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(完整版)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
03　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

知识梳理
1．简单的逻辑联结词
（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．
（2）命题p∧q、p∨q、非p的真假判断

p
q
p∧q
p∨q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2。全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用“∃"表示;含有存在量词的命题叫做特称命题．
（3）含有一个量词的命题的否定

命题
命题的否定
∀x∈M，p(x）
∃x0∈M，非p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M,非p（x)

要点整合
1．若p∧q为真，则p，q同为真；
若p∧q为假，则p，q至少有一个为假；
若p∨q为假，则p,q同为假；
若p∨q为真，则p,q至少有一个为真．
2．“p∧q”的否定是“（非p)∨(非q)”；
“p∨q”的否定是“（非p）∧（非q）”．

题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性

例1。 已知命题p：对任意x∈R，总有2x〉0；q:“x〉1"是“x〉2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（　　)
A．p∧q　　　 B．(非p）∧（非q)
C．(非p）∧q D．p∧(非q）
解析：　根据指数函数的图象可知p为真命题．由于“x〉1"是“x〉2”的必要不充分条件,所以q为假命题，所以非q为真命题．逐项检验可知只有p∧（非q)为真命题．故选D.
[答案]　D

判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤
第一步：先判断命题p与q的真假性,从而得出非p与非q的真假性．
第二步:根据“p∧q"与“p∨q”的真值表进行真假性的判断．　

变式1．设命题p：3≥2，q：函数f(x）＝x＋（x∈R)的最小值为2，则下列命题为假命题的是(　　)
A．p∨q B．p∨（非q)
C．(非p）∨q D．p∧（非q）
解析：选C.命题p:3≥2是真命题，命题q是假命题，
∴（非p）∨q为假命题，故选C.
变式2．已知命题p：∀x∈R,2x〈3x，命题q：∃x∈R，x2＝2－x,若命题（非p)∧q为真命题，则x的值为(　　）
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选D.∵非p：∃x∈R，2x≥3x，要使（非p）∧q为真，
∴非p与q同时为真．由2x≥3x得≥1,
∴x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0,
∴x＝1或x＝－2，又x≤0，
∴x＝－2.
变式3．设p：y＝logax（a>0,且a≠1)在(0，＋∞)上是减函数;q：曲线y＝x2＋(2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点，若p∨(非q)为假，则a的范围为__________．
解析:∵p∨(非q）为假，∴p假q真．
p为假时，a〉1,
q为真时，（2a－3）2－4>0，即a〈或a〉，
∴a的范围为
(1，＋∞)∩
＝。
答案：

题型二. 含有一个量词的命题的否定　

例2. 命题“∃x0∈(0，＋∞）,ln x0＝x0－1”的否定是（　　）
A．∀x∈(0,＋∞）,ln x≠x－1
B．∀x∉(0，＋∞）,ln x＝x－1
C．∃x0∈（0,＋∞），ln x0≠x0－1
D．∃x0∉（0,＋∞),ln x0＝x0－1
解析：　由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x∈（0,＋∞），ln x≠x－1,故选A。
[答案]　A

（1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀"相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；
(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x,证明p（x）成立;要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可．

变式1．命题p：∃x0∈R,x＋2x0＋2≤0的否定为(　　)
A．非p：∃x0∈R，x＋2x0＋2〉0
B．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2≤0
C．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0
D．非p:∃x0∈R，x＋2x0＋2＜0
解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，故选C.
变式2．设命题p：任意两个等腰三角形都相似,q：∃x0∈R，x0＋|x0｜＋2＝0，则下列结论正确的是　(　　)
A．p∨q为真命题 B．(非p）∧q为真命题
C．p∨（非q）为真命题 D．(非p)∧(非q）为假命题
解析:选C。∵p假，非p真;q假，非q真，
∴p∨q为假，（非p)∧q为假，p∨（非q)为真，（非p)∧（非q）为真，故选C。

题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用

例3。 已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R,x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　）
A．［2，＋∞）　　 B．（－∞，－2]
C．（－∞，－2］∪［2，＋∞） D．[－2，2]
解析：　依题意知,p，q均为假命题．当p是假命题时,mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p,q均为假命题得即m≥2。
[答案］　A

根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤
第一步：对两个简单命题进行真假性判断．
第二步：根据p∧q为真，则p真q真，p∧q为假，则p
与q至少有一个为假，p∨q为真，则p与q至少有一个为真，p∨q为假，则p假q假．
第三步:根据p、q的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．

变式1．若命题“存在实数x0，使x＋ax0＋1＜0"的否定是真命题，则实数a的取值范围为（　　)
A．(－∞，－2] B．［－2,2]
C．(－2，2） D．[2,＋∞)
解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x∈R，x2＋ax＋1≥0"是真命题，则Δ＝a2－4×1×1≤0，
解得－2≤a≤2。故实数a的取值范围是［－2，2]．
变式2．(名师原创）若“∀x∈，sin x≤m"是真命题，则实数m的范围为（　　)
A．［1,＋∞） B．(－∞，1]
C。 D．
解析：选A.∵∀x∈，≤sin x≤1。
∴“∀x∈，sin x≤m”为真命题时，m≥1，故选A.

【真题演练】
1.【浙江理数】命题“，使得"的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．,使得
【答案】D
【解析】的否定是,的否定是,的否定是．故选D．
2.【高考新课标1，理3】设命题：，则为( )
（A) （B）
（C) （D)
【答案】C
【解析】:，故选C.
3。【高考浙江，理4】命题“且的否定形式是（ ）
A. 且 B. 或
C。 且 D。 或
【答案】D。
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D。
4。【陕西卷】原命题为“若z1，z2互为共轭复数,则｜z1｜＝｜z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　)
A．真，假，真 B．假，假,真
C．真，真,假 D．假，假，假
【答案】B　

5。【重庆卷】已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0,q：“x〉1"是“x〉2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是（　　)
A．p∧q B．非p∧非q
C．非p∧q D．p∧非q
【答案】D　
【解析】根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x〉1”是“x〉2”的必要不充分条件,所以q为假命题,所以非q为真命题，所以p∧非q为真命题．
6.【湖北卷】在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为(　　）
A．（p）∨(q) B．p∨(q）
C．（p)∧（q) D．p∨q
【答案】A　“至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.