第1章教案2.doc

学案2　命题及其关系、充分条件与必要条件

导学目标：
1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．

自主梳理
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是
原命题：若p则q(p⇒q)；
逆命题：若q则p(q⇒p)；
否命题：若p则q(p⇒q)；
逆否命题：若q则p(q⇒p)．
(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假性
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．
★4．利用集合的观点，看充要条件：
设集合，
若，则是的充分条件，是的必要条件；
若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；
若，则是的充要条件；
自我检测
1．(2012·南通调研)命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．
解析　否命题为“若实数a满足a＞2，则a2≥4”，是真命题．
答案　真

2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．
答案　充分而不必要
解析　a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.
但A⊆B时，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分而不必要条件．

3．(2011·南京模拟)设集合A＝，B＝{x|0<x<3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件．
答案　充分不必要
解析　∵A＝＝{x|0<x<1}，
B＝{x|0<x<3}，∴A≠B.
当m∈A时，必有m∈B；而当m∈B时，m∈A不一定成立．
∴“m∈A”是“m∈B”的充分而不必要条件．
4．与命题“若a∈M，则b M”等价的命题是____________________．
答案　若b∈M，则a M
解析　因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．
5．给出下列命题：
①原命题为真，它的否命题为假；
②原命题为真，它的逆命题不一定为真；
③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；
④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；
⑤“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
答案　②③⑤
解析　原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，
由
⇒⇒m>1.
故⑤正确．

探究点一　四种命题及其相互关系
例1　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)当c>0时，若a>b，则ac>bc
(2)实数的平方是非负数；
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形；
解题导引　给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．
解　(2)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．
(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．
变式迁移1　有下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
答案　①③
解析　①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；
④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．
探究点二　充要条件的判断
例2　给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
解　(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0.
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；
但两个三角形全等⇒两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；
方程x2－x－m＝0无实根m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；
而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴qp.
∴p是q的充分不必要条件．
变式迁移2　下列各小题中，p是q的充要条件的是________．(填序号)
①p：m<－2或m>6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；
②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数；
③已知x、yR，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(x－2)＝0.
答案　①
解析　①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4(m＋3)>0⇔q：m<－2或m>6⇔p；②当f(x)＝0时，由qp；③.故①符合题意．
探究点三　充分、必要条件的应用
例3已知p：，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
(1)若m＝1，则p是q的什么条件？
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
思维启迪　问题(1)考查的仍是充要条件的判定，需要从“充分”和“必要”两个方面考察，并且用集合方法处理；
问题(2)考查充要条件的应用，根据“若p是q的充分不必要条件”，得出所对应集合的关系，从而求出实数m的取值范围．
解　(1)因为p：＝{x|－2≤x≤10}，
q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，
显然{x|0≤x≤2}{x|－2≤x≤10}，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，
所以
解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．
变式： (2012山东济南3月模拟)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．

解：由|4x－3|≤1，解得≤x≤1，
由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0得(x－a)(x－a－1)≤0，即a≤x≤a＋1，
若非p是非q的必要而不充分条件，则q是p的必要而不充分条件，
所以有即
所以0≤a≤.

一、填空题
1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________．
答案　若一个数的平方是正数，则它是负数
解析　依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
2．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的________条件．
答案　必要而不充分
解析　因为MN，所以a∈M⇒a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．

3．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的________条件．
答案　必要不充分
解析　复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，
而ab＝0表示a＝0或b＝0，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．

4．(2010·徐州模拟)关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为________．
答案　1
解析　对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上．因此否命题也是假命题．
5．(2011·扬州模拟)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的
______________条件．
答案　必要不充分
解析　A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>4，a>4a>5，但a>5⇒a>4.
6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案　[－3,0]
解析　ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得，
解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.

7．(2010·天津模拟)给出以下四个命题：
①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②若a>b，则am2>bm2；③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．(填序号)
答案　③
解析　对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题④，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．

8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
答案　[3,8)
解析　因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
二、解答题
9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3)若x2＋y2＝0，则x、y全为零．
解　(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，为假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．(4分)
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．(8分)
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．(12分)
10．(2011·连云港模拟)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
解　设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a<0}
＝{x|3a<x<a，a<0}，(4分)
B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}
＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}
＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}
＝{x|x<－4或x≥－2}．(8分)
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴綈q⇒綈p，且綈p綈q.
则{x|綈q}{x|綈p}，
而{x|綈q}＝∁RB＝{x|－4≤x<－2}，
{x|綈p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a，a<0}，
∴{x|－4≤x<－2}{x|x≤3a或x≥a，a<0}，
则或(13分)
综上，可得－≤a<0或a≤－4.(14分)