2015高考数学二轮专题复习题6：三角函数的图象与性质含解析.doc

高考专题训练(六)　三角函数的图象与性质
A级——基础巩固组
一、选择题
1．(2014·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析　cosα＝＝－.X Kb1.C om
答案　D
2．(2014·四川卷)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
解析　∵y＝sin(2x＋1)＝sin2，∴只需把y＝sin2x图象上所有的点向左平移个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．
答案　A
3．(2014·北京东城一模)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A. B.
C. D．－
解析　y＝sin(2x＋φ)sin＝sin是偶函数，即＋φ＝kπ＋(k∈Z)⇒φ＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，φ＝，故选C.
答案　C
4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A．1 B.
C. D.
解析　观察图象可知，A＝1，T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．
将代入上式得sin＝0，
由|φ|<，得φ＝，
则f(x)＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，
且f(x1)＝f(x2)，∴＝，
∴x1＋x2＝，
∴f(x1＋x2)＝sin＝.故选D.
答案　D
5．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
解析　∵T＝＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移个单位，
得y＝sin为奇函数，
∴－＋φ＝kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)，
∴φ＝，∴f(x)＝sin.
∵sin＝1，x kb 1
∴直线x＝为函数图象的对称轴．故选B.
答案　B
6．已知函数f(x)＝cos－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f(x)图象的一个对称中心为；④函数f(x)的递增区间为kπ＋，kπ＋，k∈Z.则正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　由已知得，f(x)＝cos－cos2x＝cos2xcos－sin2xsin－cos2x＝－sin，不是奇函数，故①错；当x＝时，f＝－sin＝1，故②正确；当x＝时，f＝－sinπ＝0，故③正确；令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3.
答案　C
二、填空题
7．若sin＝，则sin＝________.
解析　sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－.
答案　－
8．(2014·江苏卷)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
解析　利用函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解．
由题意，得sin＝cos，x k b 1 . c o m
因为0≤φ<π，所以φ＝.http://www. xkb1.c om
答案　
9．(2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
解析　由f(x)在区间上具有单调性，且f＝－f知，f(x)有对称中心，由f＝f知f(x)有对称轴x＝＝π，记T为最小正周期，则T≥－⇒T≥π，从而π－＝，故T＝π.新课 标第 一 网
答案　π
三、解答题
10．(2014·重庆卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f＝，求cos的值．
解　(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….
因－≤φ<得k＝0，所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f＝sin＝，
所以sin＝.
由<α<得0<α－<，
所以cos＝ ＝ ＝.
因此cos＝sinα＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
11．(2014·山东菏泽一模)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
解　(1)由题意得f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx＝2sin，
由最小正周期为π，得ω＝1，
所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
整理得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调增区间是
，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2x＋1的图象，
所以g(x)＝2sin2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋＝.
B级——能力提高组
1．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　)
A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数
C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数
D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数
解析　f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)
＝2sin，
∵其图象关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数．
∴＋φ＝＋kπ，k∈Z.
又∵|φ|<，∴φ＝.
∴f(x)＝2sin＝2cos2x. 新-课-标-第-一-网
易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．
答案　B
2．(2014·全国大纲卷)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析　f(x)＝1－2sin2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1，sinx∈，令t＝sinx∈，则y＝－2t2＋at＋1在是减函数，∴对称轴t＝≤，∴a≤2.
答案　(－∞，2]
3．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解　(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，w!w!w.!x!k!b!
又0≤t<24，所以≤t＋<，新-课-标-第-一-网
－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此<t＋<，即10<t<18.
在10时至18时实验室需要降温．
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