等差数列第一课时学案3.doc

§6　等 差 数 列
第1课时　等差数列的概念及通项公式
知能目标解读
1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.
2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.
4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.
5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点：等差数列的概念.
难点：等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
1.等差数列的定义
（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：
①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.
③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2).
（2）如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同
一个常数(或an-an-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.
2.等差数列的通项公式
（1）通项公式的推导常用方法：
方法一（叠加法）：∵{an}是等差数列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三（逐差法）：∵{an}是等差数列，则有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.
（2）通项公式的变形公式
在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有
am=a1+(m-1)d　　　①
an=a1+(n-1)d 　　　②
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d= (n≠m).
（3）通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.
3.从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示.
当d<0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示.
当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.

4.等差中项
如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做数a与b的等差中项.
注意:(1)等差中项A=a,A,b成等差数列；
(2)若a,b,c成等差数列，那么b=，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的；
(3)用递推关系an+1= (an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.
知识自主梳理
1.等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的　　　　是　　　　，我们称这样的数列为等差数列.
2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做　　　　.
3.等差数列的判断方法
（1）要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时，　　　　.
（2）如果an+1=对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是　　　　.
（3）若a,A,b成等差数列，则A＝　　　　.
4.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为 .
5.等差数列的单调性
当d>0时，{an}是 数列；当d=0时，{an}是 数列；当d<0时，{an｝是 数列.
［答案］　1.差　同一个常数
2.a与b的等差中项
3.（1）an-an-1=d(常数)　(2)等差数列　（3）
4.an=a1+(n-1)d　an=am+(n-m)d
5.递增　常　递减
思路方法技巧
命题方向　等差数列的定义及应用
［例1］　判断下列数列是否为等差数列.
（1）an=3n+2；
（2）an=n2+n.
［分析］　利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.
［解析］　(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.
［说明］　利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.
1　　 n=1
变式应用1　试判断数列｛cn｝，cn= 是否为等差数列.
 2n-5　n≥2
［解析］　∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.
∴{cn}不是等差数列.
命题方向　等差数列通项公式的应用
［例2］　已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.
［分析］　利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.
［解析］　解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得
a1+4d=11　　　　 a1=19
解得 .
a1+7d=5　　　　 d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二：∵a8=a5+(8-5)d,
∴d===-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
［说明］　(1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.
(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为d=，应注意掌握对它的灵活应用.
变式应用2　已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.
a10=a1+9d=29
［解析］　设等差数列的公差为d,则有 ，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3＝3n-1.
令an＝3n-1=91,得n=N+.
∴91不是此数列中的项.
命题方向　等差中项的应用
［例3］　已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列？
［分析］　已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.
［解析］　因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.
［说明］　本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式应用3　已知数列｛xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N＋,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.
［分析］　由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.
［解析］　由x1=3,得2p+q=3,　　　　①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3＋25p+5q=25p+8q,　　　　　　　　　②
由①②得q=1,∴p=1.
［说明］　若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.
探索延拓创新
命题方向　等差数列的实际应用
［例4］　某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
［解析］　由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an,则an-an-1=-20,(n≥2,n∈N＋),每年获利构成等差数列｛an｝,且首项a1=200,公差d=-20,
所以an=a1+(n-1)d
=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损，
由an＝-20n＋220<0,解得n>11,
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
［说明］　关于数列的应用题，首先要建立数列模型将实际问题数列化.
变式应用4　2012年将在伦敦举办奥运会，伦敦将会有很多的体育场，为了实际效果，体育场的看台一般呈“辐射状”.例如，某体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有150个座位，从第二排起每一排都比前一排多20个座位，你能用an表示第n排的座位数吗？第10排可坐多少人？
［分析］　分析题意知，看台上的每一排的座位数组成了一个等差数列.
［解析］　由题意知，每排的座位数组成了一个首项为a1=150,公差为d=20的等差数列，
∴an=a1+(n-1)d=150+(n-1)×20=20n+130,
则a10=330,即第10排可坐330人.
名师辨误做答
［例5］　已知数列｛an｝,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3).
（1）判断数列｛an｝是否为等差数列？说明理由；
（2）求｛an｝的通项公式.
［误解］　（1）∵an=an-1+2,
∴an-an-1=2(为常数)，
∴｛an｝是等差数列.
（2）由上述可知，an=1+2(n-1)=2n-1.
［辨析］　忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误.事实上，数列｛an｝从第2项起，以后各项组成等差数列，而｛an｝不是等差数列，an=f(n)应该表示为“分段函数”型.
［正解］　（1）当n≥3时，an=an-1+2,
即an-an-1=2.
当n=2时，a2-a1=0不满足上式.
∴｛an｝不是等差数列.
（2）∵a2=1,an=an-1+2(n≥3)，
∴a3=a2+2=3.
∴a3-a2=2.
当n≥3时，an-an-1=2.
∴an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3,
又a1=1不满足此式.
1 (n=1)
∴an= .
2n-3 (n≥2)
课堂巩固训练
一、选择题
1.（2011·重庆文，1）在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则a10=（　　）
A.12　　　　　　　　B.14　　　　　　　　C.16　　　　　　　　D.18
［答案］　D
［解析］　该题考查等差数列的通项公式，由其两项求公差d.
由a2=2,a3=4知d==2.
∴a10=a2+8d=2+8×2=18.
2.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为（　　）
A.2　　　　　　　　　B.3　　　　　　　　C.－2　　　　　　　　D.－3
［答案］　C
［解析］　∵an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),
∴公差为－2，故选C.
3.方程x2-6x+1=0的两根的等差中项为（　　）
A.1　　　　　　　　　B.2　　　　　　　　C.3　　　　　　　　　　D.4
［答案］　C
［解析］　设方程x2-6x+1=0的两根为 x1、x2,则x1+x2=6.
∴其等差中项为=3.
二、填空题
4.在等差数列{an}中，a2=3,a4=a2+8,则a6= .
［答案］　19
［解析］　∵a2=3,a4=a2+8,
a1+d=3 a1=-1
∴ , 解得 .
a1+3d=a1+d+8 d=4
∴a6=a1+5d=-1+20=19.
5.已知a、b、c成等差数列，那么二次函数y=ax2+2bx+c(a≠0)的图像与x轴的交点有 　　　个.［答案］　1或2
［解析］　∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c,
又Δ=4b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c)2≥0.
三、解答题
6.在等差数列｛an｝中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an.
a1+4d=10 a1=－2
［解析］　由题意得 , 解得 .
a1+11d=31 d=3
∴an=-2+(n-1)×3＝3n-5.
课后强化作业
一、选择题
1.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数为（　　）
A.92　　　　　　　　B.47　　　　　　　　C.46　　　　　　　　D.45
［答案］　C
［解析］　∵a1=1，d=-1-1=-2,
∴an=1+(n-1)·(-2)=-2n+3,
由-89=-2n+3，得n=46.
2.如果数列{an}是等差数列，则（　　）
A.a1+a8<a4+a5　　　　B.a1+a8=a4+a5　　　　C.a1+a8>a4+a5　　　　D.a1a8=a4a5
［答案］　B
［解析］　设公差为d,则a1+a8-a4-a5=a1+a1+7d-a1-3d-a1-4d=0,
∴a1+a8=a4+a5.
3.已知数列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是它的第（　　）
A.12项　　　　　　　B.13项　　　　　　　C.14项　　　　　　D.15项
［答案］　C
［解析］　由3(2n-1)=81,解得n=14.
4.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,则a1等于（　　）
A.-9　　　　　　　 　B.-8　　　　　 　　　C.-7　　 　　　　　D.-4
［答案］　B
a1+d=-5
［解析］　由题意，得 ，
a1+5d=a1+3d+6
解得a1=-8.
5.数列{an}中，a1=2,2an+1=2an+1,则a101的值是（　　）
A.49　　　　　　　　　B.50　　　　　　　　C.51　　　　　　　D.52
［答案］　D
［解析］　由2an+1=2an+1得an+1-an=，
∴{an}是等差数列,首项a1=2,公差d=,
∴an=2+ (n-1)= ,
∴a101==52.
6.已知a=,b=,则a,b的等差中项为（　　）
A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　　　　　D.
［答案］　A
［解析］　===.
7.设数列{an}是递增等差数列，前三项和为12，前三项积为48，则它的首项为（　　）
A.1　　　　　　　　　B.2　　　　　　　　C.4　　　　　　　　　　D.3
［答案］　B
a1+a2+a3=12 a1+a3=8
［解析］　由题设 ，,∴a2=4,∴
a1a2a3=48 a1a3=12
∴a1,a3是一元二次方程x2-8x+12=0的两根，
又a3＞a1,∴a1=2.
8.{an}是首项为a1=4,公差d=2的等差数列，如果an=2012,则序号n等于（　　）
A.1003　　　　　　　B.1004　　　　　　　C.1005　　　　　　　　D.1006
［答案］ C
［解析］ ∵a1=4,d=2,
∴an=a1+(n-1)d=4+2(n-1)=2n+2,
∴2n+2=2012,
∴n=1005.
二、填空题
9.三个数lg(-),x,lg(+)成等差数列，则x= .
［答案］　0
［解析］　由等差中项的运算式得
x==＝0.
10.一个等差数列的第5项a2=10,且a1+a2+a3=3,则a1= ,d= .
［答案］　-2,3
a5=a1+4d=10 a1+4d=10 a1=-2
［解析］　由题意得 , 即 ，∴ .
a1+a1+d+a1+2d=3 a1+d=1 d=3
11.等差数列{an}的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则它的第5项为 .
［答案］　4
［解析］　∵2(2x+1)=x+(4x+2),∴x=0,则a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.
12.在数列{an}中，a1=3，且对于任意大于1的正整数n，点（,）在直线x-y-=0上，则an= .
［答案］　3n2
［解析］　由题意得 - =,
∴数列{}是首项为，公差为的等差数列，
∴ =n,∴an=3n2.
三、解答题
13.在等差数列{an}中：
(1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;
(2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
a1+(5-1)d=-1 a1=-5
［解析］　(1)由题意知 ，解得 .
a1+(8-1)d=2 d=1
a1+a1+(6-1)d=12 a1=1
（2）由题意知 ，解得 ，
a1+(4-1)d=7， d=2

∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
14.已知函数f(x)= ，数列{xn}的通项由xn=f(xn-1) (n≥2,且n∈N+)确定.
(1)求证：｛｝是等差数列；
(2)当x1=时，求x100.
［解析］　(1)xn=f(xn-1)= (n≥2,n∈N+)，
所以==+，
-= (n≥2,n∈N+).
所以｛｝是等差数列；
(2)由(1)知{}的公差为.
又因为x1=,即＝2.
所以=2+(n-1)×，
=2+(100-1)×=35.
所以x100=.
15.已知等差数列｛an｝中，a5+a6+a7=15,a5·a6·a7=45,求数列｛an｝的通项公式.
［分析］　显然a6是a5和a7的等差中项，可利用等差中项的定义求解a5和a7，进而求an.［解析］　设a5=a6-d,a7=a6+d,
则由a5+a6+a7=15,得3a6=15,
∴a6=5.
a5+a7=10 a5=1 a5＝9
由已知可得 ，解得 或
a5·a7=9 a7=9 a7=1
当a5=1时，d=4,
从而a1=-15,an=-15+(n-1)×4=4n-19.
当a5=9时，d=-4,从而a1=25.
∴an=25+(n-1)×（-4）＝－4n+29.
所以数列｛an｝的通项公式为an=4n－19或an=-4n+29.
16.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
(2)2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
［解析］　(1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为
an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N+).
（2）假设an=2008，由2008=1892+4n,得n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.
所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会.

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