实变函数试题库1及参考答案.doc

(完整word版)实变函数试题库1及参考答案
实变函数试题库及参考答案(1） 本科
一、填空题
1．设为集合，则 （用描述集合间关系的符号填写）
2．设是的子集，则 (用描述集合间关系的符号填写）
3．如果中聚点都属于,则称是
4．有限个开集的交是
5．设、是可测集，则 (用描述集合间关系的符号填写)
6．设是可数集，则
7．设是定义在可测集上的实函数，如果，是 ，则称在上可测
8．可测函数列的上极限也是 函数
9．设，，则
10．设在上可积,则在上
二、选择题
1．下列集合关系成立的是（ )

2．若是开集，则( ）

3．设是上一列非负可测函数,则（ ）

三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案）
1．设，则（ ）
是不可数集 是闭集 中没有内点
2．设是无限集，则（ ）
可以和自身的某个真子集对等 （为自然数集的基数)

3．设是上的可测函数，则（ ）
函数在上可测 在的可测子集上可测
是有界的 是简单函数的极限
4．设是上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）
在上可测 在上可积
在上几乎处处连续 在上几乎处处等于某个连续函数
四、判断题
1。 可数个闭集的并是闭集。 （ ）
2. 可数个可测集的并是可测集. （ )
3. 相等的集合是对等的. （ ）
4。 称在上几乎处处相等是指使的全体是可测集. （ )
五、定义题
1. 简述无限集中有基数最小的集合,但没有最大的集合。

2. 简述点集的边界点,聚点和内点的关系.

3。 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？

4. 上单调函数与有界变差函数有什么关系？

六、计算题
1. 设，其中为中有理数集，求。

2。 设为中全体有理数，，求.

七、证明题
1．证明集合等式:

2．设是中的无理数集，则是可测集，且

3．设是上的可测函数，则是可测集

4．设是上的可测函数,则对任何常数，有

5．设是上的可积函数，是的一列可测子集,且，则

实变函数试题库及参考答案（1） 本科
一、填空题
1。= 2。 3.闭集 4。开集 5。 6.= 7。可测集 8.可测 9。 10。可积
二、单选题
ABB
三、多选题
ACD AB ABD ABC
四、判断题
× √√√
五、定义题
1。答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合，的幂集的基数大于的基数.

2.答： 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.

3。答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数;简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限

4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.

六、解答题
1.解：因为，所以于，于是，
而在上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，

因此.

2。解：显然在上可测，另外由定义知，于
所以
因此

七、证明题
1。证明

2.证明 设是中的有理数集，则是可数集,从而，因此是可测集，从而可测，又，故是可测集.由于,所以
，故

3.证明 设为全体有理数所成之集,则

因为是上的可测函数，所以，是可测集,，于是由可测集性质知是可测集

4。证明 因为在上可测，所以在上非负可测，由非负可测函数积分性质，

而，所以

5。证明 因为，所以，当时，，又在上可积,所以由积分的绝对连续性，当时
于是当时,,因此，即