初三数学复习资料实数.doc

实数
一、知识要点概述

2、数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴，数轴上的点与实数是一一对应关系．
3、有理数都可以表示为的形式(p、q为整数且p、q互质)；任何一个分数都可以化成有限小数或循环小数．
4、实数运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，其中除数不能为0；开偶次方时被开方数不能是负数；混合运算时，先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，有括号时，按括号指明的运算顺序进行．
5、实数的大小比较有三种方法：
　　①数轴比较法：数轴上表示的两实数，右边的数大于左边的数．
　　②差值比较法：对于实数a，b，当a－b＞0时a＞b；当a－b=0时，a=b；当a－b＜0时a＜b．
　　③商值比较法：对于两个正数a，b，当时a＞b；当时a＜b；当时，a=b．
6、近似数与有效数字：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时，从左边第一个不是0的数字起到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．
7、科学记数法：把一个数记成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|＜10，n为整数，科学记数法表示的数的有效数字以a的有效数字计算．
8、非负数：正数和零统称为非负数，象|a|，a2，形式的数都是表示非负数．
9、非负数的性质：①最小的非负数是零；②若n个非负数的和为零，则每个非负数都为零．
二、典例剖析
例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简．

解：
　　由数轴可知：a＞0＞b，|a|＜|b|得b－a＜0，a＋b＜0，所以：

点评：
　　数形结合的思想是本题的解题关键，应学会从数轴上读出足够多的信息为自己所用，同时要熟记各种法则及应用．

例3、(1)如果，求2x－y＋z的值．
　　 (2)若|x＋2y＋3|＋x2＋y2=2xy，求xy的值．

点评：
　　算术平方根、绝对值、平方等具有非负性，在解题时应注意运用，同时注意几个非负数的和为零时，可得绝对值内代数式为0，算术平方根的被开方数为0，平方的底数为0．
例4、填空题：
　　(1)近似数3.20×107精确到________位，有________个有效数字．
　　(2)将908070万保留两个有效数字，用科学记数法表示为________．
　　(3)光的速度约为3×105千米/秒，太阳光射到地球上需要的时间约为5×102秒，则地球与太阳的距离是________千米．
解：(1)十万，3
(2)9.1×109
(3)3×105×5×102=1.5×108千米
点评：
　　科学记数法是中考中常考的题目．应根据指定的精确度或有效数字的个数用四舍五入法求实数的近似值，并会用科学记数法．
例5、已知a、b是有理数，且，求a、b的值．

点评：
　　把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组．
例6、函数y=|x＋1|＋|x＋2|＋|x＋3|，当x取何值时，y有最小值且最小值是多少？
分析：
　　先确定三个绝值的零点值，把x的取值范围分为四个部分，然后逐一讨论所求代数式的取值情况从而确定其最小值．
解：
　　当x≥－1时，y=x＋1＋x＋2＋x＋3=3x＋6≥3；
　　当－2≤x＜－1时，y=－x－1＋x＋2＋x＋3=x＋4≥2；
　　当－3≤x＜－2时，y=－x－1－x－2＋x＋3=－x，此时无最小值；
　　当x＜－3时，y=－x－1－x－2－x－3=－3x－6，此时无最小值．
　　所以当x=－2时，y的值最小，最小值是2．
点评：
　　解答此类题目的一般步骤是：①求零点，划分区间；②按区间分别去掉绝对值的符号．
整式
一、知识要点概述
1、代数式的分类

2、同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．合并同类项时，只把同类项系数相加，字母和字母的指数不变．
3、整式的运算
(1)整式的加减——先去括号或添括号，再合并同类项．
(2)整式的乘除
a．幂的运算性质
①am·an=am＋n(a≠0，m，n为整数)
②(am)n=amn(a≠0，m，n为整数)
③(ab)n=anbn(n为整数，a≠0，b≠0)
b．零指数幂与负整数指数幂

(3)乘法公式
a．平方差公式(a＋b)(a－b)=a2－b2
b．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab＋b2
4、基本规律
　　(1)代数式的分类遵循按所给的代数式的形式分类．

　　(2)同类项的寻找是遵循两同两无关法则(字母相同，相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关．)
　　(3)整式的运算法则与有理数运算法则类似．
5、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式叫多项式的因式分解．
6、因式分解的基本方法：①提取公因式法；②公式法；③分组分解法；④十字相乘法．
7、因式分解常用的公式如下：
①a2－b2=(a＋b)(a－b)
②a2±2ab＋b2=(a±b)2．
二、典例剖析
例1、填空题
　　(1)如果单项式与－2x3ya＋b是同类项，那么这两个单项式的积是__________．
　　(2)m，n满足|m－2|＋(n－4)2=0．分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．

例2、若3x3－x=1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2008的值．
分析：
　　此类代数式求值问题，一般采用整体代入法，即将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值．
解：由3x3－x=1得3x3－x－1=0
所以9x4＋12x3－3x2－7x＋2008
=3x(3x3－x－1)＋4(3x3－x－1)＋2012
=2012
例3、已知多项式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，求的值．
分析：
　　由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6，根据多项式恒等的条件可列出关于m，n的二元一次方程组，进而求出m、n．
解：由题意得：
(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6
又因为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)=2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn
根据多项式恒等的条件，得：

点评：解此类题的关键是利用多项式恒等对应项的系数相等得到相关方程组，求待定系数．

分析：
　　本题若直接计算是很复杂的，因每个括号内都是两个数的平方差，故可利用平方差公式使计算简化．

点评：涉及与乘法有关的复杂计算，要创造条件运用公式简化计算．
例5、已知a、b、c，满足，求(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2的最大值．
分析：
　　条件等式和待求代数式都涉及数的平方关系，由此联想到利用完全平方公式求其最大值．

例6、若2x3－kx2＋3被2x＋1除后余2，求k的值．
分析：
　　要求k的值，需找到关于k的方程，由2x3－kx2＋3被2x＋1除后余2，可知2x3－kx2＋1能被2x＋1整除，由此可得关于k的一次方程．

点评：关键是利用余数定理找出关于k的方程，当f(x)能被x－a整除时，f(a)=0．
例7、分解因式
(1)a4＋4；
(2)x3－3x2＋4；
(3)x2＋xy－6y2＋x＋13y－6；
(4)(x＋y)(x＋y＋2xy)＋(xy＋1)(xy－1)
解：(1)a4＋4=a4＋4a2＋4－4a2=(a2＋2)2－(2a)2=(a2＋2a＋2)(a2－2a＋2)
点评：
　　本题不可分组，又无法直接运用公式，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式去分解．
(2)解法一：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2＋4
　　　　　=x2(x＋1)－4(x＋1)(x－1)
　　　　　=(x＋1)(x－2)2
　　解法2：x3－3x2＋4=x3＋1－3x2＋3
　　　　　=(x＋1)(x2－x＋1)－3(x＋1)(x－1)
　　　　　=(x＋1)(x2－4x＋4)=(x＋1)(x－2)2
　　解法3：x3－3x2＋4=x3＋x2－4x2－4x＋4x＋4
　　　　　=x2(x＋1)－4x(x＋1)＋4(x＋1)
　　　　　=(x＋1)(x2－4x＋4)
　　　　　=(x＋1)(x－2)2
点评：
　　这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．
(3)设x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y＋m)(x－2y＋n)
=x2－2xy＋nx＋3xy－6y2＋3ny＋mx－2my＋my
=x2＋xy－6y2＋(n＋m)x＋(3n－2m)y＋mn
比较左、右两边对应项系数得：
∴x2＋xy－6y2＋x＋13y－6=(x＋3y－2)(x－2y＋3).
点评：
　　这是一个二次六项式，运用分组分解法有困难，根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次式x2＋xy－6y2=(x＋3y)(x－2y)，由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此可用待定系数法分解．
(4)设x＋y=a，xy=b
则原式=a(a＋2b)＋(b＋1)(b－1)=a2＋2ab＋b2－1
　　　=(a＋b)2－1=(a＋b＋1)(a＋b－1)
　　　=(x＋y＋xy＋1)(x＋y＋xy－1)
　　　=(x＋1)(y＋1)(x＋y＋xy－1)
点评：
　　整体思想，换元思想是常用的数学思想方法，此题设x＋y=a，xy=b进行代换后，再运用公式法和提公因式法来分解．
分式
一、知识要点概述
1、分式的概念和性质
　　(1)定义：若用A、B表示两个整式，A÷B可以写成的形式，若B中含有字母，式子叫做分式．

　　说明：
　　1°分式的值为0的条件是：分子为零且分母不为0；2°当分母为零时，分式无意义；3°分式的基本性质是分式运算的重要依据，分式的运算方法和顺序与分数的运算类似．
2、分式的运算法则

　　说明：分式的符号变化法则是指整个分子分母和分数线前的符号，切忌只变分子或分母中第一项符号．
3、约分：根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中的公因式约去，叫做约分．
4、通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母分式，叫做通分．
二、典例剖析
例1、若分式的值是绝对值最小的实数．则x=________．
分析：
　　绝对值最小的实数是0，从而得出分式的值为0，则分子为零且分母不为0，故可求出x．
解：
说明：
　　分式的值为0，分子为零都知道，但往往忽略分母不为0，这是此类题目的考察重点．
例2、如果n为正整数，是既约分数，那么
分析：
　　n2＋3n－10=(n＋5)(n－2)，n2＋6n－16=(n＋8)(n－2)分式，分母有公因式n－2，但此分数为既约分数，从而有n－2=1，易可求n，进而求出此分式值．

说明：
　　解答此题的关键在于：巧妙运用既约分数的概念确定n的取值，注意化简分式时先要分别将分子、分母分解因式，再约分．

分析：
　　先找出原式中的最简公分母，再对原式进行通分，然后将原式进行因式分解，以便约分化简．

例4、若x取整数，则使分式的值为整数的x有（　）
　　　A．3个　　　　　　　　　　B．4个
　　　C．6个　　　　　　　　　　D．8个
分析：
　　将分式进行分析，即将它变形为一个整数部分与一个分子为整数的分式之和的形式，然后再讨论其整数的个数．
解：

　　∴当2x－1=±1或±3时，x为整数，0，1，2，－1；
　　当2x－1=±6或±2时，x都不是整数．
　　所以符合题意的x的取值只有4个，应选B项．
说明：将分式进行分拆，关键是在于把分子中含字母的部分凑成与分母相同的公因式．

分析：由已知可得到关于a、b、c的值，然后代入求值．
解：由3a＋2b－5=2(a－b＋2)得a＋4b－9=0　①
由2b＋c－1=2(3b＋2c－8)得4b＋3c－17=0　②
由c－3a＋2=2(2c＋a－b)得3c＋5a－14=0　③
解联立①②③组成的方程组得a=1，b=2，c=3．
．
说明：对于含条件等式的分式求值问题，除考虑对欲求的分式化简外，还要对条件进行分析适当变形，并根据需要加以转化．

说明：添项、拆项是分式计算与证明的常用方法．此题可抓住左边分式的分子与分母的特点进行突破，如b－c=(a－c)－(a－b)就可以进行分拆．

二次根式
一、知识要点概述
1、二次根式：式子叫做二次根式．
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4、二次根式的主要性质

5、二次根式的运算
　　(1)因式的外移和内移
　　如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．
　　(2)有理化因式与分母有理化
　　两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．
　　(3)二次根式的加减法：
　　先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．
　　(4)二次根式的乘除法
　　二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．
　　(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二、典例剖析

分析：
　　因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．

例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（　）
　　　 A．　　　　B．－　　　　　C．　　　　D．－
分析：
　　解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．

说明：
　　运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．

例6、已知，求a＋b＋c的值．
分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢？考虑从配方的角度试一试．

点评：
　　应用非负数概念和性质是初中代数解题的常用方法之一，|a|，a2n，是三种重要的非负数表现形式．判断一个数是否为非负数，最关键的是看它能否通过配方得到完全平方式，如：
　　在解多变元二次根式，复合二次根式等问题时，常用到配方法，如化简

不等式与不等式组
一、知识要点概述
1、不等式的基本性质
(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式不等号的方向不变．
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2、不等式(组)的解法
　　(1)解一元一次不等式和解一元一次方程相类似，但要特别注意不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变．
　　(2)解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
　　(3)设a＜b，那么：
①不等式组的解集是x＞b(大大取大)；
②不等式组的解集是x＜a(小小取小)；
③不等式组的解集是a＜x＜b(大小、小大中间找)；
④不等式组的解集是空集(大大、小小题无解)．
3、不等式(组)的应用
会列一元一次不等式(组)解决实际问题，其步骤是：
(1)找出实际问题的不等关系，设定未知数，列出不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)从不等式(组)的解集中求出符合题意的答案．
二、典例剖析
例1、(1)已知不等式3x－a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是________．
(2)已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________．
分析：
　　对于(1)，由题意知不等式的解在x＜4的范围内；对于(2)，从数轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分．
解：
　　(1)由题意得，∴9≤a＜12．
　　(2)由(1)得x＞a，由(2)得x≤3，因不等式组无解，∴a≤3．
　　说明：确定不等式(组)中参数的取值或范围常用的方法有：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)借助数轴确定．
例2、解下列关于x的不等式(组)．
(1)|x－2|≤2x－10；
(2)(2mx＋3)－n＜3x．
分析：
　　对于(1)确定“零界点”x=2(令x－2=0得x=2)分x≥2和x＜2，去掉绝对值后求出不等式的解集；对于(2)，化为ax＜b的形式，再就a的正负性讨论．

说明：涉及未知系数或绝对值式子的题目，均可用零点分段讨论法解答．
例3、已知3a＋2b－6=ac＋4b－8=0且a≥b＞0求c的取值范围．
分析：消去a，b得到关于c的不等式组，解不等式组得c的取值范围．

分析：
　　已知不等式组的解集，求某些字母的值(或范围)是不等式组解集确定方法的逆向应用，处理这类问题时，可先求出原不等式组含有字母的解集，然后对照已知“对号入座”，应取有针对性的方法．

例6、东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠方法：
　　甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；
　　乙：按购买金额打九折付款．
　　某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x(x≥10)本．
　　(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的关系式；
　　(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；
　　(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习本60本设计一种更省钱的购买方案．
分析：
　　(2)中比较哪种优惠办法更省钱与购买练习本的数量有关，因此应分类讨论；(3)中因为可同时用两种优惠办法购买，所以需要重新建立关于毛笔枝数的关系式求解．
解：
　　(1)依题意，可得y甲=25×10＋5(x－10)=5x＋200(x≥10)；
　　y乙=(25×10＋5x)×90%=4.5x＋225(x≥10)
　　(2)由(1)有y甲－y乙=0.5x－25
　　当y甲－y乙=0时，解得x=50；
　　当y甲－y乙＞0时，解得x＞50；
　　当y甲－y乙＜0时，解得x＜50．
　　所以，当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款，当购买本数在10～50之间时，选择优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙更省钱．
　　(3)①因为60＞50，由(2)知不考虑单独选用优惠办法甲购买．
　　若只用优惠办法乙购买10支毛笔和60本书法练习本需付款(25×10＋5×60)×90%=495(元)
　　②若用优惠办法乙购买m支毛笔，则须用优惠办法甲购买(10－m)支毛笔，用优惠办法乙购买60－(10－m)=m＋50本书法练习本，设付款总金额为P，则：
　　P=25(10－m)＋[25m＋5(m＋50)]×90%=2m＋475(0≤m≤10)
　　所以，当m=0即用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本时，P取得最小值为：2×0＋475=475(元)
　　故选用优惠办法甲购买10支毛笔，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．
例7、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元．
　　(1)该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请你设计出来．
　　(2)设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种生产的件数为x，试写出y与x之间的关系式，并利用关系式说明(1)中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？
分析：
　　若设安排生产A种产品x件，根据题意可建立关于x的不等式组，解出不等式组得x的取值范围．由x为整数在取值范围内确定x的取值，从而得出生产方案，然后由成本的已知条件求出x与y之间的关系式，根据此关系式求出最低生产总成本．
解：
　　(1)设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：

　　解得：34≤x≤36
　　因为x为整数，所以x只能取34或35或36．
　　所以该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：
　　第一种：生产A种产品34件，B种产品46件；
　　第二种：生产A种产品35件，B种产品45件；
　　第三种：生产A种产品36件，B种产品44件．
　　(2)设生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，依题意，可得：
　　y=120x＋200(80－x)即y=－80x＋16000(x取34或35或36)
　　由式子可知，当x取最大值36时，y取最小值为－80×36＋16000=13120元，即第三种方案；生产A种产品36件，B种产品44件，总成本最低，最低生产成本是13120元．
说明：
　　利用列不等式组然后求出不等式组的集，在其解集内求出符合条件(一般是整数)的值，是解方案设计型应用题的常用方法．

方程与方程组
一、知识要点概述
1、等式和方程的有关概念、等式的基本性质．
2、一元一次方程的解法及最简方程ax=b解的三种情况．
　　(1)解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和将未知数的系数化为1．
　　(2)最简方程ax=b的解有以下三种情况：
　　①当a≠0时，方程有唯一解；
　　②当a=0，b≠0时，方程无解．
　　③当a=0，b=0时，方程有无穷多解．
3、一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c=0(a≠0)
　　其解法主要有：直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．
4、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的求根公式是：

注意：求根公式成立的条件为：①a≠0；②b2－4ac≥0．
5、一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根的判别式是△=b2－4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根．

当△=0时，方程有两个相等的实数根，即；
当△＜0时，方程没有实根，反之成立．
6、若一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根为x1，x2，则
7、以两数α、β为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(α＋β)x＋αβ=0．
8、解一次方程组的基本思想是消元，常用的消元方法是加减消元法和代入消元法．
9、解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元”与“降次”．①若方程组中有一个是一次方程，则一般用代入消元法求解；②若方程组中有能分解成两个一次方程的方程，则一般用“分解降次”的方法将原方程组化为两个或四个方程组求解．
10、简单的分式方程组的解法，一般是用去分母或换元法将其转化为整式方程组求解，并要验解．
11、方程组的解的存在性问题，一般转化为方程的解的存在性问题来研究．
二、典例剖析

点评：灵活解一元一次方程时常用到以下方法技巧．
(1)若括号内有分数时，则由外向内先去括号，再去分母；
(2)若有多重括号，则去括号与合并同类项交替进行；
(3)恰当用整体思想．
例2、解下列关于x的方程．
(1)4x＋b=ax－8(a≠4)
(2)mx－1=nx
(3)
分析：把方程化为一般形式后，再对每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．

例4、已知m是整数，方程组有整数解，求m的值．
分析：先求出y，运用整除的性质求出m的值，需注意所求的整数m要使得x也为整数．
　解：由原方程组解得，
　　若y有整数解，则2m＋9=±1或±2或±17或±34，经检验当2m＋9=±1或±17时，m为整数且x也为整数，得m=4或－4或－5或－13．
例5、已知关于x的一元二次方程有两个不等的实数根．
(1)求m的取值范围；

例7、解下列方程

(2)3x2＋x－7=0
分析：
　　对于(1)首先应回避复杂的小数运算，注意此时只运用分数的基本性质而未用到等式有关性质．
　　对于(2)此方程用分解因式法难以行通，故考虑用求根公式．
解：(1)原方程化简得
　　　　方程两边都乘以12(即去分母)得
　　　　3(35x－5)=4(5－x)－6(25x＋5)
　　　　去括号得：105x－15=20－4x－150x－30
　　　　移项及合并同类项得：259x=5

例8、如果关于x的一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实根，试说明关于x的方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
分析：
　　由一元二次方程kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，可以得出k≠0，b2－4ac＜0，从而求出k的取值范围，再由k的取值范围来说明(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
解：∵关于kx2－2(k＋2)x＋k＋5=0没有实数根，

　　解得k＞4
当k=5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元一次方程，－14x＋5=0，此时方程的根为．
当k≠5时，方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0为一元二次方程
∴△=[－2(k＋2)]2－4(k－5)·k=4(9k＋4)
∵k＞4且k≠5，∴△=4(9k＋4)＞0
∴此时方程必有两不等实数根，
综上可知方程(k－5)x2－2(k＋2)x＋k=0必有实数根．
点评：
　　(1)方程“有实数根”与“有两个实数根”有着质的区别．方程“有实数根”表示方程可能为一元一次方程，此时方程有一实数根，方程也可能为一元二次方程，此时方程有两个实数根，而方程“有两个实数根”，则表示此时方程一定为一元二次方程．

点评：
　　构造一元二次方程是解题的常用技巧，构造的主要方法有：(1)当已知等式具有相同的结构，就可以把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程；(2)对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．
分式方程

一、知识要点概述
1、分式方程：分母中含有未知数的有理方程叫分式方程．
2、解分式方程的基本思想方法是：

3、解分式方程必须验根．
二、典型例题剖析
例1、解方程．
分析：根据解分式方程的一般步骤来解此题．
　解：方程两边同乘以(x＋3)(x－2)得：
　　　10＋2(x－2)=(x＋3)(x－2)
　　　化简，整理得：x2－x－12=0
　　　解之得x1=－3或x2=4
　　　经检验可知：x1=－3是原方程的增根，x2=4是原方程的根．
　　　∴原方程的根是x=4．

分析：用换元法解这些分式方程．
　解：(1)设x2－x=y，则原方程变为
　　　　 解这个方程得y1=－2，y2=6，
　　　　 当y1=－2时，x2－x=－2，此方程无解；
　　　　 当y2=6时，x2－x=6，∴x1=－2，x2=3．
　　　　 经检验可知：x1=－2，x2=3都是原方程的根．
　　　　 ∴原方程的解为x1=－2，x2=3．

例3、当m为何值时，关于x的方程无实根？
分析：
　　先将分式方程化为整式方程，如果整式方程有实根，那么这些根均是原方程的增根，这样x=0或x=1是所得整式方程的根，如果整式方程无实根，那么原方程也无实根．
　解：原方程去分母，整理得：x2－x＋2－m=0　　①
　　　(1)若方程①有实根，根据题意知，方程①的根为x=0或x=1．
　　　　 把x=0或x=1代入方程①得m=2．
　　　　 而x=0或x=1是原方程的增根．
　　　　 ∴当m=2时原方程无实根．
　　　(2)若方程(1)无实根，则△=(－1)2－4(2－m)＜0
　　　　 解之得
　　　　 ∴当时，原方程无实根．
　　　　 综合之，当m=2或时，原方程无实根．
例4、若方程有增根，试求m的值．
分析：
　　分式方程将会产生增根，即最简公分母x2－4=0，故方程产生增根有两种可能：x1=2，x2=－2．由增根的定义知：x1=2，x2=－2是原分式方程去分母化成整式方程的根，由根的定义即可求出m的值．
　解：将原方程去分母得：2(x＋2)＋mx=3(x－2)
　　　整理得：(m－1)x=－10 (1)
　　　∵原方程有增根，∴x2－4=0
　　　∴x1=2，x2=－2．
　　　将x1=2代入(1)得2(m－1)=－10
　　　∴m=－4
　　　将x2=－2代入(1)得－2(m－1)=－10
　　　∴m=6
　　　所以m的值为－4或6．
点评：
　　(1)增根的求法：令最简公分母为0；
　　(2)求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
例5、已知a2－a－1=0且求x的值．
分析：
　　为求x的值，须将x与a2分离，联想到分式的基本性质，从而原等式含，这样应从条件出发构造倒数关系．
解：

列方程解应用题
、知识要点概述
1、列方程(组)解应用题的一般步骤．
　　审题，设未知数，找出相等关系，布列方程(组)，解方程(组)，检验作答，其中找出相等关系，布列方程(组)是关键，而如何设未知数又是至关重要的开端．
2、几种常见应用题型的基本等量关系及解题策略．
　　(1)和、差、倍、分的有关问题．
　　涉及和、差、倍、分问题，一般可直接列出方程．但需要抓住关键词：大、小、多、少、增加、减小、几倍、几分之几、几折优惠等．
　　如：将若干支铅笔分给几个同学，若每人5支，还剩3支，若每人7支，还差5支，问有学生几人？铅笔几支？
　　若设学生有x人，依题意得方程5x＋3=7x－5
　　∴x=4，则铅笔支数5x＋3=23支．
　　(2)等积(面积、体积)问题
　　涉及等积问题，应依变形前后体(面)积不变建立等式关系，但需注意单位的统一．
　　如要用截面积为48mm2的圆钢条锻造成长、宽、高分别为25mm、8mm、15mm的长方体钢坯，需要这种圆钢条多少米？
　　解：设需要这种圆钢条x mm，则48x=25×8×15
　　　　解得x=62.5mm=0.0625米
　　答：需要这种圆钢条0.0625米．
　　(3)商品利润问题：
　　商品利润=商品售价－商品进价

　　(4)浓度问题：

　　溶液质量=溶质质量＋溶剂质量
　　(5)工程问题：
　　工程问题中通常把工作量看做“1”
　　工作效率×工作时间=工作量
　　(6)行程问题(又分三类)
　　a．相遇(包括环形相遇)问题：两运动物体所走过的路程等于全程(或圈长)．
　　b．追及问题：分路程相同、时间不同的追及问题和时间相同、路程不同的追及问题，常可画行程示意图帮助分析题意，若甲为快者，则被追路程=甲走的路程－乙走的路程．
　　c．时针问题：注意一圈为60分格则分针速度为1分格/分钟：时针速度为分格/分钟．时间×速度=路程．
　　（7）航行(或飞行)问题
这类问题要注意航行速度与水(风)速的关系
顺水速度=静水速度＋水速
逆水速度=静水速度－水速

　　（8）数字问题
n位数
　　（9）增长率问题：
　　（10）投资利润问题：
投资总额×投资利率=投资利润
二、典型例题剖析
例1、某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？
解：
　　设原计划完成这项工程用x个月，则实际完成这项工程用(x－3)个月．
　　根据题意得
　　解得x=28．
　　经检验，x=28是原方程的解且合题意．
答：原计划这项工程用28个月．
点评：分式应用题一定不能忽视两个检验．
　　　(1)验根；(2)验题意．
例2、有浓度为60%和30%的两种硫酸若干，现在要配制成浓度为50%的硫酸3000千克，问两种硫酸各取多少千克？
分析：
　　设取浓度为60%的硫酸x千克，．则取浓度为30%的硫酸为(3000－x)千克．
　　利用列表法来分析其数量关系：

甲种硫酸
乙种硫酸
混合物
浓度
60%
30%
50%
溶液
x
3000－x
3000
溶质
x·60%
(3000－x)·30%
3000×50%
　　根据混合前后溶质(纯硫酸)的重量不变列出方程得
　　x·60%＋(3000－x)·30%=3000×50%
解：设取浓度为60%的硫酸x千克，则取浓度为30%的硫酸(3000－x)千克．
　　根据题意得：x·60%＋(3000－x)·30%=3000×50%
　　解之得x=2000 , ∴3000－x=1000
答：取浓度为60%的硫酸2000千克，取浓度为30%的硫酸1000千克．
点评：浓度问题一般抓住配制前后溶质不变的关系来列方程，一般用列表法来分析数量关系．
例3、某商店将彩电按原价提40%进行标价，然后在广告中写上“八折优惠销售”结果每台彩电比原价多赚了270元，彩电原价是多少？
分析：
　　设原价为x元/台，则提价后的标价为(1＋40%)·x，出售价(优惠价)为x·(1＋40%)·80%
解：
　　设原价为每x元/台，根据题意得：
　　x·(1＋40%)·80%－x=270
　　解之得x=2250元．
答：原价每台2250元．
点评：对这种明优惠、暗提价的经销问题关键是区分清楚标价、优惠价及原价之间的关系．
例4、某公司存入银行甲、乙两种不同年利率的存款共20万元，甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%，该公司一年共得利息6250元，求甲、乙两种存款各为多少万元？
解：设甲、乙两种存款分别为x、y万元，

答：甲、乙两种存款分别为5万元，15万元．
点评：
　　利率问题是中考命题的热点问题，应弄清存款本金、利率、存期及利息之间的关系：利息=本金×利率×期数．
例5、A、B两汽车站，每隔相同的时间相向发出一辆汽车，A、B之间有一骑自行车的人，发现每隔4分钟迎面开过来一辆汽车，而每隔12分钟有一辆汽车从后面开来并超过他，若人与汽车的速度始终是匀速的，问A、B两站每隔几分钟各发一次车？
分析：
　　行程问题也是一类重要的应用题，解题时，一定要透彻理解题意，本题中“每隔4分钟迎面开过来一辆汽车”相当于“骑车人和汽车相向而行4分钟相遇”，而“每隔12分钟有一辆汽车从后面开过来并超过他”相当于汽车与自行车同向而行，12分钟汽车追上自行车”．
解：
　　设汽车速度为x，骑车人速度为y，先后两辆汽车的间距为S，欲求，依题意得：

答：两车站每隔6分钟发一次车．
例6、某三位数除以它各数位上数字的和的9倍得到的商为3，已知百位上的数