人口结构与经济发展6.doc

老龄化来袭——准备好了吗？
唐仁杰 王旭阳 胡京林
摘 要
稳定的人口发展直接关系到我国社会、经济的可持续发展。如何从数量上准确的预测人口数量以及各种人口指标，对我国制定与社会经济发展协调的健康人口发展计划有着决定性的意义。鉴此，本文依据灰色预测方法和年龄移算理论，基于人口普查统计数据，详细讨论影响经济发展的主要因素以及人口结构对经济发展的影响，并对我国未来30年的人口结构进行了预测。
针对第一问，考虑到在不同时期，不同国家主要影响经济发展的因素不同，利用灰色关联度分析法对影响我国不同时期经济发展的主要因素进行了分析，通过计算得结论：在1978～1989年这一阶段市场需求是影响经济发展的主要因素关联度为0.8483；在1990～1999年这一阶段，科技投入的影响力得以凸显，成为了影响经济发展的主要因素，其关联度为最大值0.5971；在2000～2010年这一阶段，资源投入的关联度为同期中各因素中的最大值为0.5119。而在每个时期人口结构都是一个不可忽略的因素，因为我国一直处于 “人口红利”阶段，劳动力人数暂时不会制约经济发展。
针对第二问，根据往年统计数据，利用经过灰色理论改进后的Leslie模型对我国人口结构进行预测，再分别建立生育模型和死亡模型，在计划生育条件下，我国人口会呈现先上升后下降趋势，目前主体人数在40岁左右，30年后，会达到老龄化高峰期。在2020年、2030年、2040年劳动力人口比例分别为65.04%、60.21%、58.45%。
针对第三问，放宽一胎化政策，在第二问模型基础上改进生育模型，重新对人口结构进行预测，得到在2020年、2030年、2040年劳动力人口比例分别为58.08%、57.89%、62.71%。
针对第四问，考虑到人口结构会影响劳动力所占比重，同时老龄化加剧，会产生养老负担和养老金短缺等现象，建立养老基金收支平衡模型，定量分析人口结构对社会经济发展的影响。推迟退休年龄到65岁在一定程度上可以保证经济的快速可持续增长。
针对第五问，在前几问得到结论的基础上，关于改变人口结构和维持经济的快速可持续增长向有关部门提出了几点建议。

关键字：人口预测 灰色理论 Leslie模型 经济发展

一、问题重述
1.1 问题背景
自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”。 中国已成为全球第二大经济体。强大的经济实力和发展潜力使得中国在各个领域取得了举世瞩目的成就。近年来，“中国制造”引领世界产业潮流，并强力改变着全球产业格局，2012年伦敦奥运会上随处可见“中国制造”，将这一特定称谓发挥至极致。以雄厚的经济实力和丰富的劳动力资源为基础，中国的文化传播和武器出口，无论从质量和数量上都稳步提高——中国声音在国际舞台上越来越强有力。
然而，有一些现象和消息却值得我们深思，随着我国经济和人口的增长，现已逐步进入老龄化时代，根据第二次全国人口普查数据，我国是全球唯一的老年人口过亿的国家，2010年我国60岁以上老年人已经达到1.78亿，占全球老年人口的23.6%。这意味着全球1/4的老龄人口集中在中国。日前，人力资源和社会保障部透露，他们将适时地提出“弹性延迟领取基本养老金年龄”的政策建议。到2013年，中国养老金的缺口将达到18 .3万亿元。报告指出，人口老龄化冲击下我国养老金的统筹账户将给财政造成巨大负担。建议实施延迟退休年龄、国有股划拨、机关事业单位改革等多措施以缓解压力。根据国家统计局《中国2010年人口普查资料》，2010年中国妇女总和生育率为1.181，其中城市为0.8821，乡村为1.4375，镇为1.153，均大大低于国际公认维持人口正常更替需要的总和生育率2.1水平。为此，2012年7月5日，15人联名向全国人大法工委和全国人大教科文卫委上书呼吁松绑二胎政策，要求在尊重公民生育权的前提下，让公民自由负责地生育。他们呼吁的另一理由是，老龄化程度加深，劳动力总量将下降，迫使计划生育政策必须调整。
1.2 目标任务
(1)、定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。
(2)、就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(3)、如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(4)、定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。
(5)、基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。
二、模型假设
(1)、不考虑国内外的人口迁移对我国人口的影响。
(2)、假设影响中国总人口数的主要因素是死亡率和出生率。
(3)、假设在预测期内不考虑会出现战争、大面积瘟疫等严重影响人口自然增长的外界因素；
(4)、假设在预测期内，考虑我国计划生育等控制人口发展的基本国策；
(5)、假设我国妇女育龄为15到45岁。

三、符号说明
符号
意义

GDP及各影响因素历年来的变化情况

标准化后GDP及各影响因素历年的变化情况

子序列与母序列的关联系数

为分辨系数

子序列和母序列的关联度

符合条件的全部人口

第年年龄组的死亡率

组妇女在年的生育率

组中年时的女性的人口比率

第年出生的人口

第年的婴儿死亡率

生育模式

第年每一个育龄妇女平均生育婴儿数

人口总数

平均年龄

基期人均年工资（缴费基数）

年缴费率

年养老金

年工资增长率

年养老金增长率

第t年参加社会基本养老保险的人数（缴费人数）

第t年领取养老金的人数

养老金收缴总额

养老金给付总额
四、模型的建立与求解
4.1 问题一模型建立与求解
4.1.1问题分析
社会是由“人”所组成, 社会经济活动是由“人”来进行， 这个“人”是由“不同年龄”, 或“不同行业”, 或“不同层次”的人群所组成。显然, 这些不同人群对社会经济的影响和作用是各不相同的。在人口快速转变的过程当中，人口结构会发生剧烈的变化。对我们国家而言，这样的变化首先会反映到劳动力市场上，会影响到我们的劳动力供给，所以说人口的结构对于经济的影响是十分重要的，同时还有多种因素对我国的经济发展有着至关重要的作用。从经济学、管理学的角度讲，主要还包括：资源、产业分布、科技投入、市场需求四个方面。
资源投入：首先是自然资源，这个范畴包括国土面积、地理位置、自然气候、水力、 矿藏、林产、渔业资源等等。自然资源是一个国家先天获得的，一国拥有的此种资源禀赋不会随着经济发展和社会变迁而发生任何改变。一个国家和其他国家间的地理位置关系会影响它对市场、供应、运输成本等有关贸易的许多方面。由自然资源所决定的国际贸易的比较优势是明显的。劳动力作为一国比较优势所发挥的作用是明显的。在人力资本理论出现以前，劳动力一向被认为是一种同质的生产要素，而没有对其进行细分。人力资本是经过教育和培训的高素质劳动力。相应地劳动力应被界定为没有经过培训或只经过简单培训的非熟练劳动力。这类劳动力的特点是数量众多、可替代性强、工资水平低。有些行业对非熟练的劳动力的需求具有很强的不可替代性，虽然有些发达国家在这些行业上通过加大技术、人力资本的投入，实现了对非熟练劳动力一定程度上的替代，但从全球经济总体来看，这些行业的优势仍然在非熟练劳动力供给充足的发展中国家，而且也没有逆转的趋势。劳动力的技能水平在国际间的差异是巨大的。进入20世纪90年代，随着科技创新能力在竞争中的重要性提高和知识密集型产业兴起，人力资本逐渐取代实物资本成为关键的生产要素。科技创新型经济时代的来临，使实物资本的重要性显然降低。科技成果的应用往往使大量的账面资本迅速贬值，智力因素开始主宰国际化比较优势演变的趋向，实现其对实物资本的驾驭。在目前和未来的国际间产业竞争中，人力资本的质量和数量起着核心作用。
市场需求：从贸易看市场，从市场看需求，决定需求的因素有：一是实际需求。指地理气候等环境的差别造成的需求差异；二是偏好程度。对商品的不同偏好主要是由不同的历史文化、宗教信仰和风俗习惯造成的；三是收入水平。随着人类社会生产力的进步，人们已经能够在很大程度上克服地理气候环境带来的束缚，而经济全球化的发展使得世界各国的地区在文化、风俗等方面的差异越来越小。收入水平才成为决定一国需求结构最主要的因素。当一国随着人均收入的提高。工业消费品特别是奢侈品的需求增加时，本国的工业品和奢侈品的生产也会增加。为了满足市场需求，生产者不断地扩大生产，结果产量增加超过需求增加，从而使该国有能力向别国出口。而且，在国内市场上的竞争也使得厂商不断降低成本，提高产品质量，国内市场上的演练也使得企业具备了参与国际竞争的能力。我国家电业在20世纪80年代崛起，现在成为世界最大家电出口国，其中一个主要原因就是由居民对家电的大规模需求拉动了家电业的成长。
产业结构：我国经济主要分为3个产业，第一产业主要为农业，第二产业主要为工业和建筑业，第三产业包括诸如服务业等多种产业，除第一产业和第二产业以外都可以归为第三产业。经济产业结构情况在不同时期对于我国GDP的增长情况影响也是不同的。
从改革开放到现在我国经济一直处于增长趋势，在不同时期影响经济发张的主要因素也是不同的。本文将着重量化分析以上几个因素在不同时期对经济的影响。
4.1.2模型建立
在分析影响经济发展的因素过程中，我们发现其内部的关系、特征以及一些数据难以全部被我们了解，所以不可能像研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本文使用的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
介于分析经济发展影响因素过程存在不可忽略的“噪声”，我们使用灰色系统理论提出的一种新的分析方法—灰色关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此本方法对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。
灰色关联分析：在分析过程中，许多影响因素与经济发展的关系都是灰色的。我们通过灰色关联分析对系统发展变化态势进行定量描述和比较，其基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断各影响因素与经济发展联系的紧密程度。关联度值介于0和1之间，若两者在发展过程中相对变化基本一致，关联度则趋向于1，反之则趋近于0。本文中的经济发展以历年的国内生产总值（GDP）变化为衡量标准。关联度的具体计算步骤如下。
1.首先，令表示GDP及各影响因素历年来的变化情况，当时，依 次表示GDP，市场需求，劳动人数，资源投入和科技投入的变化情况。由于不同因素存在量纲差别，所以需要先进行标准化处理数据集。具体的数据标准化处理运用下式完成。

其中，表示标准化后GDP及各影响因素历年的变化情况；和分别表示中的最大值和最小值。
2.其次，求差数列，差值绝对值越小，表示该影响因素与经济发展变化越趋近，对经济增长影响越大。数列的计算公式表示如下：

3.求关联系数和关联度。关联系数用于表征序列曲线间几何形状的差别，以表示子序列与母序列的关联系数，其求取公式如下所示：

其中，为分辨系数，在最小信息原理下，取其值为；和分别表示各店差值绝对值中的最大值和最小值。
子序列和母序列的关联度用各点关联系数的平均值表示，即

4.1.3模型的求解
自改革开放以来，我国经济迅猛发展，但是在不同的发展阶段，不同影响因素对经济发展的影响力大小是不同的。因此，我们将收集到的从1978年至2010年统计数据分为 1978～1989，1990～1999，2000～2010三个阶段。对这三阶段的GDP增长及各影响因素变化情况进行数据标准化处理后，我们得到如下图所示的各因素变化曲线。

图1：GDP增长及各影响因素变化曲线
通过利用灰色关联分析建立的模型及收集的数据，我们可以得到在不同发展阶段，经济发展与各个影响因素间的关联度，如下表所示。
表1：经济发展与各个影响因素间的关联度
年份
市场需求
劳动人数
资源投入
科技投入
1978～1989
0.8483
0.6498
0.7297
0.7938
1990～1999
0.4818
0.3653
0.4780
0.5971
2000～2010
0.4470
0.4745
0.5119
0.5117
通过对表中的数据进行横向比较，可以得出以下一些结论：
◎ 在1978～1989年这一阶段，市场需求与经济发展的关联度值最大，为0.8483。而科技投入与经济发展的关联度仅次于市场需求。所以市场需求在这一阶段是影响经济发展的主要因素，而科技投入是次主要因素。
◎ 在1990～1999年这一阶段，科技投入的影响力得以凸显，成为了影响经济发展的主要因素，其关联度为最大值0.5971。而资源投入的重要性也有较大提高。
◎ 在2000～2010年这一阶段，资源投入与经济发展的关联度为同期中各因素中的最大值。但由表可看出，科技投入的关联度仅比其低0.0002。可见，科技投入与资源投入共同对经济发展起着主要影响。
此外，通过分析表中数据，我们发现劳动人数的变化在这些影响因素中始终处于次要地位，主要是由于中国一直处于“人口红利”阶段，人力资源在这三个历史阶段并不会成为制约经济发展的因素。且科技和资源的投入越来越成为影响经济发展的重要因素。且由表得出的结论非常符合我国经济发展的实际情况，这说明模型能够成功分析各影响因素对经济发展的作用大小。
一个国家的产业结构状态及其优化升级对其经济发展是至关重要的。因此，下面我们要分析三大产业的发展对我国经济发展所起的作用。
由于三大产业与经济发展的关系中有许多隐蔽的关联且存在诸多不可避免的干扰，所以我们仍然使用灰色关联度分析法分析其影响力。基于历年关于三大产业的生产值统计数据（见附表），得到自改革开放以来，我国国内生产总值及三大产业生产值的变化曲线（如下图所示）。

图2：我国国内生产总值及三大产业生产值的变化曲线
通过利用之前建立的灰色关联分析模型及收集的数据，我们可以得到在不同发展阶段，经济发展与三大产业发展的关联度，如下表所示。
表2：经济发展与三大产业发展的关联度
年份
第一产业
第二产业
第三产业
1978～1989
0.8034
0.8467
0.8582
1990～1999
0.4399
0.7062
0.4989
2000～2010
0.5820
0.5101
0.5861
在我国经济发展的这三个不同阶段，通过横向比较表格中数据，我们发现：
● 在第一阶段，各产业关于经济发展的关联度比较接近，这说明在这个阶段三个产业发展比较均衡，只是第三产业稍有优势。
● 在第二阶段，第二产业的关联度远高于其他两产业，值为0.7062。这说明第二产业的发展对当时经济发展起主导作用，是工业和建筑业的快速发展促进经济的发展。这也是我国当时经济不发达，倡导“工业先行”的真实反映。
● 由第三阶段的各产业关联度可以看出，第三产业的关联度最大，说明第三产业的发展起主要作用。这表明当前阶段，我国经济水平已发展到一定阶段，第三产业将逐渐成为促进经济发展的主导力量。另外，第一产业的关联度也仅比第三产业小0.41，说明农业的发展也有较大的进步。这是当前我国大力扶持农业和工业反哺农业最有力的证据。
4.1.4人口结构对经济发展的影响
我国当前并且在今后相当长的一段时间内处于人口过剩的状态，因此，了解人口结构对我国经济发展的影响有极其重要的作用。我们将从人口结构的不同方面分析其对经济发展的影响。
⑴男女比例
根据国家统计局关于历年人口的统计数据，我们将自1978年至2010年历年的男女人口百分比绘制如下图所示。

图3：我国国内近年男女比例示意图
由图可以看出，在这三十年中，我国男性比例始终比女性高，但总体趋势是比较平稳的。而我国的经济却是发展得很迅猛。所以男女比例对我国经济发展的影响比较小。而且随着国民素质的提高和思想的开放，重男轻女的思想将逐渐被摈弃。所以，在将来，男女比例也不会再增大，其对经济发展的影响也将变得更小。
⑵城乡人口比例
改革开放初期，我国人口有80%以上是农村人口，主要从事与农业有关的行业。但随着我国市场经济及工业化的发展和农业科技的进步，以农业为主的第一产业所需人口越来越少，而从事第二产业和第三产业的城市人口越来也多。我们将自改革开放以来历年的城乡人口比绘制成曲线（如下图所示）。

图4：我国国内生产总值及城乡人口比变化曲线
由图中的曲线可以看出GDP增长曲线和城乡人口比值曲线大致保持同一趋势。可见，从事第二、三产业的城市人口增加会大大促进经济的增长。当前，我国的第二、三产业主要是劳动密集型，需要大量的劳动力。因此城市人口的增加会大大促进经济的增长。
⑶人口年龄结构
人口年龄结构的不同也会对经济发展造成较大的影响，年龄结构的变化首先会反映到劳动力市场，会影响到劳动力的供给。由下图可知，一个人作为消费者会稳定地持续整个生命周期，而作为生产者却仅集中于20～60岁左右。因此，两者的供求关系需要平衡。

图5：生产与消费生命周期
而根据国家统计部门公布的数据，我们得到2010年的人口年龄结构分布如下图所示：

图6：我国2010年人口年龄结构分布
由统计数据可知，当前我国劳动人口比例是72%，正处于“人口红利”阶段，即劳动年龄人口占总人口的比例非常高、劳动力非常充足的一段时间。目前，我国的产业主要是劳动密集型产业，我们主要是凭借廉价的劳动力促进经济增长。但由于国家的计划生育政策，我国近年的出生率很低，这就不可避免地加速我国老龄化的进程。随着劳动年龄人口比例的减少，劳动力必将升值，中国的劳动密集型产业优势逐渐消失，经济增长速度便会下降。
并且由图可以看出目前的人口高峰集中与40岁左右，所以再过30年，我国必然会面临空前严重的老龄化问题，形成强劲的“银色浪潮”。
4.2问题二的模型建立与求解
4.2.1问题分析
本问题是一个关于人口预测的问题，与以往不同，本问题需要根据中国特殊的国情去研究，我们根据对问题的分析并结合实际情况认为对人口产生主要影响的因素有以下四个：生育率、死亡率、年龄结构、男女比例。在这里需要说明的是对于人口产生影响的一些因素，如经济发展状况，生态环境情况、已婚夫妇对生育所持的态度、医疗技术的发展等，我们认为它们对人口的增长是通过作用于以上四个指标而间接发挥作用的。而对于诸如战争爆发、疾病流行等突发因素，由于其不可预测性，我们不考虑。
1．生育率
生育率代表育龄妇女生育人口的能力，从一定意义上讲生育率的高低控制着人口增长率高低，通常来说生育率越高人口增长率越高，所以说生育率是人口增长的源头。生育率的影响因素很多，首先是年龄因素，不同年龄段的育龄妇女的生育率不同，通常20岁至30岁的育龄妇女的生育率最强；此外是地域因素，受政策因素、观念认识、周边环境等影响乡村育龄妇女的生育率高于城市育龄妇女的生育率。
2．死亡率
死亡率表示一定时期内一个人口群体中死亡的人数占该人口群体的比值，和生育率一样死亡率的高低同样控制着人口增长率高低，如果说生育率是人口增长的源头，则死亡率是人口增长的汇点。同样影响死亡率的因素很多，首先不同年龄段的死亡率不同，通常老年人和刚出生的婴儿的死亡率较高；从长远来看，随着医疗水平的提高，整个人口群体的死亡率将会成下降趋势。
3．年龄结构
年龄结构反映了总体人口在各年龄段分布情况，年龄结构蕴涵的信息量很大，从其中我们可以实现对很多问题的分析，比如从年龄结构我们可以分析出社会的老年化程度，此外从年龄结构我们可以判断出不同时间段人口出生的情况，比如年龄结构不仅反映了总体人口在各年龄段分布情况，而且考虑到不同年龄段人口生育率、死亡率不同等情况，我们可以在年龄结构中有效反映这些差异
4．男女比例
男女比例反映了总体人口中男性与女性人数的比较关系，男女比例值能反映出人口中男性与女性人数是否协调，男女比例主要受男女出生比和男女死亡率的影响，在现实社会中，女性死亡率低于男性，所以男性与女性人数大致相等，社会维持在一个稳定状态。但目前我国男女出生比超过110，这不仅将导致男女比例失调，还会对人口的预测产生影响，所以在人口预测时必须将男女比例问题考虑进去。
考虑到人口预测分为中短期预测和长期预测，两类预测因为涉及的时间长短不同，所以考虑的因素不同，采用的方法不同。
对于中短期预测，我们假设生育率、死亡率、年龄结构、男女比例均维持在同一稳定水平，这样我们采用方法有很多。
4.2.2阻滞增长模型（Logistic模型）
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数。则它应是减函数。于是有：

对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当时人口不再增长，即增长率，代入（2）式得，于是：

解方程可得：

利用此模型可以很好的预测未来几年到几十年我国的人口数量，但是不能很直观的给出我国人口结构情况以及人口老龄化进程。所以下面再建立Leslie模型，对人口按年龄段进行分析。
4.2.3按年龄分布的Leslie模型
将人口按年龄大小等间隔地划分成个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为.设在时间段第年龄组的人口总数为，定义向量，模型要研究的是女性的人口分布随的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。
设第年龄组的生育率为，即是单位时间第年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第年龄组的死亡率为，即是单位时间第年龄组女性死亡人数与总人数之比，称为存活率。设、不随时间变化，根据、和的定义写出与应满足关系：

在上式中我们假设中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段以后出生而活不到的那些婴儿。若记矩阵

则上式可写作：
。
当、已知时，对任意的有：
若矩阵中的元素满足：
（ⅰ）；
（ⅱ），且至少一个。
则矩阵称为Leslie矩阵，只要我们求出Leslie矩阵并根据人口分布的初始向量，我们就可以求出时段的人口分布向量。
基于以上两个模型的分析，为了更好的预测我国的人口变化以及人口结构和老龄化进程的发展情况，我们引入灰色预测模型。
4.2.4灰色预测模型
4.2.4.1灰色预测模型建立
灰色系统是指既含有已知信息、又含有未知信息或非确知信息的系统，也称为贫信息系统。灰色模型是根据关联度、生成灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续性的微分方程。灰色预测是灰色系统理论的一个重要方面，它利用这些信息，建立灰色预测模型，从而确定系统未来的变化趋势。灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。
灰色预测模型建立过程如下：
1) 设原始数据序列有n个观察值，，通过累加生成新序列 ，利用新生成的序列去拟和函数曲线。
2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列的预测值序列
3) 利用累减还原：得到灰色预测值序列：
(共n＋m个，m个为未来的预测值)。
将序列分为和，其中反映的确定性增长趋势，反映的平稳周期变化趋势。
利用灰色GM（1,1）模型对序列的确定增长趋势进行预测。
根据灰色模型理论对本题进行模型建立，以年为组划分，令最长寿命为,设第年满周岁不到周岁的人数为其中表示符合条件的全部人口。记为第年年龄组的死亡率，因此有：

令为组妇女在年的生育率,为妇女的育龄期, 为组中年时的女性的人口比率,则第年出生的人口为：

设为第年的婴儿死亡率，有:

由公式(7)和(9)易得:

将分解为：
其中是生育模式，有成立，
而
表示第年每一个育龄妇女平均生育婴儿数。令

将(11)式带入(8)式，则(10)式可以改写成

分别令，

那么有：

在社会稳定的前提下，生育率和死亡率都比较稳定，从而可以视，为常矩阵，则上式可化为：

为了便于处理数据，我们采用常矩阵的改进的莱斯利模型，因此可以得出如下公式。
人口总数：

4.2.4.2生育模型
若个妇女中年生育孩子数，令
于是育龄期间的妇女单位时间生孩子数为：

显然，主要依赖于平均每个妇女生育孩子数目的多少也取决于生育年龄早晚和生育间隔，后者成为生育方式后生育模式，为此我们将格式化处理，即：

其离散模型为：

其中是年代一生中全体育龄妇女生育婴儿总数，为总和生育率。
知道了和各年龄妇女生育孩子数就可以算出该年代及。规范化了生育模式函数，根据查得数据计算分析可以用正太分布来表示育龄妇女的生育率。

其中：、、。
4.2.4.3死亡模型
考虑到死亡率在儿童少年期，青壮年期，老年期各有不同的特征，因此在每个区间可以分别使用不同的模型进行拟合，我们利用MATAB对已知数据进行图像分析综合前人的研究，拟合得到较优的分段模型.

其中得到的参数结果为：，，。
4.2.5模型求解
利用国家统计局公布的人口调查数据，我们利用经灰色预测理论改进的Leslie模型，得出2010，2020，2030和2040年的人口年龄分布（如下图所示）

2010年人口结构图 2020年人口结构图

2030年人口结构图 2040年人口结构图
图7：我国未来三十年人口年龄结构分布
由图可以看出，目前我国人口主要集中于15～50岁，是社会中主要的劳动力；而当年龄超过60岁后，人口数目下降很快，而且年龄小的人数也相对较少，属于典型的收缩型结构。而2020，2030和2040年对应的人口主体年龄依次为30～60岁，40～65岁和45～75岁。显然，人口主体在向高龄移动，社会出现老龄化现象的恶化。于此同时，青少年人口数却在持续下降，照此趋势发展下去，人口规模会不可抑制的缩小。
而且由目前的人口年龄结构分布易知，当前，处于40岁左右的人口占比例最高，所以再过30年，这个高峰会不可避免地转移到70岁左右。那时人口老龄化问题将变得更加严峻。
我们将人口按其年龄不同分为青少年（0～14岁），劳动适龄人口（15～60岁）和老年（≥60岁）三个类型。其主要依据是只有15至60岁的人有劳动力，可以创造经济价值，而青少年和老年主要作为消费者，并不创造价值。下表显示从2010年到2050年之间每隔五年各类人所占的比例。
表3：年龄结构表
年龄
2010
2015
2020
2025
2030
2035
2040
2045
2050
0~14
16.61%
17.09%
18.00%
18.22%
16.90%
15.22%
14.29%
14.62%
15.56%
15~59
71.09%
68.04%
65.04%
62.43%
60.21%
58.65%
58.45%
57.41%
54.80%
60以上
12.30%
11.44%
16.96%
19.35%
22.90%
26.13%
27.26%
27.97%
29.64%
由表可以看出，青少年和劳动适龄人口的比例在持续下降，而老年人所占比例有持续的大幅增长，最终在2050年高达30%。这说明在计划生育情况下，老龄化会越来越严重。
通过对模型的求解，我们预测了未来40年中我国总人口数的变化情况（如下图所示）。

图8：我国未来四十年人口总数
由图可知，我国的人口峰值将在2025年左右到达，大约在14.2亿左右。之后人口总数将会很快地下降，若不采取必要措施，最终在2050年会低到12.8亿左右。
4.3问题三的模型建立与求解
4.3.1问题分析
在第二问对我国未来人口结构的预测中，我们发现我国人口在未来几十年以后就会呈现下降趋势，而且即将进入老龄化，随之会带来养老资金短缺等社会问题，而且对于现在的生育政策，一对夫妻一个孩子也会对征兵带来影响，使得不得不放宽征兵政策。为解决这些问题，可能会推迟退休年龄或者是放宽生育政策，来维持人口稳定，保证劳动力供给。进而保证经济可持续增长。
近几年来，对计划生育制度是否放宽产生了一场社会大讨论，社会各派各持 观点，因此我们应该持着公正，严谨的态度正确的看待这个问题。 我们知道每个人政策的制订都有一定的现实意义，是在当时的大背景下制订的符合实际要求的。我国的计划生育从 1979 年开始实施，提倡一对夫妇生育一个孩子，三十多年来累计少出生人口 3 亿，人口再生产类型已经进入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，这标志着我国人口发展跨过了一个分水岭，但是计划生育政策仍然是我们的基本国策，但是时代背景已经发生很大的变，我们中国经济已经迅速发展， 人们生活水平显著提高， 我们人口总体水平已经居于稳定状态，我国人口结构逐渐趋向于老龄化社会。
4.3.2模型建立
在解决此问题时，我们沿用第二问中的灰色预测模型，并对生育模型进行改进，很明显放宽生育政策以后，育龄妇女生育婴儿个数会有所增长。根据调查统计数据显示农村夫妇和有权有势的人家更喜欢生育二胎，而且在不同的地区对于生育态度也明显不同，经过网上查找的数据，并经过计算分析得到城市与乡村的人口比例，大约为城市0.18、城镇0.34、农村0.48。经过网上调查的数据发现在农村大约有39%的人愿意生育二胎，而在城镇只有26%左右的人愿意生育二胎。利用此数据经过计算在第二问的模型中的生育模式会从1变成1.32。即：

对应的生育模型：

相应参数会发生变化，在上式中、、。
4.3.3模型求解
通过以上分析和对第二问中模型的改进，利用已知数据进行计算预测未来30年的人口分布情况，做出以下4幅人口年龄结构分布图。

2010年人口结构图 2020年人口结构图

2030年人口结构图 2040年人口结构图
图9：我国未来三十年人口年龄结构分布（放宽生育政策）
由上图看出，放宽生育政策以后，青少年比例明显增加，这就会导致劳动适龄人口所占比例有所下降，进而会加大这部分的负担。短期内不会对老年人口数量产生影响。而且目前处于40岁左右的人口高峰再经过30年必然会转移大70岁左右(可由2040年人口结构图看出)，所以三十年后我国社会将面临最严重的老龄化问题。而根据2040年人口结构图走势，这种老龄化将随时间有所减轻。
下表是预测出的具体年份的人口年龄结构情况。

表4：年龄结构表（放宽生育政策）
年龄
2010
2015
2020
2025
2030
2035
2040
2045
2050
0~14
16.61%
18.63%
20.94%
22.38%
20.49%
18.32%
17.45%
18.60%
20.57%
15~60
71.09%
66.77%
62.71%
59.25%
58.08%
57.57%
57.89%
56.81%
54.21%
60以上
12.30%
11.22%
16.35%
18.36%
21.44%
24.11%
24.66%
24.60%
25.22%
由上表可以看出，在未来的40年内，若实行计划生育放宽政策，青少年所占比例会有所增长。老年人口仍然会有大幅增长，但比仍实行计划生育要低一些。相应地，劳动适龄人口比例还是会有较大降幅。但由于青少年比例的增加，劳动适龄人口比例在2050年后会随着时间的推移而有所增加，而老龄化也会减缓。
通过对模型的求解，我们预测了未来40年内，若我国实行计划生育放宽政策，国内总人口数的变化情况（如下图所示）。

图10：我国未来四十年人口总数（放宽生育政策）
由图可知，我国的人口峰值将在2030年左右到达，大约在15.0亿左右。之后人口总数会有小幅波动，但整体趋于平稳，总数在14.95亿上下浮动。
4.4问题四的模型建立与求解
4.4.1问题分析
根据第一问分析的结果，我们发现我国人口结构在一定程度上对经济发展起着作用，在过去几十年，我国的经济增长主要靠投入，包括资本投入和劳动力投入，前面的分析结果显示，我国劳动力人口比例在未来一段时间内会呈现下降趋势，而老龄化程度会有所增长。因此法定退休年龄的高低，对劳动力市场供求平衡关系和失业率、对养老金支付压力、对整个养老保险制度的可持续性等许多方面，都具有关键性作用。
4.4.2模型建立
从理论上分析，延长退休年龄可从增加积累和减少支出两方面压缩养老金缺口，以下通过构建养老基金收支平衡模型，从实证方面验证延长退休年龄对维持养老基金财务均衡的积极意义。
假设基期人均年工资（缴费基数）为，年缴费率为，年养老金为，年工资增长率为，年养老金增长率为，第t年参加社会基本养老保险的人数（缴费人数）为，第t年领取养老金的人数为，收缴积累的养老金总额为，养老金给付总额为。统筹基金在现收现付制下没有基金积累，故不考虑利率。基于上述的变量设定，得到如下关系式：
收缴的养老金总数为：

支出的养老金总数为：

为使统筹基金保持均衡，必须使。本次测算以2010 年为开始时点。对现有退休方案和延迟退休年龄后的退休方案分别计算社会统筹基金收支状况，考察延长退休年龄对保持基金均衡的作用。
参数设置：，，，。和的单位为元。对领取的养老金以说明，由于养老金是随着退休年龄的增加而增长的。因此将定义为退休年龄的一次函数。以上参数均经过官方查证并通过计算得到。
4.4.3模型求解
根据以上模型和查得的参数计算对于不同的退休年龄，未来养老金统筹情况。得到结果如下图：

退休年龄为60岁

退休年龄为63岁 退休年龄为65岁
图11：我国不同退休年龄养老金收支情况
根据以上分析和计算得到的结果，我们可以看出，以现在的退休年龄养老金会持续处于亏损状况，这对我国的经济发展是十分不利的，当退休年龄推迟到63岁时，起初不会出现太大的亏损，但随着时间的推移，当达到2040年时，我国人口老龄化程度加剧，养老金还会出现亏损。当退休年龄推迟到65岁时，由上图可以看出要老金不会出现太大的亏损，即使人口危机来临时也还能保持稳定。这对我国的经济持续发展是十分有帮助的。
另一方面，推迟退休年龄以后，可以保证劳动力供给，使劳动力人口下降减缓，参与经济建设的人口比例有所增加，在短期内使经济发展不会受到人口老龄化的严重冲击。下表是推迟退休年龄后的人口年龄结构分布情况。可以更直观的反映上述分析。
表5：年龄结构表

2010
2015
2020
2025
2030
2035
2040
2045
2050
0`14
16.61%
17.09%
18.00%
18.22%
16.90%
15.22%
14.29%
14.62%
15.56%
15`64
74.47%
72.41%
69.22%
67.53%
66.21%
64.65%
63.36%
62.60%
61.33%
65以上
8.92%
10.50%
12