四元数与三维空间中的转动.pdf
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1、第52 卷第3期2023年6 月D0I:10.3969/J.ISSN.1000-5137.2023.03.013上海师范大学学报(自然科学版)Journal of Shanghai Normal University(Natural Sciences)四元数与三维空间中的转动Vol.52,No.3Jun.,2 0 2 3涂泓,冯承天(上海师范大学数理学院,上海2 0 0 2 34)摘要:由SU(2)群引入四元数,并详细和严格地讨论了四元数的各种特性;讨论得出了诸如SU(2)群与SO(3)群的2-1对应;给出了单位四元数的转轴和转角;自然地导出了表征无穷小转动的角位移等,关键词:四元数;SU(2
2、)与SO(3)的2-1对应;单位四元数与空间转动;有限转动的合成;角位移中图分类号:0 411.1文献标志码:A文章编号:10 0 0-5137(2 0 2 3)0 3-0 37 2-0 7Quaternion and rotation in three dimensionsTU Hong,FENG Chengtian(Mathematics and Science College,Shanghai Normal University,Shanghai 200234,China)Abstract:The quaternion was introduced via the special uni
3、tary group in two dimensions and its properties were discussedsystematically and rigorously.Some important results were educed such as the homomorphism of SU(2)onto SO(3).Besides,the axis and the angle of the rotation were given by a quaternion,and the angular displacement of an infinitesimal rotati
4、on wasderived smoothly.Key words:quaternion;2-1 correspondence of SU(2)and SO(3);unit quaternion and rotation in space;combination of finiterotation;angular displacement0引言1从SU(2)群到单位四元数()B设h=表示:eSU(2),则从h-l=hT,以及用伴随矩阵得出h-的方法,容易推得h的Cayley-Klein参数h=+=1,eC.(1)收稿日期:2 0 2 2-0 6-2 2作者简介:涂泓(197 6 一),女,副教授
5、,主要从事数理理论方面的研究.E-mail:t u h o n g s h n u.e d u.c n引用格式:涂泓,冯承天.四元数与三维空间中的转动J.上海师范大学学报(自然科学版),2 0 2 3,52(3):37 2-37 8.Citation format:TU H,FENG C T.Quaternion and rotation in three dimensions J.Journal of Shanghai NormalUniversity(Natural Sciences),2023,52(3):372-378.第3期令=x一x,i,=-x,-xi,则有这样就得出了h的单位四元
6、数表示,其中基元1=0100一010满足-10i=ij=kk=E(0-1ij=-ji=h,j k=-k j=i,k i=-i k=j.2?复数域、三元数和四元数对于任意复数zeC,有z=a+ib,a,beIR.因此,复数是二元数.z也可用三角形式和指数形式分别表示为:(4)其中,r,分别为z的模与幅角.从ze-rei(),得到以下结论:将单位复数e去乘z,就相当于将z在复平面上逆时针转动了角.那么,在复数的基元1,i的基础上,再引人一个新基元j,从而构成三元数x=xg+x,i+x2j,xo,x,xz=R,能否实现在三维空间上的转动呢?对于新基元j,由乘法的封闭性,应有(6)如果三元数系的乘法要
7、满足结合律,以及乘法对加法的分配率,那么从(i)=认i),就有:-j=i(a+bi+cj)=ai-b+c(a+bi+cj),这表明jeC,这就矛盾了.因此一个具有很好乘法性质的三元数系是不存在的.爱尔兰数学家哈密顿因此提出了四元数系:而对于其中的h,=xg+x,i+xaj+x,k,h,=y+yji+yai+y,h,定义它们的相加和与实数的相乘如下:容易验证此时H是R上的一个四维向量空间,而xo=x,=x,=x,=0给出了加法的零元,-h=-o-,i-2j-x,k是h=xo1+x,i+x2j+xk的负元.3四元数的乘法及其性质对于上述的h,h,按此时的乘法满足分配率,则有hh,=(ao+xi+x
8、2j+x,k)vo+yity,j+y,k)=(x00-xi1-x22-x3s)+(oyi+xiyo+x2y-x3 y2)i+(oy,+x2yo+xsy1-xiys)+(xoy,+xsyo+xiy2-x2y1)k,其中用到了式(3).利用式(10),经过一些代数运算,能证明四元数的这一乘法满足结合律.涂泓,冯承天:四元数与三维空间中的转动-(x0-x;i-x2-xi)0h=xo(x2-x,iXo+x,i01=xol+xii+X2j+x,k,det h=x+xi+x2+x;=1.10=E,是乘法的单位元,而00iz=r(cos p+i sin g)=re,ij=a+bitcj.H=1x=xo+xi
9、+xj+x,h,Xo,X1,X2,xER/.h,+h,=(xo+yo)+(x,ty1)i+(x2+y2)j+(x,+y,)k,ah,=axo+axitax,j+ax,aeR.373一1-1+x+x20-i0+300(2)(3)(5)(7)(8)(9)(10)374对h=xo+x,i+xj+x,定义它的共轭元h=x-x,i-xj-,h,那么有若o,x,x 2,x,不全为零,即h不是零元,那么它就有乘法逆元:det h对于共轭运算有h,+h,=h,+h2.再从(h,h2)(h,h2)=det(h,h2)E,=(det hi)(det h2)E2=(h,h,)(hzh2)E,=h,h,h,h,E2,
10、就有h,h,=h,h.再者,从h,h,=H-O,即det h,0,deth,0,有det(h,h,)+0.因此有h,hzH-O.这些就表明H-0在乘法下构成一个非交换群,称为四元数乘群(SU(2)显然是它的一个子群).综上所述,H除了乘法不具有可交换性以外,满足域的所有其他条件:H是R上的一个可除代数.4实四元数和纯四元数如果h的x,=x,=x;=0,则称h为一个实四元数.它与任意四元数在相乘时都可交换.反过来,若h与H中任意元相乘时都可交换,那么它就与i和j可交换.由此,分别可得出x,=x,=0,x;=,=0.这样,就得出了结论:非零实四元数构成了H-10的中心。如果h的x=0,则称h为一个
11、纯四元数.尽管不同的i,j,k之间的乘法是反交换的,但纯四元数之间的相乘一般不是反交换的.若纯四元数h=xi+xj+x,的xi,2,x,不全为零,则根据前述有(13)+纯四元数的全体S显然是H的一个子空间.构造S到R3的下列映射m:Sh=x,i+x2j+x,k,不难得出m是一个双射,且保持加法与数乘这两种线性运算.若hi,h,都是纯四元数时,式(10)变化为:hh,=-(xy+xy2+xys)E,+(xys-xy2)i+(x,1-xy,)j+(xy2-xy)h.因此对纯四元数h,hz,分别定义它们的内积与外积如下:h,hz=m-l(m(hi)m(h)=m(hi h,).于是式(15就可表示为:
12、h,h,=h,Xh,-h,o h,E,.利用矢量代数中的有关性质能得出一些重要的关系.例如,当且仅当h,工h,时,h。h,=0.由此推出,h,o(h,xh,)=0.5单位四元数当deth=1,即hh=1时,称h为一个单位四元数.数1,i,t j,h 都是单位四元数,对于任意不为零的四元数h,都可以将它归一化,即q=设是一个单位四元数,那么有q=q.此时若令=cos2则xi+x2+xi=sin?sin+0,而有2上海师范大学学报(自然科学版)J.ShanghaiNormalUniv.(Na t.Sc i.)22023年hh=(x+xi+x2+x:)E,=(det h)E2.(11)h=(12)-
13、hh=-h,h-l=m(h)=h=x,i+x,j+x,k.h,o h,=m(h)m(hz)=h,.h,土h是一个单位四元数.Vdeth(14)(15)(16)(17)FCOS2#1时,第3期涂泓,冯承天:四元数与三维空间中的转动375q=cosE,+sin22其中,1u=(x,i+x.j+x,k)=cosi+cosj+cosk.sin2而cos+cos+cosy=1,即纯四元数u也是一个单位四元数.尽管式(18)是在cos号*1的条件下得出的,但在xo=cos号=1时也成2再设u是一个满足xou=0的纯四元数,那么由xxu=-uxx,则由式(17)可得:xu=xxu=-ux=ux,即uxu=x
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