巧用非高垂线解题.pdf

2023年第2期河北理科教学研究问题讨论如图1，在ABC中，过点A作ADBC于点D，AD是ABC的一条高.若过点A作AEAB交BC于点E（如图 2）或作AFAC交BC于点F（如图 3），AE、AF是经过点A的垂线段，但不是ABC的高，文1将这样的线段叫做非高垂线.利用非高垂线可以巧解一些几何试题，现举例如下.1遇特殊角例 1如 图4，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x1的图 象 分 别 交x、y轴 于 点A、B，将 直 线AB绕点B按顺时针方向旋转45，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是分析：由题意得ABC=45，想到作垂线得到等腰直角三角形，再构造“K”“型的全等模型进一步求解.过点A作ADBC，AD为ABC的高，可得解法 1.若过点A作AGAB，AG即为非高垂线，可得解法2.解法1：如图4，过点A作ADBC于点D，过点D作DEOC于点E，过点B作BF直线DE于点F.由直线AB解析式，A（12，0），B（0，-1）.易证ADEDBF，所以AE=DF,DE=BF.设AE=DF=x，则DE=1x,BF=12+x，于是1-x=12+x，解得x=14，于是D（34，-34）.又B（0，-1），可得直线BC:y=13x-1.解法2：如图 5，过点A作AGAB交BC于点G，过点G作GHAC于点H.易 证巧用非高垂线解题江苏省无锡市大桥实验学校 张 涛214000摘 要：垂线是求解几何试题的常用辅助线.常作的垂线可分为高线、非高垂线两种.文章介绍了非高垂线及其在一些几何试题中的妙用.关键词：非高垂线；辅助线；基本模型ABDCACBEABCF图1图2图3yO AEDFBCx图4yOAGCxBH图5 112023年第2期河北理科教学研究问题讨论AOBGHA，所以AH=OB=1，GH=OA=12，于是G（32，-12）.又B（0，-1），可得直线BC：y=13x-1.评注：解法 1 的辅助线AD比较容易想到，但因为点D的坐标未知，所以无法直接表示出ADE和DBF的直角边，只能设未知数列方程求解.解法 2 中，作非高垂线AG，因为点A的坐标已知，所以全等三角形的直角边可以得出，求解过程更加简洁.例2 如图6，ABC中，D为BC边上的一点，ADAB，若CDBD=23，CAD=30，则tanB的值为.分析：由CAD=30，首先想到过点D作DEAC，发现无法求解.若过点D作DEAD，可得到以下解法.解：过点D作DEAD交AC于点E.设DE=a，因为CAD=30，所以AD=3a.因为ADAB，DEAD，所以DEAB，所以CDECBA，则DEAB=CDCB=25，所以AB=52a.在RtABD中，tanB=ADAB=253.评注：作非高垂线DE，既将特殊角放到了直角三角形中，又与条件“ADAB”巧妙地关联构造出“X”型的基本图形，问题得以解决.2遇三角函数例3 在直角坐标系中，已知抛物线yax24axc(a0)与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴负半轴交于点C，顶点为D，已知SABD:S四边形ACBD1:4.（1）求点D的坐标（用仅含c的代数式表示）；（2）若tanACB=12，求抛物线的解析式.（1）解：D（2，-c3），过程略.（2）分析：易得A（1，0），B（3，0），C（0，3a），由tanACB=12想到作垂线，得到长度为1：2的两条直角边，再构造“K”型的相似模型求解.由例 1 可知，作AGAC比较简便.解：将D（2，-c3）代入yax2-4ax+c，得c=3a，则y=ax2-4ax3a.所以A（1，0），B（3，0），C（0，3a）.如图7，过点A作AGAC交BC于点G，过点G作GHOB于点H.因为tanACB=12，所以AGAC=12.易得COAAHG，所以OCAH=AOGH=ACAG=2.于 是AH=-3a2，GH=12.因为BOC=90，GHOB，所以GHCO，BHGBOC，于是GHCO=BHBO，即12-3a=2+32a3,解得a1=-1，a2=-13.所以y=-x2+4x3或y=-13x2+43x-1.评注：与例1类似，作非高垂线AG，垂足A为已知点，所以表示AOC的直角边无需设元.例 4如图 8，在ABC中，B=90，P是边BC上一点，BAP=C，tanPAC=2 55，求tanC的值.分析:由tanPAC=2 55想到作垂线图6AECDByxGAHBCO图7 122023年第2期河北理科教学研究问题讨论将PAC放到直角三角形中，若过点P作PDAC，得解法1；作PEAP，得解法2.解法1:如图8，过点P作PDAC于点D.因为tanPAC=2 55，所以可设DP=2a，AD=5a，则AP=3a.因为BAP=C，B=CDP，所 以ABPCDP，则APCP=BPDP，即APDP=BPCP.设BP=x,则CP=6a2x.在RtABP中，AB2=AP2-BP2=9a2x2.因为BAP=C，B=B,所以ABPCBA，则AB2=BPBC，即9a2-x2=xx+6a2x，解 得x=62a.AB2=152a2，AB=302a.所 以tanC=tanBAP=BPAB=55.解法 2:如图 9，过点P作PEAP交AC于点E.因为tanPAC=2 55，所以可设EP=2b，则AP=5b,所 以AE=3b.因 为B=APE=90，所以BAP=EAP.又BAP=C，所以EPC=C，EC=EP=2b，则AC=3b+2b=5b.因为ABPCBA,所以ABBC=APAC,即tanC=55.评注:解法 1中除了ADP外，其他三角形均无法直接求解，因此只能设出新的未知数，利用两组相似三角形建立数量关系进行求解，过程比较繁琐，计算量偏大.而解法2中，非高垂线EP与其他条件关联，得到了等腰三角形CEP，CE、AC得以快速表示，求解过程非常简洁.3遇直角例5问题情境：如图10，RtABC中，ACB=90,CDAB，我们可以利用ABC与ACD相似证明AC2=ADAB，这个结论我们称之为射影定理.结论运用：如图11，正方形ABCD的边长为 6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点 C作CFBE，垂足为F，连接OF，（1）试利用射影定理证明BOFBED；（2）若DE=2CE，求OF的长本题参考答案的思路如下：如图11，在RtBCD中，COBD，由射影定理得BC2=BOBD.在RtBCE中，CFBE，由射影定理得BC2=BFBE，所以BOBD=BFBE，即BOBE=BFBD.又OBF=EBD，所以OBFEBD，于是OFDE=BOBE，即OF4=3 22 10，解得OF=655.分析:由条件不难发现OBF=OCF,BO=CO，若再添加一组适当的等量关系即可构造全等三角形.注意到BOC=90，作BOF的非高垂线OG，即可得到BOG=COF.另解:如图 12，过点O作OGOF交BE于点G，易得BOG=COF，BO=CO，OBG=OCF，于是OBGOCF，从而BG=CF，OG=OF.在RtBCF中，DBAPC图8EBAPC图9BAODCEFBACD图10图11 132023年第2期河北理科教学研究问题讨论BC=6，CE=2，由勾股定理得BE=2 10，由等积法得CF=3510，从而BF=9510，BG=3510，FG=6510，所以OF=655.评注:命题者预设的解法是利用射影定理证明相似，进而求解OF的长，但从图11中两次分解出基本图形，再准确应用射影定理对学生来说实属不易.即使有命题者的精心铺垫，本题也可以通过作非高垂线OG构造全等三角形求解.几何试题中出现特殊角（30、45、60）、已知角（给出某个角的正切值或余弦值或正弦值）、直角等条件时，垂线是常用的辅助线.由以上五例可知，当作高求解比较繁琐或者无法继续时，非高垂线常常能与条件产生奇妙的关联，生成特殊图形或基本模型，带来意想不到的效果.参考文献1 李玉荣.“错误”也是一种资源 J.初中数学教与学，2019（8）：39-41.BAODCEFG图122sincos-cos2=0，所以(3sin-cos)(sin+cos)=0，所以tan=13或tan=-1,所以直线l的方程为y=13x+2或y=-x+2.评注：本题为例2和例3的变式，本题第（2）问设出直线l的参数方程，代入抛物线方程，由判别式0可得出tan的取值范围，再由题设和直线参数方程意义下的弦长公式建立三角方程，再运用分解因式的方法解方程组可得出直线l的斜率，从而得出直线l的方程.以上创新思路，运用直线参数方程法解答了一些圆锥曲线中的热点题型，强化了学生对直线参数方程知识的认知，学习视野得到了拓宽，思维品质得到了优化，沟通了数学学科知识内部联系的桥梁，在运用直线参数方程的解题过程中强化了方程思想和设而不求思想的应用，落实了数学运算、逻辑推理和直观想象核心素养的培养.参考文献1 邹圣书.例析直线参数方程在解题中的应用 J.高中数学教与学，2016（11）：11-13.基金项目：天水市“十三五”规划2020年度教育科研课题“在高中数学圆锥曲线习题教学中培养学生数学学科核心素养的研究以秦安县第二中学为例”（课题编号：TS（2020）GH 126）.(上接第10页)14