强b-距离空间中的Ekeland变分原理.pdf

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2023,36(4):877-883强b-距离空间中的Ekeland变分原理刘萱,贺飞(内蒙古大学数学科学学院,内蒙古 呼和浩特 010021)摘要：本文在强b-距离空间中建立实值Ekeland变分原理,由此推出强b-距离空间中的Caristi型不动点定理和Takahashi非凸极小化定理.同时在强b-距离空间中给出均衡形式的Ekeland变分原理的若干等价命题.我们的结果与距离空间中相应结果形式一致,也是距离空间中结果的推广.关键词：强b-距离空间;Ekeland变分原理;Caristi型不动点定理;Takahashi非凸极小化定理;Oettli-Th era定理中图分类号：O177.2AMS(2010)主题分类：58E30;47H10文献标识码：A文章编号：1001-9847(2023)04-0877-071.引言1974年,Ekeland1给出了极小问题近似解的存在性,即著名的Ekeland变分原理.该原理应用于数学诸多领域,例如优化理论、控制理论、不动点理论.Ekeland变分原理表明在完备的距离空间下,下半连续且下有界的泛函f在某点的取值接近极小值.许多学者将Ekeland变分原理推广到不同的空间中或者给出变分原理的不同形式及其等价命题.214另一方面,Czerwik15提出b-距离空间的概念,这类空间是比距离空间更广泛的空间框架.许多学者在这类空间中考虑了不动点定理.1620在2011年,Bota等人11将Ekeland变分原理首次推广到了b-距离空间,同时证明了该空间中的Caristi型不动点定理.2020年,黄帅等人13和XIE14分别证明了矩形b-距离空间和偏b-距离空间中的Ekeland变分原理.我们发现上述几种b-距离空间中Ekeland变分原理形式中含有级数,与距离空间中变分原理形式差别很大,并且也不是距离空间中相应结果的推广.本文在强b-距离空间中建立Ekeland变分原理,其形式与距离空间中结果形式一致,其结果是距离空间相应结果的推广.同时,在强b-距离空间中获得了Caristi型不动点定理和Takahashi非凸极小化定理以及均衡形式Ekeland变分原理的等价命题.2.预备知识下面回顾一些基本概念.定义2.12,12,15设X是非空集合,s 1是常数.若映射d:X X 0,+)满足,对于任意x,y,z X,1)d(x,y)=0当且仅当x=y;2)d(x,y)=d(y,x);收稿日期：2022-09-01基金项目：国家自然科学基金项目(12061050,11561049);内蒙古自然科学基金项目(2020MS01004)作者简介：刘萱,女,蒙古族,内蒙古人,研究方向:泛函分析.通讯作者：贺飞.878应用数学20233)d(x,y)sd(x,z)+d(z,y),则称d是X上的b-距离,称(X,d)是b-距离空间.进一步,若用3)d(x,y)sd(x,z)+d(z,y),代替3),则称d是X上的强b-距离,称(X,d)是强b-距离空间.距离空间,强b-距离空间,b-距离空间之间的关系是距离空间 强b-距离空间 b-距离空间.它们之间的蕴含关系是三角不等式形式上的蕴含关系,下面给出例子说明上述蕴含关系的反向是不成立的.首先给出例子说明强b-距离空间不一定是距离空间.例2.1设X=a,b,c,d:X X R+定义为d(a,a)=d(b,b)=d(c,c)=0,d(a,b)=d(b,a)=2,d(a,c)=d(c,a)=1,d(b,c)=d(c,b)=4.由于d(b,c)=4 d(a,b)+d(a,c)=1+2,故(X,d)不是距离空间.对于任意的x,y,z X,则d(x,y)2d(x,z)+d(z,y).因此(X,d)是s=2的强b-距离空间.下面给出例子说明b-距离空间不一定是强b-距离空间.例2.2设X=R,d:X X R定义为d(x,y)=d(y,x)=|x y|2.对于任意的s 1,取x=0,y=1,z=1s+1,则d(x,y)=1 sd(x,z)+d(z,y)=s(s+1)2+(1 1s+1)2=ss+1.因此,(X,d)不是强b-距离空间.下证(X,d)是b-距离空间.对于任意的x,y,z X,d(x,y)=|x y|2=|x z+z y|2(|x z|+|z y|)2=|x z|2+2|x z|z y|+|z y|2 2(|x z|2+|z y|2)=2d(x,z)+d(z,y).因此,(X,d)是s=2的b-距离空间.定义2.212设(X,d)是强b-距离空间,xnnN是X中的序列.1)称xn收敛,如果d(xn,x)0(n );2)称xn是Cauchy列,如果d(xn,xm)0(n,m );3)称(X,d)是完备的,如果X中的所有Cauchy列都收敛.定义2.312设(X,d)是强b-距离空间,称A X是闭的,如果对于每个xn A且xn收敛于x X,有x A.设(X,d)是强b-距离空间,A X,记A的直径为diam(A)=supx,yAd(x,y).定理2.112(Ekeland变分原理)设(X,d)是完备的距离空间,f:X R +是下半连续泛函,不恒等于+且下有界.对于任意给定的 0以及x0 X使得f(x0)infxXf(x)+,则存在 x X使得(a)f(x)+d(x0,x)f(x0);(b)f(x)1是实数,b-距离d是连续的,f:X R +是下半连续泛函,不恒等于+且下有界.对于任意的 0以及x0 X使得f(x0)infxXf(x)+,则存在序列xnnN X和x X使得(i)xn x(n );(ii)d(x,xn)2n,n N;(iii)f(x)+n=01snd(x,xn)f(x0)infxXf(x)+;(iv)f(x)+n=01snd(x,xn)f(x)+n=01snd(x,xn),x Xx.3.主要结果引理3.1设(X,d)是完备强b-距离空间,Snn1是X的非空闭子集满足,1)单调递减,即S1 S2 Sn ;2)limndiam(Sn)=0,则n=1Sn有且只有一个元素.证对于每个n N+,任取xn Sn.由于diam(Sn)0(n ),故对于任意的 0,存在正整数n0使得 diam(Sn0)n0,由于Sn单调递减,故xm,xn Sn0,从而d(xm,xn)diam(Sn0)0.由于diam(Sn)0(n ),故存在N N+,diam(SN)d(x,y).由于 x,y SN,故d(x,y)diam(SN)0和x0 X使得f(x0)infxXf(x)+,则存在 x X使得(a)f(x)+1sd(x0,x)f(x0);(b)f(x)f(xm).由 x E(xm)可得f(x)+1sd(x,xm)f(xm),从而f(x)+1sd(x,xm)f(x)+1sd(x,xm).由三角不等式可得f(x)+1ssd(x,x)+d(x,xm)f(x)+1sd(x,xm)f(x)+1sd(x,xm),从而,对于任意的x=x,f(x)+d(x,x)f(x).因此结论(b)成立.注3.1由于距离空间是s=1的强b-距离空间,故定理2.1是定理3.1的特殊情形.第 4 期刘萱等：强b-距离空间中的Ekeland变分原理881定理3.2(Caristi型不动点定理)设(X,d)是完备的强b-距离空间(s 1),映射T:X X满足,对于任意的x X,d(x,T(x)+f(T(x)f(x),(3.4)其中f:X R+是下半连续泛函,不恒等于+且下有界,则存在 x X,使得T(x)=x.证由定理3.1可知,存在 x X,对于任意的x X x,f(x)f(x)+d(x,x).(3.5)下面证明 x是T的不动点.假设 x=T(x).由(3.5)可得,f(x)f(T(x)+d(T(x),x).(3.6)由(3.4)及(3.6)可知f(x)infxXf(x),存在z X x满足f(z)+d(x,z)f(x),(3.7)则存在 x X使得f(x)=infxXf(x).证由定理3.1可知,存在 x X,对于任意的x X x使得f(x)infxXf(x),由(3.7)可知,存在z X x使得f(z)+d(x,z)f(x),与(3.8)矛盾.因此f(x)=infxXf(x).下面给出均衡形式Ekeland变分原理的若干等价命题.定理3.4设(X,d)是完备的强b-距离空间,F:X X R +是X上的二元函数且满足对于任意x,y,z X,1)F(x,)下半连续;2)F(x,x)=0;3)F(x,y)F(x,z)+F(z,y).设存在 x X且infxXF(x,x),令S:=x X|F(x,x)+1sd(x,x)0,则下列结论等价(a)(扩展的Ekeland变分原理)存在 x S使得,对于任意x=x,F(x,x)+d(x,x)0.(3.9)(b)(扩展的Takahashi非凸极小化定理)设对于任意的 x S 且 infxXF(x,x)0.若 x/D,则存在x=x,x X使得F(x,x)+d(x,x)0,矛盾.因此,x D,从而 x S D,即(d)成立.(d)(a):对于任意的 x S,定义集合(x):=x X:F(x,x)+d(x,x)0,x=x.设D=x S,(x)=.若 x/D,则由D的定义可知,(x)=,即存在x X,x=x使得F(x,x)+d(x,x)0,从而D满足条件(3.12).由(d)可知,存在 x S D,从而(x)=.因此对于任意的x=x,F(x,x)+d(x,x)0成立.(b)(d):设D X满足(3.12).假设S D=.由(3.12)可知,对于任意的 x S,存在x=x使得F(x,x)+d(x,x)0,(3.13)从而infxXF(x,x)0,与(3.13)矛盾.因此,S D=,(d)成立.(d)(b):设(3.10)成立.定义集合D:=x S:infxXF(x,x)0,则结合(3.10)可知条件(3.12)满足.由(d)可知,存在 x S D,即 x S且infxXF(x,x)0.因此,存在 x S使得对于任意的x X,F(x,x)0.(c)(d):定义集值映射T:X 2X,T(x):=x X:x=x.假设S D=.由(3.12)可知,条件(3.11)满足.由(c)可知,存在 x S,使得 x T(x).这与T(x)的定义矛盾.因此S D=.(d)(c):定义集合D:=x S:x T(x).由(3.11)可知,条件(3.12)满足.由(d)的结论可知,存在 x S D.由D的定义可知,存在 x S,使得 x T(x).参考文献：1 EKELAND I.On the variational principleJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications,1974,47(2):324-353.2 SALEH A,ANSARI Q H,MOHAMED A K.Topics in Fixed Point TheoryM.Berlin:Springer,Cham,2013.第 4 期刘萱等：强b-距离空间中的Ekeland变分原理8833 ANSARI Q H.Vectorial form of Ekeland-type variational principle with applications to vector e-quilibrium problems and fixed point 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