科研论文1.doc

方差分析法及其应用
蔡文妹，数学计算机科学学院，08统计，0807261
摘要：了解方差分析（analysis of variance）原理；探索单因素方差分析和双因素方差分析在实际中的应用。
关键词：方差分析、双因素方差分析

The Analysis of Variance And Its Application
Cai Wenmei,Statistics,0807261
Abstract:In this paper,you will know how to use ANOVA to solve the ordinary problem in statistics .Also how to use R to do this is the main topic.
Key words: analysis of variance（ANOVA）、two-way ANOVA
一、引言
方差分析（ANOVA）由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。我们要学习的主要内容包括单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析和两因素方差分析即配伍组设计的方差分析。
二、单因素方差分析
1、单因素方差分析的数据结构
在单因素方差分析中，若因素A共有r个水平，对均衡试验而言，每个水平的样本容量为k，则共有kr个观察值，如表1.2所示。对不均衡试验，各水平中的样本容量可以是不同的，设第个样本的容量是，则观测值的总个数为。
表1.2 单因素方差分析的数据结构
观测值
水平
1
2
……

因

素

A
水平1

……

水平2

……

┋
┋
┋
┋
┋
水平r

……

2、单因素方差分析的步骤
（一）单因素方差模型与建立假设
方差分析最初是针对试验设计的试验结果的分析而提出的。设在某试验中，因素A有个水平，在水平下的试验结果服从，，这里相互独立。在水平下做了次试验，得到个观测结果，，它们可以看作是来自的一个容量为的样本。因为，所以可得单因素方差分析模型如下：
（1.1）
其中随机误差相互独立，都服从分布。要检验的假设是
不全相等。
以表示这个总体均值的平均值，即称为一般水平或平均水平，令称为因素的第个水平的效应，由第四章算术平均数的性质易得。把原参数变换成新参数后，，单因素方差分析模型则变为：
（1.2）
其中表示水平的第j个观察值。上述要检验的假设则等价于
不全为0。
【例1】某公司采用四种方式推销其产品。为检验不同方式推销产品的效果，随机抽样得下表：
表1.1 某公司产品销售方式所对应的销售量
序号
销售方式
1
2
3
4
5
水平均值
方式一
77
86
81
88
83
83
方式二
95
92
78
96
89
90
方式三
71
76
68
81
74
74
方式四
80
84
79
70
82
79
总均值
81.5
例1中要比较四种推销方式对应的销售量是否存在差异，那么第一种推销方式中的某个观察值就等于该种方式的平均水平再加上一个随机误差。如果四种方式总体均值都相同，则它就等于总体均值再加上一个随机误差，实际上就变成了同一个变量分布中的某一点。所以原假设和备择假设是：
，即推销方式对销售量影响不显著；
不全等，即推销方式对销售量有显著影响。

（二）构造检验F统计量
1. 水平的均值
我们令为第i（或）水平的样本均值，则
（1.3）
当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（1.3）变为：
（1.4）
2. 全部观察值的总均值
我们令为全部观察值的总均值，则
（1.5）
当各水平的的观察值个数均相等的时候，公式（1.5）变为：
（1.6）
对例1而言，各都相等，即k=5。计算结果见表1.1。
3. 离差平方和
在单因素方差分析中，离差平方和有三个：
（1）总离差平方和（Sum of Squares for Total，简称SST），计算公式为：
（1.7）
总离差平方和反映全部观察值的离散状况，是全部观察值与总平均值的离差平方和。
（2）误差项离差平方和（Sum of Squares for Error，简称SSE），计算公式为：
（1.8）
误差项离差平方和又称为组内离差平方和，它反映了水平内部观察值的离散情况，即随机因素产生的影响。
（3）水平项离差平方和（Sum of Squares for Factor A，简称SSA）。计算公式为：
（1.9）
水平项离差平方和又称组间离差平方和，是各组平均值与总平均值的离差平方和。它既包括随机误差，也包括系统误差。
由于各样本的独立性，使得变差具有可分解性，即总离差平方和等于误差项离差平方和加上水平项离差平方和，用公式表达为：
SST = SSE + SSA （1.10）
对例1而言，计算结果见表1.3。

表1.3 单因素方差分析计算表（1）
序号
方式一
方式二
方式三
方式四

1
77
95
71
80

2
86
92
76
84

3
81
78
68
79

4
88
96
81
70

5
83
89
74
82
总均值
水平均值
83
90
74
79
81.5

合计
总离差平方
85.25
571.25
379.25
147.25
1183
误差项离差平方
74
210
98
116
498
水平项离差平方
11.25
361.25
281.25
31.25
685

4. 均方和（Mean Square）
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方和。计算方法是用离差平方和除以相应的自由度df，见表1.4所示，表中。
表1.4 方差分析表
方差来源
离差平方和SS
df
均方和MS
F
组间
SSA
r-1
MSA = SSA /（r-1）
MSA/MSE
组内
SSE
n-r
MSE = SSE /（n-r）

总方差
SST
n-1

5. 构造检验统计量F
F= 组间方差 / 组内方差= MSA / MSE （1.11）
对例1而言，计算结果见表1.5。
表1.5 单因素方差分析计算表（2）
方差来源
离差平方和SS
df
均方和MS
F
组间
685
3
228.3333
7.3360
组内
498
16
31.125

总方差
1183
19

（三）判断与结论
在假设条件成立时，F统计量服从第一自由度为、第二自由度为的 F分布（F分布表见附表五）。将统计量F与给定的显著性水平α的临界值比较，可以作出拒绝或不能拒绝原假设的判断，见图1.1。

图1.1 F检验示意图
若F≥，则拒绝原假设，表明均值之间的差异显著，因素A对观察值有显著影响；
若F<，则不能拒绝原假设，表明均值之间的差异不显著，因素A对观察值没有显著影响。
例1中，F =7.3360，若α取0.05，则临界值。由于F>，故应拒绝原假设，推销方式对销售量有影响。
三、 双因素方差分析
1、问题的提出
在现实中，常常会遇到两个因素同时影响结果的情况。这就需要检验究竟一个因素起作用，还是两个因素都起作用，或者两个因素的影响都不显著。
此时要考虑以下两种情况下的方差分析：一种是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一种是有交互作用的方差分析，它假定A、B两个因素不是独立的，而是相互起作用的，两个因素同时起作用的结果不是两个因素分别作用的简单相加，两者的结合会产生一个新的效应。下面讨论无交互作用的双因素方差分析。

2、无交互作用的双因素方差分析
数据结构
设两个因素分别是A和B。因素A共有个水平，因素B共有个水平，无交互作用的双因素方差分析的数据结构如表7.6所示。
表1.6 无交互作用双因素方差分析的数据结构

因 素 B

…

均值
因

素

A

…

…

┋
┋
┋
┋
┋
┋

…

均值

…

在水平下的试验结果服从，，这些试验结果相互独立。
无交互作用的双因素方差分析模型则为
（1.13）
其中随机误差相互独立，都服从分布。对这个模型要检验的假设有两个：
对因素A：；不全相等
对因素B：；不全相等
构造检验统计量
（1）水平的均值
（1.14）

（1.15）
（2）总均值
（1.16）
（3）离差平方和的分解
双因素方差分析同样要对总离差平方和SST进行分解，SST分解为三部分：SSA、SSB和SSE，以分别反映因素A的组间差异、因素B的组间差异和随机误差（即组内差异）的离散状况。
它们的计算公式分别为：
（1.17）
（1.18）
（1.19）
（1.20）
（4）构造检验统计量
由离差平方和与自由度可以计算出均方和，从而计算出F检验值，如表1.7

表1.7 无交互作用的双方差分析表
方差来源
离差平方和SS
df
均方和MS
F
因素A
SSA
r-1
MSA = SSA /(r-1)
MSA/MSE
因素B
SSB
s-1
MSB = SSB /(s-1)
MSB/MSE
误差
SSE
(r-1)(s-1)
MSE= SSE /(r-1)(s-1)

总方差
SST
rs-1

为检验因素A的影响是否显著，采用下面的统计量：
（1.21）
为检验因素B的影响是否显著，采用下面的统计量：
（1.22）
判断与结论
根据给定的显著性水平α在F分布表中查找相应的临界值，将统计量F与进行比较，作出拒绝或不能拒绝原假设的决策。
若≥，则拒绝原假设，表明均值之间有显著差异，即因素A对观察值有显著影响；
若<，则不能拒绝原假设，表明均值之间的差异不显著，即因素A对观察值没有显著影响；
若≥，则拒绝原假设，表明均值之间有显著差异，即因素B对观察值有显著影响。
若<，则不能拒绝原假设，表明均值之间的差异不显著，即因素B对观察值没有显著影响；
【例2】某公司想知道产品销售量与销售方式及销售地点是否有关，随机抽样得表1.8资料，以0.05的显著性水平进行检验。

表1.8 某公司产品销售方式及销售地点所对应的销售量

地点一
地点二
地点三
地点四
地点五
方式一
77
86
81
88
83
方式二
95
92
78
96
89
方式三
71
76
68
81
74
方式四
80
84
79
70
82
【解】我们可以按上述的步骤，完成检验，但计算工作量很大。这里我们利用Excel的分析工具。
首先针对问题，作原假设和备择假设：
对因素A：；不全等
对因素B：；不全等
利用Excel计算结果如下：

“方差分析：无重复双因素方差分析”结果截图

结论： ∵ > ，∴拒绝原假设，即销售方式对销售量有影响；
∵ < ，∴不能拒绝原假设，即销售地点对销售量的影响不显著。
参考文献：《试验设计与数据处理》（第二版） 化学工业出版社；
《统计建模与R软件》 清华大学出版社
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