=（10+1）－（10+1）=9·10，
而n=1时，a=11，不适合上式，
∴
评析 已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点：
（1） 应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。
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（2） 由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。
（3） 由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。
3. 累差法
若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。（请你复习求等差数列通项公式的部分）
例4求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
【解】 ∵a－a=3－1=2,
a－a=7－3=4,
a－a=13－7=6,
…
a－a=2(n－1)
以上n－1个等式左右两边分别相加，得
a－a=2[1+2+3+…+（n－1）]=（n－1）n，
∴a=n－n+1.
且n=1时，a=1适合上式。
∴a=n－n+1.
评析 我们应验证n=1时a=1适合a=n－n+1式，这是什么原因。
4. 累商法
若数列｛a｝满足=f(n)( n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.
例5在数列｛a｝中，a=2，a= a,求通项a。
【解】 ∵a=2，a= a,
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∴=，
=，
……
=。
以上n－1个等式左右两边分别相乘得
=n, a=2n.
且n=1时，a=2也适合上式。
∴a=2n .
5. 构造法
直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。
例6各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。
【解】 ∵a=1，2S=2aS－a, n≥2,又a= S－S.
∴2S=2S－2 SS－S+ S，
∴－=2 （n≥2）（怎么得到的？）
∴数列｛｝是以=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴=1+（n－1）·2=2n－1, S=.
∴a= S－S=－= (n≥2)
又a=S=1,不适合上式，
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∴
有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。
评析 构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。
注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知S求a的问题。
三 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。
1.公式法
能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。
例7数列｛a｝的通项a=n－n，求前n项和S。
【解】 S=（1－1）+（2－2）+…+（n－n）
=（1+2+…+n）－（1+2+…+n）
=－
=。
2.倒序求和法
3.错项求和法
【例2】求和S=+++…+。
请你独立完成，相信你会有更深的体会。
答案 S=3－。
4.裂拆项法
例8在数列｛a｝中，a=10+2n－1,求S
【解】 S=（10+2×1－1）+（10+2×2－1）+…（10+2n－1）
=（10+10+…+10）+2×（1+2+…+n）－n
=+n(n+1)－n
=(10－1)+n.
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注意 把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。
练习：求数列1，1+2，1+2+3，…的前n项的和。
答案 S=。
例9已知数列｛a｝：，，，…，…，求它的前n项和。
分析 我们先看通项a==，然后想什么办法求S呢？将通项分裂成两项之差如何？
【解】∵a==2（）， （为什么呢？）
∴S=a+a+a+…+a
=2[(1－)+(－)+(－)+…+（）]
=2（1－）=。 （成功了！）
评析 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。
常用的裂项技巧如：=（）；
=（－）等。
使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列｛a｝中每一项a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。
四、等差、等比数列的综合问题
例10已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.
(1)设=-2,求证：数列为等比数列，
(2)设Cn=,求证：是等差数列.
选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力.
证明：(1) =4+2, =4+2,相减得=4-4,

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∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴=3×２.
(2) ∵

∴是以为首项，为公差的等差数列.
说明：一个表达式中既含有又含有Ｓｎ，一般要利用
＝－（ｎ≥２），消去或，这里是消去了.
例11在等比数列中，，求的范围.
解：∵，∴
又∵，且，∴，
∴解之：
当时，，∴
（∵）
当时，，
∵且必须为偶数
∴，（∵）
例12 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵
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⑴ 解法1：＝＝
＝.
⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列
∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1)
∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴==
⑵解：由⑴解法2，有
=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴＝k5(105-2)=240k
＝k8(48-3)=232k
∴ =
【追踪训练】
1．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。
解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q.
由已知得：a=b=1,
又b＝ａ，∴ｑ＝81，∴ｑ＝３，
∴b＝ｂｑ＝27，即等比数列的第7项为27.
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说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错.
2．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1.
解：(1) ＝＝1, 当n≥2时, ＝－＝2n－1;
由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).
(2) ＝,
∴ ＝,
两式相减得
＝＋＝＋(1－)－,
∴ ＝＋(1－)－<1.
3．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21, (1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求证：＋＋＋……＋<2.
解：(1)设等差数列{}的首项为, 公差为d,则＝(＋2d)·＝,
＋＝8＋13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,
∴ ＝n, ＝, ＝;
(2) ＋＋＋……＋
＝2·[(1－)＋(－)＋……＋()]<2.
4．已知数列，，
（1）求通项公式；
（2）若，求数列的最小项的值；
（3）数列的前项和为，求数列前项的和．
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5．等差数列中，，，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式．
6．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),
若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1),
(1) 求数列{}, {}的通项公式；
(2) 设数列{}对任意的自然数n均有
成立，求＋＋＋……＋的值.
解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d＋1)＝d,
∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,
解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),
又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q＋1)＝q, ＝q,
∴ ＝q,
∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3
(2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为,
则＝＝2n, ＝＝2(n－1),
∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3
∴＋＋＋……＋
＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝

15
专心 爱心 用心