普通高中数学强潜能学生培养的竞赛驱动策略.pdf
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1、现代基础教育研究第50卷,2023年6月(Research on Modern Basic Education)Vol.50,Jun.2023普通高中数学强潜能学生培养的竞赛驱动策略王广廷(上海市上海中学,上海 200231)摘 要:普通高中对数学强潜能学生的早期识别和培养有利于引领学生的志趣,为拔尖人才的后续培养打下坚实的基础。上海市上海中学通过设立数学班,以数学竞赛为平台,在数学拔尖创新人才培养方面取得了丰硕的成果,为国家培养了众多数学人才。学校根据不同层次数学竞赛的特点,针对课堂教学、全国高中数学联赛、冬令营、集训队、国家队培训不同的阶段,制定不同的培养方案,在每个阶段培养学生不同的能力
2、,促进学生的持续提升和突破。关键词:强潜能学生;数学竞赛;培养策略为了加快建设教育强国、科技强国、人才强国,推动国家原始创新能力的发展,我国对基础学科拔尖创新人才的需求越来越大。现代科技的原始创新离不开数学领域的强力支撑,现在世界上的发达国家均是数学强国,我们国家的数学研究虽然取得了长足的进步,但是与国际领先水平还有一定的差距,特别是基础学科还不够强。因此,国家越来越重视“中学生英才计划”的深入实施。为响应该计划的实施,上海市上海中学(以下简称“上海中学”)开展多元化的学生培养模式:一方面是“请进来”,学校持续推进上中复旦导师计划、上中交大计划、各类实验组计划等项目,选拔一批学有余力的学生在复
3、旦、交大等高校教授的指导下参加学术研讨和科学研究,激发科学兴趣,提高创新能力;另一方面是“走出去”,让学生走进高校和科研院所的实验室,亲自动手参与高校和科研院所的实验项目,不断提高动手能力,体验科研过程。我们认为,数学领域的基础研究人才自主培养,需要进一步强化普通高中数学强潜能学生的培养,继续引导对数学学科感兴趣的强潜能学生在参加层次递升的数学竞赛中获得数学能力的提升,激活他们持续开展数学探究的热情。笔者作为数学奥林匹克的教练,尝试从数学竞赛的视角思考数学强潜能学生的成长要素,探索普通高中数学强潜能学生培养的竞赛驱动策略,并给予不同阶段的数学强潜能学生针对性的培养策略,尝试为这些学生不断走向飞
4、跃、走向数学王国以及成为未来数学拔尖创新人才奠定扎实的基础。笔者所在的上海中学在数学强潜能学生培养方面具备丰富而长期的实践基础。上海中学从 1990年开始,在全市率先成立数学班,开展数学强潜能学生培养模式的探索。30 多年来为国家培养了数学方面的学生 1200 余名,他们中数学学习能力强、有天赋的学生有 200 多名,特别有天分的学生有 50 余名。为促进普通高中数学强潜能学生的持续提升与能力突破,学校对数学学习有强烈兴趣与潜能的学生给予不同阶段的竞赛驱动,把握不同层次数学竞赛特点和学生能力以及素养培育的重点,根据数学强潜能作者简介:王广廷,上海市上海中学高级教师,博士,主要从事数学奥林匹克教
5、学研究。4949第50卷现代基础教育研究(Research on Modern Basic Education)2023年6月学生的可持续发展规律,制定不同的培养方案,形成竞赛驱动策略。一、数学强潜能学生的早期识别与学校集聚培育数学强潜能学生的早期识别主要关注以下几个方面:对数学的领悟力与理解的深刻性,体现在模式迁移、方法迁移、思想迁移和创新与突破上;对数学的痴迷度与专注度,体现在释疑的坚持性、探究的坚持性、成败的坚持性和完美的坚持性上;数学思维的缜密性与跳跃性等。学校在每一届学生中开设数学班,每年从上千名对数学感兴趣、有较强的学习能力的高一新生中选拔 40 名左右组成数学班,创设专门的课程进
6、行培育。从 1998 年开始,每年又从数学班中挑选 10 名左右对数学领悟力强的学生组成数学小班,进行小班化教学。课堂导引主要关注如下两个方面:1.知识的全面性课堂教学的主要任务是完成高中数学教学内容并在此基础上进行拓宽和加深,使学生能够解决全国高中数学联赛一试的问题。本阶段以知识为主线,目标是高中数学完整的知识结构,注重培养学生的计算能力和逻辑推理能力。在课程安排上要考虑系统性和全面性,合理地设置教学专题,使得数学竞赛中的各个板块内容以及不同的思路方法在不同课型中螺旋式再现。表 1 罗列了课堂教学需要讲授的一些内容。表 1 数学竞赛内容学习板块举隅序号内容12345678910代数函数函数方
7、程均值不等式柯西不等式几个重要不等式三角函数数列数学归纳法复数多项式几何全等三角形相似三角形点共线与线共点平移对称旋转圆的基本性质圆幂与根轴反演与位似三角方法复数方法几何不等式数论数论基础素数与合数高斯函数同余理论几个著名定理阶的概念二次剩余数的进位制不定方程存在性问题组合集合与集族组合计数组合最值抽屉原理极端原理存在性问题图论树操作问题组合几何2.问题的趣味性数学竞赛问题都有一定的难度,虽然教学对象是对数学有浓厚兴趣的学生,但是难题也会让他们失去学习的兴趣。因此,教师需要设置一些新颖的问题不断吸引学生,使之保持学习兴趣且不断浓厚,尽可能避免出现畏难甚至厌学情绪。因此,在教学过程中要做到以下几
8、点:一是合理选择教学内容;二是教学要生动有趣;三是设置适合的问题;四是注重思维的启迪。以下面的问题为例:设u,v,w是模为 1 的复数。证明:我们总能选择“+”或者“-”,使得|u v w 1。这个问题表述简洁,解答简短,既能够扩展学生的视野,又能够极大激发学生的学习兴趣。事实上,唐盛昌,冯志刚:数学英才的早期识别与培育初探:基于案例的研究,数学通报 2011 年第 3 期,第 11-15 页。熊斌,蒋培杰:国际数学奥林匹克的中国经验,华东师范大学学报(自然科学版)2021 年第 6 期,第 1-14 页。冯志刚主编:上海中学竞赛课程数学(第一、二、三、四分册),华东师范大学出版社 2022
9、年版。冯跃峰:奥林匹克数学教育的理论和实践,上海教育出版社 2006 年版,第 223 页。冷岗松主编:数学竞赛问题与感悟 第二卷:研究文集(上),华东师范大学出版社 2019 年版,第 31-32 页。5050王广廷:普通高中数学强潜能学生培养的竞赛驱动策略用u,v,w表示复数u,v,w在复平面上对应的点,则uvw的垂心H对应的复数为u+v+w。当uvw是锐角或者直角三角形时,它的垂心位于uvw内(或顶点上),从而位于uvw的外接圆内(或外接圆上),于是|u+v+w 1。当uvw是钝角三角形时,不妨设v是钝角顶点,作v关于原点的对称点-v,则-v仍在单位圆上,且以u,-v,w为顶点的三角形时
10、锐角三角形。由上面的证明知|u-v+w 1,因此结论成立。该问题的解决需要用到垂心的复数表示,在教学过程中,学生对垂心的复数产生了浓厚的兴趣,他们尝试用各种办法去寻找垂心的表示方法。解决这个问题所用到的知识调动了学生的好奇心,激发了他们的探究能力。经过探究,学生发现通过熟悉的重心的复数表示再结合欧拉定理,即三角形的外心、重心、垂心三点共线且重心把外心和垂心的线段分为 1 2 的比值,就得到了垂心的复数表示。二、关注数学强潜能学生的数学思维能级提升全国高中数学联赛培养要旨全国高中数学联赛由中国数学会组织,是一项影响力颇大的课外数学活动,全国每年约有 5 万名中学生参与此项比赛。全国高中数学联赛分
11、为一试和加试,一试考查高考规定的知识和方法,考试时间为80 分钟。加试考试时间为 2 小时 50 分钟,从最近几年的命题情况来看,主要是考查初等代数(包括函数、不等式、数列、多项式等)、初等几何(主要考察平面几何)、初等数论、初等组合等方面的内容。全国高中数学联赛命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠拢,在知识方面略有扩展。在培训过程中需要关注以下两个方面:1.知识的递进性全国高中数学联赛是数学强潜能学生在课堂之外参加的第一项重要考试,也是学生能够参加更高级别竞赛的“敲门砖”,因此具有重要的意义。全国高中数学联赛的培训是课堂教学的递进,所选择的培训材料难度应该适中,讲授的问题应是课堂内容的延续和
12、加深。教师要关注如下几个方面的问题:一是表述的准确性,即所用到的知识、定理与教材表述完全一致;二是表述的正确性,即表达要正确,不能有错误的成分;三是认识的深刻性,就是深入理解知识的来龙去脉、内涵、意义、使用条件以及注意的问题等。2.培训的目的性全国高中数学联赛的时效性原则特别重要,由于考试时间紧,学生需要在规定的时间内做对尽可能多的题目。因此,在组织培训材料时,需要遵循目的性原则。所谓目的性原则,即所选取的材料要体现教师的培训意图,不能凭个人的喜好判断问题的价值,要依据学生的知识、方法、能力的薄弱环节选择材料,以利于学生形成良好的认知结构。所选的培训问题不能过于简单,否则培训效果不佳,但也不能
13、太难,否则学生在有效的时间内不能给出正确的解答,也不会有好的效果,故要依据学生的实际情况和所掌握的知识、方法、能力选取恰当的问题。2018 级的杨同学高一时参加全国高中数学联赛获得了上海赛区一等奖,但没能进入全国中学生数学冬令营,他在考试中由于没有做好数论题,导致总分与他的目标产生了差距。在接下来的一年时间里,杨同学着重加强数论板块的学习。他详读了一本初等数论教材,熟悉数论的知识体系和一般结论,通过一些数论竞赛问题的专项练习加深数学竞赛中数论问题的技巧的学习,在此基础上逐步提高综合能力,探究了与数论相关的代数和组合问题,这又加强了解数论问题的能力。接着在 2019 年的全国高中数学联赛中,他顺
14、利考进冬令营,最后进入了国家集训队。三、关注数学强潜能学生对数学新问题的认知与解题表达能力冬令营考试突破要诀全国中学生数学冬令营由中国数学会数学竞赛委员会组织,是面向高中生的顶级数学竞赛之一。冯跃峰:奥林匹克数学教育的理论和实践,上海教育出版社 2006 年版,第 227 页。5151第50卷现代基础教育研究(Research on Modern Basic Education)2023年6月冬令营考试时间为两天,学生每天要在 4.5 个小时内解决三个问题,题目难度大,时间紧。基于冬令营具有题目新颖性的特点,我们主要采用学生自我探索的思维形式,坚持逻辑推理与合情推理并重,培养学生解决问题的能力
15、。1.思维的创新性数学知识的学习一般都是经过模仿到理解,再通过迁移达到掌握的过程。要想创造性地提出新问题,那就需要建立在自身掌握的知识和方法的基础上,通过合情的逻辑推理和大胆假设,提出前所未有的新结论,这对学生是很高的要求,也是高层次的数学竞赛学生培养过程中必不可少的一环。在冬令营培训的具体实践中,恰当选取一些问题,可以逐步培养学生提出新问题的能力。以下面的问题为例进行说明。2014 年地中海地区数学竞赛有如下一个问题:设a1,a2,an,b1,b2,bn是实数。证明:存在k 1,2,n,使得i=1n|ai-aki=1n|bi-ak。对该问题的一个自然的推广是当a1,a2,an,b1,b2,b
16、n都是复数时,有什么样的结论。变换问题 1:设a1,a2,an,b1,b2,bn是复数。是否一定存在k 1,2,n,使得i=1n|ai-aki=1n|bi-ak。问题 1 仍然是线性结果,如果考虑欧式距离,我们得到了以下新的问题:变换问题 2:设a1,a2,an,b1,b2,bn是复数。是否一定存在k 1,2,n,使得i=1n|ai-ak2i=1n|bi-ak2。事实上,对j,k=1,2,n,记fjk=()|bj-ak2-|aj-ak2+()|aj-bk2-|bj-bk2。只需证明存在整数k(1 k n),使得j=1nfjk 0,下面证明k=1nj=1nfjk 0。事实上,我们有fjk=(bj
17、-ak)(-bj-ak)-(aj-ak)(-aj-ak)+(aj-bk)(-aj-bk)-(bj-bk)(-bj-bk)=-bj-ak-ak-bj+aj-ak+ak-aj-aj-bk-bk-aj+bj-bk+bk-bj=(aj-bj)(-ak-bk)+(-aj-bj)(ak-bk).记aj-bj=cj,j=1,2,n,则k=1nj=1nfjk=k=1nj=1n(cj-ck+-cjck)=k=1n-ckj=1ncj+k=1nckj=1n-cj=2|c1+c2+cn2 0,所以,必存在整数k(1 k n),使得j=1nfjk 0成立,故本题结论成立。对一个数学问题,学生通过不断变换条件和结论,可以
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