人口结构与经济发展论文8.doc

人口结构与经济发展的预测
摘要
本文根据中国经济发展和人口老龄化的特点，基于新古典经济增长理论和我国人口情况针对经济发展和人口结构问题分别建立了柯布-道格拉斯经济增长模型、人口预测模型、灰色预测模型、就业——经济增长模型，对影响经济发展因素和延迟退休年龄对经济发展的影响做出了定量分析，并且预测了不同人口政策下未来三十年中国的人口结构。
对于问题一，根据新古典经济增长理论建立柯布-道格拉斯生产函数。将影响经济发展的因素概括为：物质资本、劳动力、人力资本、技术因素。用2001-2010年间的经济数据进行多元线性回归、主成分回归、最小二乘法回归最终确定柯布-道格拉斯生产函数，定量分析后得出劳动力是影响经济发展的主要因素，且劳动力数量每增大1%，增长4.8%。然后根据人口结构变化对劳动力的影响从而阐明人口结构对经济发展的影响。
对于问题二，首先基于灰色预测模型，得到未来三十年的总人口接近线性的变化情况。结合BP神经网络模型，得到未来三十年的各年龄段人口比例、城乡人口比例、男女比例等人口结构数据。然后运用预测模型，结合2005年各年龄段人口数量，生育率，死亡率，预测了未来三十年的总人口及各年龄段人口。比较分析，发现模型在总人口，年龄结构预测上更有优越性。
问题三中，考虑到放宽一胎化生育政策后生育率的增加，在第二问的基础上分别计算我国人口出生率上升至人类正常繁衍出生率2.1%和当今世界平均生育率2.6%情况下，对未来三十年内中国人口结构情况（包括各年龄段人口比例、城乡人口比例、男女比例）进行了预测。
年份
总人口（亿）
城市人口比例
男女比例
老年人口比例
2010年
13.409
49.1%
106:100
10.6%
2040年
15.499
77.7%
105.3:100
23.7%

对于问题四，根据就业弹性系数的定义得到延迟退休年龄与变化量的量化关系模型。根据实际数据定量分析了随着延迟的退休年限的变化，的增长率的变化及的变化的加速度。通过分析得到了延迟的退休年限在0-5年之间，延迟的退休年限的最佳值为5年。

关键字：柯布-道格拉斯生产函数 人口结构预测 生育政策 就业弹性系数 劳动参与率

目录
人口结构与经济发展的预测 1
摘要 1
1.问题重述 3
2.模型假设 3
3.符号说明 4
4.问题分析 4
5.模型建立与求解 5
5.1. 问题一 5
5.2. 问题二 9
5.3. 问题三 16
5.4. 问题四 20
5.5. 问题五 23
6. 模型分析与改进方向 23
7. 参考文献 24
8. 附录 24
8.1. 柯布——道格拉斯生产函数变量数据 24
8.2. GM（1,1）模型和BP神经网络模型进行人口结构预测 25
8.3. 莱斯利模型进行预测 26
8.4. BP神经网络的编程 27
8.5. 主成分回归分析程序 27
8.6. 输出结果 29
8.7. 各年龄人口的劳动参与率 29

1.问题重述
自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”，目前中国已成为全球第二大经济体，经济发展成就举世瞩目。
根据国家统计局《中国2010年人口普查资料》，2010年中国妇女总和生育率为1.181，大大低于国际公认维持人口正常更替需要的总和生育率2.1水平。为此，2012年7月5日，15人联名向全国人大法工委和全国人大教科文卫委上书呼吁松绑二胎政策，要求在尊重公民生育权的前提下，让公民自由负责地生育。他们呼吁的另一理由是，老龄化程度加深，劳动力总量将下降，迫使计划生育政策必须调整。
而根据全国人口普查数据，我国是全球唯一的老年人口过亿的国家，2010年我国60岁以上老年人已经达到1.78亿，占全球老年人口的23.6%。日前，人力资源和社会保障部透露，他们将适时地提出“弹性延迟领取基本养老金年龄”的政策建议。消息一传出之后，引发了社会各界的广泛关注和热议。
根据题意，本文要解决的问题有：
(1) 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。
(2) 就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(3) 如果实行放宽一胎化生育政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(4) 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。
(5) 基于背景中所出现的解决策略和所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。

2.模型假设
1一段时期内，假设各年龄段的劳动参与率基本稳定不变。
2.一段时间内，假设就业弹性系数基本稳定不变。
3.不考虑严重自然灾害、疫病、战乱等造成人口短时间内大量减少。
4.我国移民政策保持不变，不会出现大量的人口迁入迁出情况。
5.一段时间内，各年龄段的妇女生育率基本稳定不变。
6.新生儿性别比在一段时间内稳定不变。
7.经济增长用国内生产总值来衡量。
8.现今政策下统一退休年龄为60岁。

3.符号说明
符号
说明

柯布-道格拉斯函数中的经济产出，用（亿元）表示

劳动参与率

延迟的退休年龄年限

就业弹性系数

第年的总人口数

第个年龄段的出生率

第个年龄段的死亡率
4.问题分析
问题一要求定量的分析经济发展的主要因素，并阐明人口结构对经济发展的影响。首先认为经济发展是由（国民生产总值）衡量。由新古典经济增长理论，得到柯布——道格拉斯生产函数，该函数描述了与物质资本（）、劳动力（）、人力资本（）、技术因素()的函数关系。将该函数线性化得到
根据《中国统计年鉴》的数据，分别用多元线性回归、主成分回归和Eviews最小二乘法回归的方法，拟合出函数。再考虑劳动力因素与人口总量、劳动人口比例、劳动参与率具有以下关系式：L=μXL,进而阐明人口结构对经济发展的影响。
问题二要求就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。首先建立GM（1,1）灰色预测模型预测出未来三十年的人口数据，然后利用神经网络模型建立11-30-7的训练网络，进行数据预测，得到了未来三十年的年龄结构、城乡结构、性别结构的变化数据，并进行分析。接下来，利用模型，将总人口分为20个年龄段。根据2005年的生育率、死亡率数据，构建矩阵，预测未来三十年的总人口及各年龄段人口。最后，将两种预测方法进行比较。
问题三放宽一胎化政策直接影响到生育率的变化，在问题二的模型的基础上变化出生率得到不同的未来三十年的人口结构。考虑到放宽一胎化政策间接影响到死亡率的变化，因此要综合考虑死亡率变化。同时还要着重分析人口生育率上升至世界平均水平和人口正常更替水平后未来30年人口结构情况。
问题四要求定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。首先根据就业弹性系数的定义得到刻画延迟退休年龄与GDP变化量的关系式。根据实际数据定量分析随着延迟的退休年限的变化，GDP的增长率的变化及GDP的变化的加速度。通过分析得到最佳的退休年龄。
问题五可通过查阅关于中国人口结构和经济可持续发展的数据、文章，提出了合理可行的建议。

5.模型建立与求解
5.1. 问题一
5.1.1. 柯布-道格拉斯经济增长模型的建立
关于影响经济增长因素，学者们进行了很多研究。综合归纳一下，经济学家们对于经济增长的常规因素如下：物质资本投入、劳动投入、人力资本投入、知识资本投入、产业结构、人口增长、能源、居民消费、投资与资本积累、开放与国际化、制度因素等。
而经济增长的源泉最终归结为：劳动力、资本、技术三个因素。随着现代经济学的发展，经济学家们又加入了另一重要因素：人力资本。按照新古典经济增长理论，美国数学家柯布和经济学家道格拉斯提出了柯布——道格拉斯生产函数。
假设中国经济增长符合柯布——道格拉斯生产函数的特性，经济产出用（亿元）来衡量，经济投入主要有四个因素：物质资本、劳动力、人力资本、技术进步。我们用：全社会固定资产投资总额(亿元)来衡量物质资本；用:总就业人数(万人)来衡量劳动力；用：国家财政性育经费(亿元)来衡量人力资本；用经费(亿元)技术进步。各变量的有关数据见附录【1】，数据来源于《中国统计年鉴》(2001-2011)。这里要说明的是：出于数据不可获得性，我们采用国家财政性教育经费指标衡量人力资本。
我们设产出与物质资本、劳动力、人力资本、技术因素的模型为：

其中，分别表示物质资本、劳动、人力资本、技术进步的弹性系数，为随机扰动因素项且为了使附录【1】中数据对间的线性性更强，数据波动具有某种齐次性质，所建立的模型自变量的取值范围较小，同时降低异方差性的影响，我们将模型线性化，然后再进行估计。线性化后的模型：

5.1.2. 柯布-道格拉斯经济增长模型的求解
为了确定未知参数，我们用2001-2010年间的经济数据进行回归拟合。附录表【1】给出了2001-2010年 （亿元）、：全社会固定资产投资总额(亿元)、总就业人数(万人)、经费(亿元) 四组数据。

5.1.2.1. 多元线性回归分析
调用多元线性回归函数

得到函数关系式为：

5.1.2.2. 主成分回归分析
运用主成分回归分析程序包得到函数的关系式为：

运行程序见附录8.5.
5.1.2.3. 最小二乘法回归分析
在环境下，易得普通最小二乘法回归分析，运算结果见附录图【1】，得到函数的关系式为：

5.1.2.4. 三种回归分析方法的分析比较
比较三种回归分析得到的函数，最小二乘法回归得到的函数与多元线性回归得到的函数基本相同，因此在这里只比较多元线性回归和主成分回归得到的两个生产函数。将两个生产函数用2001-2010年数据进行对国内生产总值 (也就是值)进行检验。与实际比较得到结果如下表：

表【1】 两种函数的残差分析
残差
极大值
极小值
均值
标准差
标准差
主成分残差
64306.24
8055.76
26703.91
27.3
16509.16
多元线性残差
29410.31
3433.91
10323.28
7.29
8536.91

图【1】 两种函数的残差分析图

由方差标准差分析，以及残差分析图可知，多元线性回归得出的生产函数要优于主成分回归分析得出的生产函数。因此最终确定生产函数为：

5.1.2.5. 劳动力的确定
劳动力指的是指具有劳动能力的人口，我国规定男子16-60岁期间、女子16-55岁期间的人口为劳动适龄人口。因此从人口结构的角度，我们将人口分为0-15岁的儿童、15-60岁的青壮年，大于60岁的老年人三个部分。在下面的计算中我们假设劳动参与率是不变的。所以：

其中表示总人口数，表示15-60岁青壮年占总人口比例。
因此生产函数转化为：

即：
5.1.3. 人口结构对经济发展的影响
从前面求解得到生产函数关系式:，下面衡量各个变量对生产总值的影响。定义影响比指数：当其他变量不变时，某一变量变化1%，生产总值变化的百分比

分别考察各自变量变化1%时，的变化量。
表【2】 各个变量对影响比指数的影响
变量
K
L
H
T
X

P
0.07
4.8
0.19
0.28
4.8
4.8
4.8
从表【2】结果分析，劳动力的影响比最大，其他三个变量（物质资本、人力资本、技术进步）影响比较小。劳动力因素变化1%时，国内生产总值变化4.8%，而劳动力取决于人口总数、适龄劳动人口比例、劳动参与率。响应的这三个量变化1%时，国内生产总值变化4.8%。
以年龄划分人口的时候，大致上有三个模型：
一种是成长型。即出生率大大超过死亡率，人口中的青少年比例非常大。这种类型的的社会人口将会在较短的时间内快速地增加，因而根本就不用担心劳动力的问题。劳动人口增加，促进GDP增长。
第二种是稳固型，即人口的出生率与死亡大抵相当。青壮年占社会人口的中等偏上,对GDP增长有促进作用。这种类型的社会中人口的数量较为稳定。
第三种是衰老型，即人口的出生率略低于或等于死亡率，老年人在人口中所占比例较大，并且会越来越大。这种类型的社会人口趋于老化和减少，不利于GDP增长。
由前面分析可知，劳动人口增加1%，国内生产总值增加4.8%。也即意味着15-60岁人口比例每增加1%，国内生产总值增加4.8%。由《中国统计年鉴》（2011）可知，我国人口的老年系数在1990年第四次人口普查时为5.57%，2000年第五次人口普查时为7.10%，2010年第六次人口普查时为8.87%。在其他条件保持不变的情况下，老年系数的增加就意味着劳动人口的减少。假设2010年老年系数保持在1990年水平（即5.57%），那么国内生产总值可增加个百分点。
当前人口生育政策下的中国人口变化率曲线

图【2】 今年中国人口变化率曲线

5.2. 问题二

中国人口结构是一个非常复杂的非线性系统，包括对总人口，男女比例，城镇乡村比例，各个年龄段所占比例等多个问题。由于需要预测的时间长，项目多，直接应用某种单一的模型很难取得理想的效果并且会有较大误差，因此本文采用模型，神经网络模型与人口预测模型共同预测未来三十年的中国人口结构变化趋势。首先用模型较精确预测出未来中国总人口的发展趋势，为建立神经网络模型提供更多数据。接下来用人口预测模型预测出未来三十年内中国各年龄段人口的变化趋势。
5.2.1. 模型一 模型
考虑到国内总人口的变化是不确定的，且要做出长达三十年的预测，因此采用灰色预测理论来预测未来总人口的变化。
灰色预测理论就是根据系统的普遍发展规律，建立一般的灰微分方程，然后通过对数据序列的拟合，求的微分方程的系数，从而获得灰色预测模型，即模型方程。
利用灰色预测理论建立模型，记2001年为第一年，第年的总人口数为,
其中()，对十个历史数据进行模拟并对未来的总人口数进行预测，利用该数据列建立预测模型的步骤如下：
Step1:作一阶累加，行程数据序列

则相应的灰微分方程：

此方程即为的数值模型，式中为待定系数，其中为发展灰数，为内生控制灰数。
Step2:求参数和
由导数的定义，令=1，可对微分方程进行离散化，得到关于和的超定方程组：

利用最小二乘法求超定方程得：

其中：= =

Step3:建立生成数据序列模型
将上面求得的参数带入上述的灰微分方程，求解微分方程得到的灰色预测模型为：
，

Step4: 建立原始数据序列模型，即由累减生成原始数据序列的模拟序列值：=
，
这里是原始总人口数据序列的拟合值，是原始总人口数据序列的预测值。
根据上述的方法用软件求得参数：，再把参数代回微分方程得到总人口数量的模型为：
，

根据的出来的模型可得图【3】、表【3】。

图【3】 模型对总人口的预测

表【3】 近十年及未来三十年总人口数
年份
2001
2002
2003
2004
2005
总人口（万人）
127627
128453
129227
129988
130756
年份
2006
2007
2008
2009
2010
总人口（万人）
131448
132129
132802
133450
134091
年份
2011
2012
2013
2014
2015
总人口（万人）
134922.6
135646.9
136375.1
137107.3
137843.3

年份

2016

2017

2018

2019

2020
总人口（万人）
138583.3
139327.3
140075.2
140827.2
141583.2
年份
2021
2022
2023
2024
2025
总人口（万人）
142343.3
143107.5
143875.7
144648.1
145424.6
年份
2026
2027
2028
2029
2030
总人口（万人）
146205.3
146990.2
147779.3
148572.6
149370.2
年份
2031
2032
2033
2034
2035
总人口（万人）
150172.1
150978.3
151788.8
152603.6
153422.9
年份
2036
2037
2038
2039
2040
总人口（万人）
154246.5
155074.6
155907.1
156744.0
157585.5

对预测的数据进行检验得到表【4】
表【4】 误差检验表
平均相对误差
关联度
均方差比值
小误差概率
0.00047
0.6186
0.0191
1

表【5】常用精度等级表
等级
平均相对误差
关联度
均方差比值
小误差概率
一级
0.01
0.90
0.35
0.95
二级
0.05
0.80
0.5
0.80
三级
0.10
0.70
0.65
0.70
四级
0.20
0.60
0.80
0.60

把误差检验表跟常用的精度等级表对比可知，，该模型的拟合精度较高，可以用来预测。
5.2.2. 模型二 神经网络模型
全国总人口按年龄，性别，市乡大致可分为年轻型、成年型、老年型，男、女，城市、乡村三类结构七个指标，可以分别针对各类指标在未来三十年内的变化进行预测。得到未来全国人口结构不同指标的变化，从而可以全面显示未来三十年国内人口结构变化趋势。
针对第类指标进行分析，首先选择输入数据，不同类别的数据必然同总人口数有关，而未来三十年的总人口数已经由模型预测得到。因此输入数据可以用待测当年前十年的数据。从而建立了十一个输入变量一个输出变量的三层神经网络，本文中选择的网络拓扑结构图，如图【4】

图【4】神经网络拓扑结构图

下面进行网络预测，需要构建初始化网络，输入层网络激发函数选取对数S型传递函数，输出层选择线性函数，调用 神经网络工具箱函数：

即可建立一个11——30——1网络结构的网络,运行程序见附录8.4.
由附件中的数据可以得到样本，利用的算法训练函数，预测的算法流程如下：
Step1：对初始数据进行标准化。
Step2：利用原始数据对网络进行训练。
Step3：对未来第年第个指标进行预测。
Step4：利用第年预测得到的数据作为样本再对网络进行训练。
Step5：然后令，回到Step2，直到。
依次对三类结构的七个指标重复进行三十次预测，可以得到未来三十年我国人口结构，如附录表【2】

图【5】 神经网络模型对各年龄段人口预测

由图【5】可知，在现行生育政策下老年人口数量会愈来愈多，而少年人口会逐渐减少，老龄化加剧。这是基于计划生育政策，以及人们的生育观念转变。

图【6】 神经网络模型对城、乡人口预测

由图【6】可知，随着城市化的加剧，城镇人口不断增加，乡村人口在不断减少，速度越来越慢。在2040年之后，城镇人口仍会快速增长。要在控制城镇化人口数量的同时，注重加大城市设施的建设。

图【7】 神经网络模型对男性、女性人口预测

由图【7】可以得到全国男性人数会持续多于女性人数，就2040年数据分析男性人口为81574.48万人，女性人口为77484.84万人（即男女比例为105.28:100），这样男性比女性多4089.64万人，会带来严重的社会问题，因此应该控制出生人口性别比例。
5.2.3. 人口模型
现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑总人口的发展变化。如果仅把所有人分成轻年人、成年人、老年人，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。20世纪40年代提出的人口模型，就是一个预测人口按年龄变化的离散模型。
模型假设：
（1） 将时间离散化，假设人的最大年龄为100岁，将其等间隔划分成20个年龄段，每隔5年观察依次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化；
（2） 记为第个年龄组次观察的总人数，记

第年龄组生育率为，女性比例为，出生率为，死亡率为，记存活率，假设不随时间变化。
（3） 不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响；
（4） 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。
5.2.3.1. 建立模型与求解
根据以上假设，可得到方程：
=

写成矩阵形式为：

其中
记

假设和矩阵已经由统计资料给出，则

表【6】 不同年份各年龄段人数
年龄段
2010年
2015年
2020年
2025年
2030年
2035年
2040年
0-14
24519.1
26699.7
30711.4
31155.9
29193.1
27195.1
27487.9
14-64
102588.2
104534.6
103544.2
102834.9
103748.3
103113.6
100399.6
64-100
9635.4
11572.7
14250.1
18141.5
20421.2
23788.3
27102.7

5.2.4. 三种模型间的对比

比较分析三种模型得到图【8】：

图【8】 三种模型的比较
5.3. 问题三
放宽一胎化生育政策，会直接影响生育率，间接影响到死亡率。要研究放宽一胎化生育政策对我国未来三十年的人口结构变化的影响实际就是研究未来人口结构对生育率的灵敏度。现假设生育率有三种调整方案：调整到人类正常更替生育率、调整到两倍的生育率、调整到世界平均生育率，观察各种生育率情况下我国未来人口结构变化情况。
5.3.1. 生育率变化

图【9】 世界平均生育率与中国生育率的对比

通过查找数据可知世界平均生育率、中国生育率、人口正常更替生育率【1】，其随时间的变化趋势如图【9】所示。由图可知世界平均生育率呈逐渐下降的趋势，而中国生育率先增长再下降，并且在1990年时达到峰值。
假设人的最大生存年龄为100岁，按5年一个年龄段，可分为20个年龄段。现列出四种不同生育情况在2040年各年龄段人口的分布情况如图【10】。

图【10】 四种不同生育情况在2040年各年龄段人口分布

由图【10】看出除了现有生育政策，其余生育政策第一个年龄段的人口数远远高于其他年龄段，这是由于改变生育政策，尤其强制二胎政策后，第一个年龄段的人数激增从而导致第一个年龄段的人口数远远高于其他年龄段。这只是改变生育率后的短期数据，为了讨论总人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：
(i)
(ii)，且不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件（i）、（ii）下，下面的结果是成立的：
定理1
矩阵有唯一的单重的正的特征根，且对应的一个特征向量为

定理2
若是矩阵的任意一个特征根，则必有。
定理3
若第一行中至少有两个顺次的，则
（i）若是矩阵 的任意一个特征根，则必有。
（ii）=，
其中是与有关的常数。
定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当充分大时，有

定理4
记，，则是的非零特征根的充分必要条件
为
所以当时间充分大时，总人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态。
可得到如下结论：
(i) 当时，人口数最终是递增的；
(ii) 当时，人口数最终是递减的；
(iii) 当时，人口数是稳定的。
如果，则有

记

称为净增长率，它的实际含义是每个人后代人数的平均数。当时，人口递增；当时，人口递减。
通过图【11】可以看到，刚开始改变生育政策，各个年龄段的人口会发生突变，尤其第一个年龄段激增，但随着时间的推移，各个年龄段的人口数逐渐趋于平稳，呈现金字塔型结构（如2300年人口图所示）。

图【11】 未来各年龄段的人口数

表【7】 在不同生育情况下的人口净增长率
生育情况
现有生育政策
人口正常更替
“强制二胎”
世界平均水平
(净增长率)
1.0572
1.7866
2.1143
2.2729

5.3.2. 死亡率变化
在5.3.1.中我们只考虑了生育率对未来人口的影响，而生育政策的改变，同样会影响死亡率，从而对未来人口数进行影响。下面研究未来人口结构对死亡率调整的灵敏度，方法如5.3.1.。结果如图【12】所示。

图【12】四种不同死亡率情况在2040年各年龄段人口分布

由图【12】可以看出，各个年龄段的人口数与死亡率呈现反相关的关系，并且死亡率的变化对老年人的影响最大。
5.3.3. 总人口对生育率、死亡率的灵敏度分析
下面对比不同生育率与不同死亡率对总人口数的影响情况，如图【13】，可以看出总人口数与生育率呈现正相关，而与死亡率呈现负相关。

图【13】 总人口对生育率、死亡率灵敏度

对图【13】，绿线表示模型得出的未来三十年不同年龄段人口，红线表示BP神经网络模型得到的未来三十年不同年龄段人口。可知BP神经网络预测的数据误差很大，不适合预测。

5.4. 问题四
由柯布-道格拉斯函数：知，影响经济的主要因素是：物质资本、劳动力、人力资本、技术进步。同时利用劳动经济学中有关经济增长与就业的关系，我们可以导出经济发展与就业之间的模型。而延迟退休年龄产生的影响的主要就是劳动力和就业。因此可以得出延迟退休年龄与经济（此处量化为国内生产总值）之间的量化关系模型。
在经济理论中，就业弹性系数是研究经济发展与就业增长数量关系的函数，它反映的是劳动力就业的增长率与经济增长率之间的比率，即为:

即 GDP 每增长 1 个百分点可以带动的就业增长的百分点。上式也可以表示为:

从上式我们不难看出，在就业弹性系数一定的情况下，GDP 的增长率与从业人数的增长率成正相关，即经济发展促进就业增长，带动就业率的提升。

从业人数增长率为从业人数增加量与原从业人数的比值，若用 L 表示参加就业的劳动
力，则为从业人数的增加量，从而可以将从业人数增长率简单表示为:

现在考虑延迟就业的情况，延迟退休年龄最直接的影响就是会增加劳动力数量，所以，研究延迟退休年龄对经济的影响，即对劳动力数量的影响，就是要评估因延迟退休年龄而产生的那部分从业劳动力增量对就业的影响程度。我们将上式进一步限定于延迟退休年龄条件下的从业劳动力与经济发展之间的关系:

为因延迟退休年龄而产生的从业劳动力增量，等于推迟退休年龄后的实际从业人数减去推迟退休年龄前的实际从业人数( 即基期 ) 。这样就将问题集中在如何表示上。
因此，我们可以根据人口统计数据和劳动参与率来粗略估计某一时期从业劳动力的总量。所以，我们假设，现存的岁劳动者总量为，其相应的劳动力参与率为，即为 岁劳动者的总从业人数。以此类推，便可得到各个不同年龄的从业劳动力总量为。进一步考虑延迟退休年龄前后的从业劳动力，只需将参加工作的年限加以限定。 岁劳动者若 岁开始参加工作至 岁退休则总的从业劳动力数量为: ，当退休年龄 发生变化，如延迟 岁至 岁时() ，从业劳动力总量将由变为。 的关系式可为:

于是我们便可得到延迟退休年龄与就业之间的量化关系模型：

式中 ：劳动者的年龄
：劳动者的就业年龄
：现行法定退休年龄
：延迟退休的年数
：岁人口的平均劳动参与率
：岁劳动者总量
推迟退休年龄主要有两方面影响：一方面，延迟退休年龄可增加劳动力数量且延迟退休的年限 m 长短与市场上劳动力增加量成正比。延迟退休的年限 m 越大，市场上劳动力的可供给总量的增量就越大。另一方面，延迟退休年龄会对当前就业市场带来压力。过度延迟退休年限，会造成就业压力过大，影响社会稳定。
下面定量分析延迟退休年龄对经济的影响。我们考虑对于某一年，延迟退休年龄和未推迟退休年龄两种情况下的变化情况。先确定如下假设条件：
（1）就业弹性系数基本稳定。根据国家计委的统计数据，我国的就业弹性系数基本在0.2-0.3的范围内。为简化计算我们取就业弹性系数为0.3。实际上随着资本要素投入比重的增加和劳动生产率的提高，就业弹性系数将呈下降趋势。但随着经济规模的扩张，就业总量会同时增加。
（2）劳动参与率基本稳定。劳动参与率取国家统计局2006年年鉴中给出的不同年龄阶段的劳动参与率。

以增长率为因变量，延迟退休年限值为自变量，就业弹性系数取0.3；各年龄阶段人口数和劳动参与率取2005年数据。得到： 增长率随延迟退休年限的变化图

图【14】 增长率随延迟退休年限的变化

可看随着延迟退休的年限的增加，GDP增长率也在增加，这是因为延迟退休的年限值越大，增加的劳动力就越多，那么的增长率就越高。为了进一步衡量延迟退休年限对经济增长的影响，我们应考虑增长率曲线的斜率随延迟的退休年限的变化情况：
可以看出随着值的增大，增长率曲线的斜率却在减小，表明随着值的增大，增长率增大的速度在放慢。由上图曲线可知， 时，对增长率作用效果是显著地，时，对增长率的作用效果不显著。
因此得出结论：延迟的退休年限最长不超过5年，也即不超过65岁。从的增长率加速度图得的最优值为5。

5.5. 问题五
根据中国人口结构现状、人口政策和经济发展水平，为了实现经济可持续发展和中华民族的伟大复兴，我们提出以下建议：
一 由于我国人口规模过大，并且又进入老龄化阶段，因此不适合机械效法国外老龄化国家的做法，即鼓励生育。应当看到我国人口老龄化的地区差异，因此可以鼓励人口向老龄化地区的适当迁移，以此来减少由老龄化所造成的经济社会发展问题。

二 大力发展社会保障事业，应对老龄化社会的到来。从当前数据对未来预测来看，我国人口未来几年出现人口老龄化是必然发展趋势。应当积极地应对这一趋势。
第一，健全社会保障体系，解决老年人口各种福利和服务的问题。
第二，发展医疗卫生事业，提高老龄人口的健康水平。
第三，在相关政策上适应人口老龄化的趋势，进行调整。如适当的延长工龄，使劳动年龄的上限随着社会生产力的发展和人口预期寿命的延长而相应地提高，从而保持劳动年龄人口比较高的比重，这是经济社会可持续发展的必然要求。
三 是大幅度增加对教育与科技的投资，积极开发人力资源，以保证国民经济稳定持续发展。在现在乃至未来经济发展中，大力开发人力资源，培养一批高素质的劳动者将会极大提高本地区生产力发展水平，带动经济的快速发展的。这就要求必须重视人力资本的作用，明确“西部大开发人才是关键，基础在教育”的指导思想，加大力度，大力发展人才教育事业，通过行政和市场两种渠道提高人口文化教育素质，增强人力资本积聚蓄势。
四 以小步渐进的方式逐步缩小男女退休年龄差距，并以柔性延迟退休年龄的方式延迟退休年龄.
6. 模型分析与改进方向
优点：
1.在第一问定量分析经济发展的影响因素中，本文选用了新古典经济增长理论的柯布——道格拉斯方程，根据现有的10年的数据选用了Eviews最小二乘法回归、MATLAB多元线性回归和主成分回归确定函数参数，排除了单一一种方法容易造成误差过大的可能。同时根据柯布——道格拉斯生产函数定量分析出了四种因素对经济增长的影响。
2.在不同人口政策条件下预测未来30年中国人口结构时，本文选用了灰色预测模型和BP神经网络模型相结合以及Leslie人口预测模型两种方法进行人口预测，进一步增加了预测结果的准确性。同时对不同人口结构（年龄结构、城乡人口结构和男女性别结构）情况进行了分析比较，使得结果更加全面具体。
3.定量评估延迟退休年龄对经济发展的影响时，利用劳动经济学中有关经济增长与就业的关系，导出经济发展与就业之间的模型，最终得出延迟退休年龄与经济之间的量化关系模型。

缺点：
1. 求解出的柯布——道格拉斯生产函数系数与经济学理论系数有较大误差。
2. 灰色预测模型得到的预测值误差相对较大，BP神经网络模型得到的人口结构数据不够准确，Leslie人口预测模型仅运用2005年的数据作为原始数据，随机性大。
3. 定量分析延迟的退休年限m大小对经济增长的影响时，只求出了m的范围，不够精确，并未求出m的最优值。

模型改进方向：
1. 应当扩大数据样本，对柯布——道格拉斯生产函数的系数再进行分析，或者应该引入参数修正方程，对参数进行修正。
2. 应当扩大数据样本进行灰色预测，模型应当采用动态的生育率、死亡率进行预测。
3. 定量分析延迟退休年龄对经济发展的影响时，应该进一步分析模型，放宽假设，比如应该考虑就业弹性系数的变化，以及各年龄段劳动参与率随社会发展的变化，从而进一步确定m的最优值。

7. 参考文献
[1] 蔡向东，后人口转变时期中国人口政策的思考，2012年3月
[2] 中华人民共和国国家统计局，《中国统计年鉴――2011》，北京：中国统计出版社，2011.11
[3] 陈强，人口系统模型及人口状况分析，中国优秀硕士学位论文，2004.9
[4]