2015年广州市高考模拟考试数学(理科)试题.doc

2015年广州市高考模拟考试数学（理科）试题
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设向量，，若、方向相反，则实数的值是（ ）
A． B． C． D．
开始
输入整数

是
否

输出
结束
图1
4．一算法的程序框图如图1，若输出的，则输入
的的值可能为（ ）
A．　 B． C．　 D．
5．将函数的图象向左平移个单位，
再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．用、、表示空间中三条不同的直线，表示
平面，给出下列命题：
① 若，，则∥；
② 若∥，∥，则∥；
③ 若∥，∥，则∥；
④ 若，，则∥．
其中真命题的序号是（ ）
A．①②　 B．②③ C．①④　 D．②④
7．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点 的直线与双曲线的
右支相交于，两点，且点的横坐标为，则△的周长为（ ）
A．　 B． C．　 D．
8．已知映射：（，），设，，点
是线段上一动点，：．当点在线段上从点开始运动到点结
束时，点的对应点所经过的路线长度为（ ）
A． B．　 C． D．

二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．不等式的解集是 ．
10．已知数列是等差数列，且，则的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随机取点，则的概率是 ．
12．由，，，…，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于的四位数的个数是 ．
13．已知函数，则的值为 ．

图2
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图2，圆的直径，直线与圆相切
于点，于点D，若，设
，则______．
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
在极坐标系中，设曲线：与：的交点分别为，，则线段
的垂直平分线的极坐标方程为 ．

三、解答题： 本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数（），是函数的一个零点．
（1）求的值，并求函数的单调递增区间；
（2）若，，，，求的值．

17．（本小题满分12分）
广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）．

分组
频数
频率

表1

将日销售量在各组的频率作为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求、的值；
（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；
（3）用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望．

18．（本小题满分14分）
如图，四边形是正方形，与均是以为直角顶点的等腰直角三角形，
点是的中点，点是边上的任意一点．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值．

19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和满足：，为常数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设，且数列的前项和为，求证：．

20．（本小题满分14分）
已知椭圆：（）的离心率为，且经过点．圆：
．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线：（）与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于、两点，问是否成立？请说明理由．

21．（本小题满分14分）
已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，证明：．

2015年广州市高考模拟考试数学（理科）试题答案
一．选择题

二．填空题
9．或 10． 11．
12． 13． 14． 15．
三．解答题
16．（1），，；（2）．
17．（1），．
（2）．
（3），，，．～．
，
，，．
18．（2）．
19．（1）；（2），．
20．（1）；（2）不成立．
21．（1），在上是减函数，在上是增函数；
，在上是增函数，上是减函数，在上是增函数；
，在上是增函数．
（2）．
（3）由（1）（2）得，，，，
，
，，，在是减函数，，
，所以．