高中数学必修5综合测试(人教A版)1.doc

必修5　综合测试
时间：120分钟　　分值：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案

一、选择题(每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，a＝2，b＝1，则c等于(　　)
A. B.
C. D．1
解析：c＝＝.
答案：B
2．下列结论正确的是(　　)
A．若ac>bc，则a>b
B．若a8>b8，则a>b
C．若a>b，c<0，则ac<bc
D．若<，则a>b
解析：A中，若c<0，则a<b，所以A不正确；
B中，(－1)8＝1>08＝0，但是－1<0，所以B不正确；
D中，有a<b，所以D不正确．很明显C是不等式的性质，则C正确．
答案：C
3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：由题意，得解得d＝.
答案：D
4．已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，则角B的度数等于(　　)
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
解析：由正弦定理，得＝，所以sinB＝sinA＝sin30°＝.
又a<b，则A<B.所以B＝60°或120°.
答案：D
5．在△ABC中，若sinC＝2cosA·sinB，则此三角形必为(　　)
A．等腰三角形 B．正三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：方法1：sinC＝2cosAsinB⇒sin(A＋B)＝2cosAsinB⇒sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB
⇒sinAcosB－cosAsinB＝0⇒sin(A－B)＝0⇒A＝B.
方法2：∵sinC＝2cosAsinB，
∴c＝2·b.
∴a＝b，即△ABC为等腰三角形．
答案：A
6．在锐角三角形中，下列正确的是(　　)
A．sinA>cosB B．sinA<cosB
C．sinA＝cosB D．以上都有可能
解析：在锐角三角形中，有A＋B＝π－C>，故A>－B，sinA>sin(－B)＝cosB，故A正确．
答案：A
7．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
解析：根据定义x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－2<x<1，
所以所求的实数x的取值范围为(－2,1)．
答案：B
8．设{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4<S5 B．S4＝S5 C．S6<S5 D．S6＝S5
解析：设公差为d，则
解得d＝2，a1＝－8，则a3＝－4，a4＝－2，a5＝0，a6＝2，则S4＝S5.
答案：B
9．设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2 B.
C．1 D.
解析：x＝loga3，y＝logb3，则＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3()2＝1，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以＋的最大值为1.
答案：C
10．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，6) B．(－∞，6]
C．[6，＋∞) D．(6，＋∞)
解析：由题意得，当x>0时，mx<x2＋9，即m<x＋恒成立．
设函数f(x)＝x＋(x>0)，则有x＋≥2＝6，
当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立．则实数m的取值范围是m<6.
答案：A
11．已知a、b、c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则(　　)
A．T>0 B．T<0
C．T＝0 D．以上都有可能
解析：由a＋b＋c＝0，abc>0得a、b、c中必有一正二负．不妨设a>0，b<0，c<0，
则T＝＋＋＝＝＝.
∵abc>0，ab<0，c2>0，
∴ab－c2<0.∴T<0.
答案：B
12．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)
A. B.
C. D．4
解析：

图1
不等式表示的平面区域如图1所示阴影部分，当直线y＝－x＋过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点A(4,6)时，目标函数z＝ax＋by取得最大值12，则4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以＝1，所以＋＝(＋)×＝＋(＋)≥＋2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知a∈R＋，且a≠1，又M＝，N＝，P＝，则M，N，P的大小关系是__________．
解析：利用基本不等式求解．
答案：M>N>P
14．在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋＝________.
解析：＋＋＋＝＋＝＝＝－(∵a1a4＝a2a3)．
答案：－
15．建筑物CD的高为h，在顶部C测得地面上两点A、B的俯角分别为60°、30°，又测得∠ADB＝60°，则AB的长为________．
解析：

图2
如图2所示，由条件知，∠CAD＝60°，∠CBD＝30°，∠ADB＝60°，
∴AD＝h，BD＝h.
在△ABD中，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos60°，
将AD＝h，BD＝h，代入得AB＝h.
答案：h
16．给出下列四个命题：
①若a>b>0，则>；②若a>b>0，则a－>b－；③若a>b>0，则>；④若a>0，b>0，且2a＋b＝1，则＋的最小值为9.
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
解析：①中a>b>0，－＝<0，所以①不正确；
②中，(a－)－(b－)＝a－b＋－＝a－b＋＝(a－b)(1＋)>0，所以②正确；
③中，－＝＝，
由于b－a<0，b＋a>0，(a＋2b)b>0，所以<，所以③不正确；
④中，＋＝＋＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，所以④正确．
答案：②④
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(本小题10分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且＝.
(1)求AC；
(2)求角A.
解：(1)由正弦定理，得＝，
∴＝＝.∴AC＝＝5.
(2)由余弦定理，得cosA＝＝＝－.
又0°<A<180°，∴A＝120°.
18．(本小题12分)在等比数列{an}中，a1·a2·a3＝27，a2＋a4＝30.
求：(1)首项a1和公比q；
(2)前6项的和S6.
解：(1)在等比数列中，由已知得解得或
(2)当时，S6＝＝364；
当时，S6＝＝182.
∴S6的值为364或182.
19．(本小题12分)在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sinA＋sinC＝sinB，求角A、B、C的度数．
解：∵cosB＝＝＝，又0°<B<180°，∴B＝60°.
∴A＋C＝120°.∴sinA＋sinC＝，即sinA＋sin(120°－A)＝，
∴sinA＋cosA＝，即sin(A＋30°)＝.
∵0°<A<120°，∴30°<A＋30°<150°.
∴A＋30°＝60°或120°.
∴A＝30°或90°；当A＝30°时，C＝90°.
当A＝90°时，C＝30°.
综上，A＝30°，B＝60°，C＝90°
或A＝90°，B＝60°，C＝30°.
20．(本小题12分)某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．
(1)求底面积并用含x的表达式表示池壁面积S；
(2)怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？
解：(1)设水池的底面积为S1，池壁面积为S，则有S1＝＝1600(平方米)，
则池底长方形宽为米，所以S＝6x＋6×＝6(x＋)(x>0)．
(2)设总造价为y，则y＝150×1600＋120×6(x＋)
≥240000＋57600＝297600，
当且仅当x＝，即x＝40时取等号，即x＝40时，总造价最低为297600元．
21．(本小题12分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨．每吨甲种棉纱的利润是600元，每吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大？
解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么
z＝600x＋900y.

图3
作出以上不等式组所表示的平面区域(如右图3)，即可行域．
作直线l：600x＋900y＝0，即直线l：2x＋3y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋900y取最大值．
解方程组
得M的坐标为x＝≈117，y＝≈67.
答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大．
22．(本小题12分)设数列{an}的前n项和为Sn，若{Sn}是首项为S1，各项均为正数且公比为q的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an(用S1和q表示)；
(2)试比较an＋an＋2与2an＋1的大小，并证明你的结论．
解：(1)∵{Sn}是各项均为正数的等比数列，
∴Sn＝S1qn－1(q>0)．
当n＝1时，a1＝S1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝S1(q－1)qn－2.
∴an＝
(2)当n＝1时，∵a1＋a3－2a2＝S1＋S1(q－1)q－2S1(q－1)＝S1[(q－)2＋]>0，∴a1＋a3>2a2.
当n≥2时，an＋an＋2－2an＋1
＝S1(q－1)qn－2＋S1(q－1)qn－2S1(q－1)qn－1＝S1(q－1)3qn－2.
∵S1>0，qn－2>0，
①当q＝1时，(q－1)3＝0，∴an＋an＋2＝2an＋1；
②当0<q<1时，(q－1)3<0，∴an＋an＋2<2an＋1；
③当q>1时，(q－1)3>0，∴an＋an＋2>2an＋1.
综上，我们可知当n＝1时，a1＋a3>2a2.
当n≥2时，若q＝1，则an＋an＋2＝2an＋1；若0<q<1，则an＋an＋2<2an＋1；若q>1，则an＋an＋2>2an＋1.

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