巧用物理规律证明最速降线的性质.pdf

强基竞赛巧用物理规律证明最速降线的性质邓峰(北京理工大学附属中学)年,瑞士数学家约翰伯努利提出一个难题,向全欧洲的数学家发起挑战题目的大意是:设在竖直平面内有一条曲线,一个质点由于重力的作用,从这条曲线的较高的端点沿曲线下滑到较低的端点,问这条曲线是什么形状时,滑行所需的时间最短(摩擦和空气阻力都可忽略)?这就是著名的“最速降线”问题伽利略于 年研究过这个问题,当时他认为这条线应该是一条圆弧线,可是后来人们发现这个答案是错 误的 年后,约 翰伯 努 利、牛 顿、莱布尼兹、洛比达以及雅克布伯努利等人陆续解决了这个问题这条最速降线就是一 条摆线,也叫旋轮线最速降线的性质到 世纪,人们发现摆线具有如下性质:性质圆上描出摆线的那个点,在摆线上具有不同的速度事实上,在特定的地方它甚至是静止的摆线的性质可以用数学手段给出证明,如微积分或变分法等,但大都比较烦琐且不易理解如果从形成轨迹的物理情境出发可以很好地说明这些性质,并给予较为简洁的证明为了研究问题方便,我们研究以下摆线设轮子在x轴的下方沿x轴匀速滚动,圆心速度为vC,轮半径为R,B点为轮上的固定点,t时位于原点,建立如图所示的坐标轴图此时B点参与两个运动:随圆心C的平动和绕圆心C的转动它的两个分速度大小均设定为vC,设经过了时间t,C B连线转过了夹角,vCtR此时B点的合速度vvCs i nvCs i nvCs i nvCtR(),速度方向,也就是轨迹的切线方向与x轴的夹角为(B vCv的夹角为,利用菱形对角线垂直相互平分,且平分对角)可以看出,各点速度不同,还可能为零此即摆线的性质性质它的长度等于旋转圆直径的倍尤为令人感兴趣的是,它的长度是一个不依赖的有理数摆线的长度即为轨迹长度,dlvdt,作积分有l RvCvdt RvCvCs i nvCtRdtvC(RvC)c o svCtR RvCRc o s(vCR RvC),算得l(R)()R,即为摆线的性质性质在弧线内的面积,是旋转圆面积的倍摆线和坐标轴所围的面积dSy vxdt,其中vxvCvCc o s()为B点的水平速度,yR(c o s)为B点的纵坐标作积分有Sdsy vxdt RvCR(c o s)vCvCc o s()dt RvCR(c o s)vC(c o s)dt RvCR vC(c o s)dt RvCR vC c o s(vCtR)c o s(vCtR)dt根据三角函数的半角公式可得c o s(vCtR)c o s(vCtR),将其代入上式,可得S RvCR vCR vCc o s(vCtR)强基竞赛R vCc o s(vCtR)dtR vCt RvCR vC(RvC)s i n(vCtR)RvCR vCt RvC(R vC)(RvC)s i n(vCtR)RvC,可得S R,即为摆线的性质性质当物体从一个摆线形状的光滑容器的不同点由静止开始无初速下滑时,它们会同时到达底部球在最低点时,加速度为绕轴转动的向心加速度avCR,小球在最低点的速度为vC,在最低点时的曲率半径(vC)aR,为该点纵坐标的两倍如果有一个质点从图中所示的摆线上某一点无初速释放,在摆线的任一点,切线方向即为合速度的方向,小球的切向加速度ags i n()gc o s,从该点到最低点的弧长l Rc o svCtRRv CtRc o svCtRRc o s图可知切向加速度a与弧长l成正比,可写出动力学方程为dldtgRl,满足简谐运动条件周期为T Rg Rg由此可知,物体从一个摆线形状的容器的不同点无初速度下滑时,它们到达底部的时间同为T/周期,即为摆线的性质滚珠荡秋千有一块钢板,钢板上方有一条光滑的摆线槽,取一粒适当大小的滚珠,放在摆线槽中的任意位置,例如图中的M点处当捏着滚珠的手指松开以后,滚珠就会像荡秋千一样,沿着摆线槽来回摆动试选择不同的M点放开滚珠,并注意观察滚珠连续两次通过摆线槽最低点K的间隔时间,你就会发现一个奇怪的现象:尽管M点的高低不同,但是滚珠来回摆动一次所花的时间竟没有变!这个性质叫作摆线的等时性,是 世纪荷兰物理学家惠更斯发现的经计算可知,滚 珠 沿 摆 线 槽 来 回 摆 动 一 次 所 用 的 时 间 是 rg,其中r是产生摆线的轮子的半径,而g是重力加速度因此,上述时间值是与M点的位置无关的常数图利用摆线板画摆线如图所示,设木板O A B的轮廓线在O A部分是摆线的半拱弧,A B为拱高用一段没有伸缩性的柔软细线绷紧在摆线弧O A上现在把线的一端固定在O点,另一端系一个小环,用笔尖套在A端的小环里拉紧细线移动笔尖,使细线从A端开始逐渐离开摆线板而伸直,一直到整个细线刚好完全伸直为止这时笔尖将画出图中虚线所示的曲线弧AK可以证明,弧AK也是摆线的半拱弧,并且其拱高与原摆线的拱高相等,区别只在于弧O A是前半拱,弧KA是后半拱,并且位置不同图摆线时钟我们已经从滚珠荡秋千的游戏中认识到摆线的等时性,又通过利用摆线板画摆线知道了怎样利用绷紧在摆线板上的细线画出新的摆线把这两项知识结合起来,就可以理解著名的摆线时钟问题了钟摆在滴答声中来回摆动一次,每次摆动所用的强基竞赛时间必须严格地相等,才能保证计时的准确性通常时钟的钟摆是把摆锤挂在摆杆上,沿圆弧来回摆动由于各种因素的影响,钟摆每次摆动的幅度不可能保持绝对不变而当摆锤沿圆弧摆动时,来回摆动一次所用的时间与摆动幅度有关:摆幅越小,摆动一次的时间越短能不能设计一种钟摆,使它每摆动一次所用的时间不受摆幅大小的影响,始终保持常数呢?同滚珠荡秋千的游戏比较,滚珠相当于这里的摆锤,所以只要设法让摆锤不是沿圆弧摆动,而是沿摆线弧摆动,就能使摆动周期严格保持一定,不受摆幅变化的影响又根据利用摆线板画摆线问题的结论可知,只要像图中那样,把摆锤悬挂在长为r(摆线半拱的弧长)的能弯曲但不能伸长的细线上,悬挂点的两边各放一块摆线挡板,使挡板的曲线轮廓是拱高为r的半拱摆线,这样就能保证摆锤沿着图中虚线所示的摆线弧摆动无论摆幅大小如何,摆锤沿着摆线弧来回摆动一次,所用的时间都是 rg图 世纪物理学家惠更斯发现了摆线的等时性以后,就用它设计了巧妙的摆线时钟摆线这个名称,正是由于这种曲线被应用于改进钟摆而得来的根据费马原理证明摆线是从起点到终点用时最短的路径如前所述,摆线还是物理上的最速降线,即将一滑块(视作质点)放在光滑曲线轨道上由O点(取为原点)静止释放,下滑到最低点,当起点和终点间的曲线为一段摆线时,所用时间最短要证明这一特点,可以借用光学的费马原理:光由一点到另一点的传播曲线应该是经历时间最短的曲线质点沿图所示的光滑摆线运动,根据机械能守恒定律得v g y,设空间存在沿y方向变化的介质,光线要能沿摆线运动,根据折射定律有s i ns i nnncvcvvv比较轨迹中任一点与最低点,应该满足s i ns i ng yg R,因为yR(c o s),则有s i ns i ng yg RyRR(c o s)R(s i n)s i ns i ns i n s i n s i n为合速度方向与y轴方向的夹角,原题得证!说明沿摆线的运动与光线在折射率不同的介质中传播的轨迹相同,摆线是从起点到终点用时最短的路径火车悖论关于摆线还有一条格外引人关注的悖论 火车悖论在任一瞬间,一辆移动的火车绝不可能整个地都朝机车拖动的方向移动,火车上总有一部分是朝火车运动的相反方向移动!许多人都知道,这是轮子的原因问题的关键还是在轮子上,由于火车车轮的轮缘比轮子要宽,所以当轮子转动时,形成的旋轮线就是如图所示的长幅旋轮线,从图中看出轮缘最低点的一部分确实在做着逆向的运动图数学是物理的抽象,可以说数学具有“神”,物理具有“形”,数学和物理紧密结合就能形神兼备,相得益彰!(完)