2009年高考数学预测卷一(理科).doc

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2009年高考数学预测卷一(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的
1、定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=，则集合A⊙B的所有元素之和为
A、1 B、0 C、 D、
2、如果复数(其中为虚数单位，b为实数)的实部和虚部都互为相反数，那么b等于
A、 B、 C、 D、2
3、若数列｛an｝满足a1=5,an+1=+(n∈N+),则其｛an｝的前10项和为
A、50 B、100 C、150 D、200
4、设f(x)=tan3x+tan3x，则f(x)为
A、周期函数，最小正周期为 B、周期函数，最小正周期为
C、周期函数，最小正周期为 D、非周期函数
5.动点P（m,n）到直线的距离为λ，点P的轨迹为双曲线（且原点O为准线l对应的焦点），则λ的取值为
A、λ∈R B、λ=1 C、λ＞1 D、0＜λ＜1
6.已知函数f(x)= ,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
A、 B、 C、 D、
7.四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中任取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有
A、30种 B、33种 C、36种 D、39种
8、如图，直三棱柱ABB1-DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则ΔAPC1周长的最小值为
A、5+ B、5- C、4+ D、4-
9、已知函数f(x)=，设=，若≤x1＜0＜x2＜x3，则
A、a2＜a3＜a4 B、a1＜a2＜a3 C、a1＜a3＜a2 D、a3＜a2＜a1
10、函数y=的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为
A、4 B、2 C、4 D、8
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上.
11、已知（x）n的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n等于 ，系数最大的项是第 项。
12、若不等式1-loga＜0有解，则实数a的范围是 .
13、｛n[(1+)2]｝= .
14、三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .
15、若RtΔABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h，则，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC，PO为棱锥的高，记M=,N=,那么M、N的大小关系是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、（本题满分12分）
已知函数f(x)= +2sin2x
（1）求函数f(x)的最大值及此时x的值；
（2）求函数f(x)的单调递减区间。
17、（本题满分12分）
四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）
纪念币
A
B
C
D
概率
1/2
1/2
a
a
这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示出正面向上的个数。
（1）求概率p(ξ)
（2）求在概率p(ξ)，p（ξ=2）为最大时，a的取值范围。
（3）求ξ的数学期望。
18、（本题满分12分）
如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如图②）
（1）求证AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小；
（3）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明。

19、（本题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P（x,y），M（，0），若实数λ使向量，λ，满足λ2·（）2=·。
（1）求点P的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）当λ=时，过点A1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使ΔA1BC为正三角形（请说明理由）。
20、（本题满分13分）
已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0)。
（1）讨论f(x)的单调性。
（2）证明：（1+）（1+）…（1+）＜e （n∈N*，n≥2,其中无理数e=2.71828…）
21、（本题满分14分）
已知函数与函数的图像关于直线对称．
（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；
（2）数列中，，当时，．数列中，，．点在函数的图像上，求的值；
（3）在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在ｙ轴上的截距为，求数列的通项公式．

参考答案：
一、选择题
1、当χ=-1，1，y∈B，所得元素之和为0，放A⊙B所有元素之和为0 选B
2、由题意知2-2b=4+b ∴b=- 选C
3、由an+1=+得a-2anan+1+a=0 ∴an+1= an
即｛an｝为常数列 S10=10a1=50 ∴选A
4、作出f(x)的图象，当0≤x＜时，f(x)=2tan3x,当＜x≤时，f(x)=0，由图象知f(x)为周期函数，最小正周期为，故选A。
5、D 由双曲线定义及点P（m,n）到原点的距离为可得：
e==＞1, ∴0＜λ＜1，故选D。（也可直接用解析法推导）

1
2
3
1
6、作出函数f(x)的图象，要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点，必须a＜1，故选C。
7、四面体有四个顶点，6条棱有6个中点，每个面上6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有C个，点A在三个面内，共有3C；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3个点与这条棱对棱的中点共面，∴符合条件的个数有3C+3=33个，选B。
8、在直三棱柱ABB1=DCC1中，AC1=
将△DCC1展开与矩形ABCD在同一平面内，AP+PC1最小，此时
AP+PC1为，∴周长最小值为5+，故选A。
9、画出函数f(x)=-的图象，则an=表示曲线上动点（xn、f(xn)）与定点（0，2）所在直线的斜率，显然a2＜a3＜0＜a1 故选A
10、D由于y==+1，所以，双曲线y=与双曲线y=的形状与大小完全相同，而等轴双曲线y=的一条对称轴y=x和它的交点为（2，2），（-2，-2），于是实半轴长为2，由对称性知虚半轴长为2，从而焦距为8。
二、填空题
11、Tr+1=(x)n-r(-)r,由题意知：-+=27n=9
∴展开式共有10项，二项式系数最大的项为第五项或第六项，故项的系数最大的项为第五项。
12、当a＞1时，不等式化为10-ax＞a,要使不等式有解，必须10-a＞0
∴1＜a＜10
当0＜a＜1时，不等式化为0＜10-ax＜a10-a＜ax＜10不等式恒有解
故满足条件a的范围是（0，1）∪（1，10）
13、[n(+)]=(+2)=2
14、P=1-=

A
D
B
C
P
O
15、如图，连CO交AB于D点，∵PC⊥面APB，PO⊥底ABC
∴AB⊥面PDC，即AB⊥PD，∵ΔCPD为RtΔ
故由已知得： =+
=+，故M=N

三、解答题
16、解：（1）∵cos3x=4cos3x-3cosx，则=4cos2x-3=2cos2x-1
∴f(x)=2cos2x-1+2sin2x
=2sin(2x+)-1 ……………………4分
在2x+=2kπ+时，f(x)取得最大值2-1
即在x=kπ+(k∈Z)时，f(x)取得最大值2-1 ……………………6分
（2）∵f(x)=2sin(2x+)-1
要使f(x)递减，x满足2kπ+≤2x+≤2kπ+
即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)
又∵cosx≠0，即x≠kπ+(k∈Z) ……………………10分
]
）
于是[kπ+，kπ+ ，（kπ+，kπ+ 均为减区间 …………12分
17、解：
（1）p(ξ个正面向上，4-ξ个背面向上的概率，其中ξ可能取值为0，1，2，3，4。
∴p(ξ=0)= (1-)2(1-a)2=(1-a)2
p(ξ=1)= (1-)(1-a)2+(1-)2·a(1-a)= (1-a)
p(ξ=2)= ()2(1-a)2+(1-)a(1-a)+ (1-)2· a2=(1+2a-2 a2)
p(ξ=3)= ()2a(1-a)+ (1-) a2=
p(ξ=4)= ()2 a2=a2 ……………………………………5分
(2) ∵0＜a＜1,∴p(ξ=1) ＜p(ξ=1),p(ξ=4) ＜p(ξ=3)
则p(ξ=2)- p(ξ=1)= (1+2a-2 a2)- =－≥0
由
，即a∈[] ……………………9分
（3）由（1）知ξ的数学期望为
Eξ=0×（1-a）2+1×(1-a)+2×(1+2a-2a2)+3×+4×=2a+1………………12分
18、解：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG ……………………4分
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知
∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°， …………………8分
故二面角G-EF-D的大小为45°。
（3）Q点为PB的中点，取PC中点M，则QM∥BC，∴QM⊥PC
在等腰Rt△PDC中，DM⊥PC，∴PC⊥面ADMQ ……………………12分

19、解：（1）由已知可得，=（x+3,y）,=(x-3,y),=(,0),
∵2（）2=·，∴2（x2-9）=x2-9+y2,
即P点的轨迹方程（1-2）x2+y2=9（1-2）
当1-2＞0，且≠0，即∈（-1，0）时，有+=1，
∵1-2＞0，∴＞0，∴x2≤9。
∴P点的轨迹是点A1，（-3，0）与点A2（3，0） ………………………………3分
当=0时，方程为x2+y2=9，P的轨迹是点A1（-3，0）与点A2（3，0）
当1-2＜0，即入∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，方程为-=1，P点的轨迹是双曲线。
当1-2=0，即=±1时，方程为y=0，P点的轨迹是射线。……………………6分
（2）过点A1且斜率为1的直线方程为y=x+3,
当=时，曲线方程为+=1，
由（1）知，其轨迹为点A1（-3，0）与A2（3，0）
因直线过A1（-3，0），但不过A2（3，0）。
所以，点B不存在。
所以，在直线x=-9上找不到点C满足条件。 …………………………12分
20、解：（理）（1）f′(x)=－+a=………………………………1分
(i)若a=0时，f′(x)= ＞0x＞0，f′(x)＜0x＜0
∴f(x)在(0,+∞)单调递增，在（-∞，0）单调递减。 …………………………3分
（ii）若时，f′(x)≤0对x∈R恒成立。
∴f(x)在R上单调递减。 ……………………………6分
(iii)若-1＜a＜0，由f′(x)＞0ax2+2x+a＞0＜x＜
由f′(x)＜0可得x＞或x＜
∴f(x)在[，]单调递增
在（-∞，]，[上单调递减。
综上所述：若a≤－1时，f(x)在（－∞，+∞）上单调递减。………………………………7分
（2）由（1）当a=－1时，f(x)在（-∞，+∞）上单调递减。
当x∈（0，+∞）时f(x)＜f(0)
∴ln（1+x2）－x＜0 即ln（1+x2）＜x
∴ln[（1+）（1+）……(1+)]
=ln[（1+）（1+）+…ln（1+）＜++…+
＜=1-+-+…+=1-＜1
∴（1+）（1+）……(1+)＜e …………………………………………13分
21、解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以，
， …………………………2分
（2）因为点在函数的图像上，所以， (*)
在上式中令可得：，又因为：，，代入可解得：．所以，，(*)式可化为： ①……6分
（3）直线的方程为：，，
在其中令，得，又因为在ｙ轴上的截距为，所以，
=，结合①式可得： ②
由①可知：当自然数时，，，
两式作差得：．
结合②式得： ③
在③中，令，结合，可解得：，
又因为：当时，，所以，舍去，得．
同上，在③中，依次令，可解得：，．
猜想：．下用数学归纳法证明． …………………………10分
（1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．
（2）假设时命题成立，即，则由③式可得：
把代入上式并解方程得：
由于，所以，，所以，
符合题意，应舍去，故只有．
所以，时命题也成立．
综上可知：数列的通项公式为 …………………………14分

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理科数学 第 9 页 共 9 页