《考研高等数学公式和知识点》.doc

仅含高数公式（不含线性代数和概率统计）

高等数学公式[全]
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：

一些初等函数： 两个重要极限：

三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理： ·余弦定理：

·反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分的近似计算：

定积分应用相关公式：

空间解析几何和向量代数：

多元函数微分法及应用

微分法在几何上的应用：
方向导数与梯度：

多元函数的极值及其求法：

重积分及其应用：

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

曲面积分：

高斯公式：

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

常数项级数：

级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：

幂级数：

函数展开成幂级数：

一些函数展开成幂级数：

欧拉公式：

三角级数：

傅立叶级数：

周期为的周期函数的傅立叶级数：

微分方程的相关概念：

一阶线性微分方程：

全微分方程：

二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)式的通解
两个不相等实根

两个相等实根

一对共轭复根

二阶常系数非齐次线性微分方程

高等数学知识点

一. 函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
考研数学知识点-高等数学

公式 1．

x
limsin= 1
x→0 x

（1）
y = ∫0xf( )dt ，其中 f ( )连续，则dy= f ( )
⎛ + 1 ⎞
n
u
⎛ + 1 ⎞

ϕ
( )
dx
⎜
公 式 2 ． lim 1
n→∞⎝
⎟ =
n ⎠
⎜
e ； lim 1
u→∞⎝
⎟ =
u ⎠
e ；

y = ∫ϕ12( )( )

（2）
f dt ，其中 ϕ1( ) ，ϕ2( ) 可导，f ( )
1
( + v)v= e
lim 1

连续，
v→0

则
dy
dx
= f
[ϕ2( )]ϕ2( )
′ −
f [ϕ1( )]ϕ1′( )
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和

2．两个无穷小的比较

设 lim f ( ) = 0 ， lim g( ) = 0 ，且 lim

f ( )
数学二）


x


2


xn( )

g( )=l
当
x → 0 时，
e
x = 1 + x + + Λ + +
2! n!
0

（1） l = 0 ，称 f ( ) 是比 g( ) 高阶的无穷小，记以

3

5

( ) ( ) x2n+1+0( )n+1

( )
f =
0[g( )]
，称 g( ) 是比 f ( ) 低阶的无穷
sin x = x −x+x+ Λ +
3! 5!
2 4
2n +1 !
( ) ( )x2n+0( )n

小。
（2） l ≠ 0 ，称 f ( ) 与 g( ) 是同阶无穷小。
cos x 1
x x
= − + −Λ +
2! 4!
2 3
2n !

nn( )

( )
x x
Λ
( )+
x

（3） l = 1 ，称 f ( ) 与 g( ) 是等价无穷小，记以
f ( ) ~ g( )
ln 1
+ x = x − + − +
2 3
3 5
1
1
n
+
n+
0

x x
Λ
( )n+1
x21
( )+1

3．常见的等价无穷小
arctan x = x − + − +
3 5
1
n +
2 1
+ 0

当 x → 0 时
( ) x α
α α( ) 1
=1+ x+
Λ
α( ) 1 Λ [α −( )1 ]
xn( )

sin x ~ x ，tan x ~ x ，arcsin x ~ x ，arctan x ~ x
2!
x2++
!
n
+0

12
1 − cos x ~ x ，
2
(1 + x) α − 1 ~ αx
ex−1 ~ x ， ln(1 + x) ~ x ，

6．洛必达法则
0


lim f ( ) = 0 ，lim g( ) = 0

法则 1．（
0
型）设（1）

二．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则 1．单调有界数列极限一定存在
（1）若 xn+1 ≤ xn（ n 为正整数）又 xn≥ m （ n 为正

整数），则 lim xn= A 存在，且 A ≥ m
（2） x 变化过程中， f ′( ) ， g′( ) 皆存在

f ′( )
（3） limg′( )=A （或 ∞ ）
f ( )
则 limg( )=A （或 ∞ ）

n→∞
（2）若 xn+1 ≥ xn（ n 为正整数）又 xn≤ M （ n 为正


（注：如果 lim
f ′( )
g ′( )


不存在且不是无穷大量情形，则

整数），则
lim
n→∞
=
xnA 存在，且
A ≤ M


不能得出 lim

f
( )


不存在且不是无穷大量情形）

准则 2．（夹逼定理）设 g( ) ≤ f ( ) ( ) x
若 lim g( ) = A ， lim h( ) = A ，则 lim f ( ) = A
g ( )
∞


lim f ( ) = ∞ ，lim g( ) = ∞

法则 2．（
∞
型）设（1）

3．两个重要公式


1
（2） x 变化过程中， f ′( ) ， g′( ) 皆存在
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月

f ′( )
（3） limg′( )=A （或 ∞ ）
f ( )
则 limg( )=A （或 ∞ ）
7．利用导数定义求极限
考研数学知识点-高等数学
值，如果对于区间[ ]b 上的任一点 x ，总有 f ( ) ≤ M ，

则称 M 为函数 f ( ) 在[ ]b 上的最大值。同样可以定义最
小值 m 。
定理 3．（介值定理）如果函数 f ( ) 在闭区间[ ]b 上

基本公式： lim
∆ →
x 0
存在]
(
f x0
+ ∆x) ( ) x0
∆x

= f ′( )

[如果
连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m ，则对于介于 m
和 M 之间的任何实数 c ，在[ ]b 上至少存在一个 ξ ，使

得

8．利用定积分定义求极限
f ( ) = c

基本公式
lim
1
n
n
∑
⎛ k ⎞
f ⎜ ⎟ =
⎝ n ⎠
∫1( )
f dx [如果存在]

推论：如果函数 f ( ) 在闭区间[ ]b 上连续，且 f ( )

n→∞=
k 1
三．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点
0
与 f ( ) 异号，则在 ( )b 内至少存在一个点ξ ，使得

f ( ) = 0

设 x0是函数 y = f ( ) 的间断点。如果 f ( ) 在间断点
x0处的左、右极限都存在，则称 x0是 f ( ) 的第一类间断
点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
点。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
这个推论也称为零点定理
五．导数与微分计算
1．导数与微分表
( )′=0 d ( ) = 0
( ) −1
′=α xα （α 实常数）d ( ) = α xα−1dx（α 实常数）
( ) d sin x = cos xdx
sin x ′=cos x
(cos x)′=− sin x d cos x = − sin xdx

(
)

sec2

四．闭区间上连续函数的性质
tan x ′=
x
tan = sec2
d x
xdx

(
)′=− csc2
cot = − csc2

在闭区间[ ]b 上连续的函数 f ( ) ，有以下几个基本
cot x
(

)
x
d x
xdx

性质。这些性质以后都要用到。
sec x ′=
sec tan
x x
sec = sec tan
d x x xdx

定理 1．（有界定理）如果函数 f ( ) 在闭区间[ ]b 上
(
)′=−

csc = − csc cot

csc x
csc cot
x x
d x
x xdx

连续，则 f ( ) 必在[ ]b 上有界。

定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 f ( ) 在闭
(
log


a

x
)′=
1
ln
x a
dx
(a > 0, a ≠ 1)

(a > 0, a ≠ 1)

区间[ ]b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和
log =
dax
( )x ′=1
ln
x a
d ln x =1dx

最小值 m 。
其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：
定义 设 f ( )0= M 是区间 [ ]b 上某点 x0处的函数


2
x
( )′=axln a (
a > 0, a ≠ 1)
dax= axln adx (a > 0, a ≠ 1)
x

Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月

( )′=ex


dex= exdx
考研数学知识点-高等数学
ψ ′( )存在，且 ϕ ′( ) ≠ 0 ，则

(

)′=

1

=

1

dy
ψ ′( )

(ϕ ′( ) ≠ 0)

arcsin x
−
1 x2
1
d arcsin x
−
1 x2
1
dx
dx
=
ϕ ′( )

二阶导数

(arccos x)′=−
−
1 x2
d arccos x = −
−
1 x2
dx

2

d
⎡ dy ⎤
⎢⎣ ⎥⎦

d
⎡ dy ⎤
⎢⎣ ⎥⎦

ψ ′( ) ( ) −ψ ′( ) ( )

′
1
1
d y
=
dx
=
dx
1
⋅ =

(arctan x) =+
1 x2
d arctan x =+
1 x2
dx
dx2
dx
dt
dx
[ϕ ′( )]3

′
(arc cot x)
1
= −+
cot
1
dt

[
(

+
1 x2
]
)=
darc x = −+
1 x2
1
dx
5．反函数求导法则

2 2

ln x + x a
+
2 2
x a
设
y = f ( ) 的 反 函 数 x = g( ) ， 两 者 皆 可 导 ， 且

(

+
2 2
)=

1
f ′( ) ≠ 0

d ln x + x a
[ (

]
+
2 2
x a
dx

则

g ( )
1

=
1

( f ′( ) ≠ 0)

−
2 2
ln x + x a
)
=
1
−
2 2
x a
′ =f′( )
f ′[g ( )]
⎡
1
⎤

(
)
1
[
′
( )]
d
⎢
( )
f ′
⎥
1

−
2 2
d ln x + x a
=
−
2 2
x a
dx
二阶导数 g ′( ) =
d g y
dy
=
⎣
dx
⎦
⋅
dy

2．四则运算法则
dx

[ f ( ) ( )x ]
( )
g ( )

′=f ′ ± ′
= −
f ′( )
= −
f
′[g( )]
( f ′( ) ≠ 0)

[ f ( ) ( )x ]′=f ′( ) ( ) ( ) ( )g ′ x
⎡ f ( )⎤′f′( ) ( ) ( ) ( )g ′ x
[ f ′( )]
3
{ f ′[g ( )]}3

⎢
g
( ) ⎥
=
g2( )
(g( ) ≠ 0)
6．隐函数运算法则

⎣
⎦
设
y = y( ) 是由方程 F ( ) y = 0 所确定，求 y′ 的方

3．复合函数运算法则
设 y = f ( ) ，u = ϕ ( ) ，如果ϕ ( ) 在 x 处可导，f ( )

在对应点 u 处可导，则复合函数 y = f [ϕ( )]在 x 处可导，

且有

法如下：
把 F ( ) y = 0 两边的各项对 x 求导，把 y 看作中间变

量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y′ 的表达式（允

dy
dx
=
dy du
du dx
=
f ′[ϕ( )]ϕ ′( )
许出现 y 变量）

对应地
dy = f ′( )du = f ′[ϕ ( )]ϕ ′( )dx
7．对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导

由于公式 dy = f ′( )du 不管 u 是自变量或中间变量
都成立。因此称为一阶微分形式不变性。

4．由参数方程确定函数的运算法则
方法得出导数 y′ 。

对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数

x = ϕ ( )，
( )
y = y( ) ，其中ϕ ′( ) ，
y = [ f ( )]g( ) 常 用 的 一 种 方 法

设
y = ψ 确定函数
3
关 于 幂 指 函 数
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月

考研数学知识点-高等数学

y = eg( ) ln f ( ) 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
8．可微与可导的关系
f ( ) 在 x0处可微 ⇔ f ( ) 在 x0处可导。
9．求 n 阶导数（ n ≥ 2 ，正整数）
（1）在闭区间[ ]b 上连续；

（2）在开区间 ( )b 内可导；

则存在 ξ ∈ ( )b ，使得
f ( ) ( ) a

先求出
y′, y ′,Λ , 总结出规律性，然后写出 y( )，最后
−
b a
= ′
f ( )

用归纳法证明。
或写成 f ( ) ( )
( )(b − a)
(
b)

有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式
a = f ′
a < ξ <

（1）
y = ex


(
y( )= ex

> 0,a ≠ 1)


( )


ax( ) an


(
有 时 也 写 成 f (
x
< θ < 1)

0
+ ∆x
) ( )
x

0
(
= f ′ x0+
θ∆x) ⋅ ∆x

（2） y = axa
（3） y = sin x
y =
y( )= sin⎛ +⎜ xnπ ⎞⎟
0

这里 x0相当 a 或 b 都可以， ∆x 可正可负。

⎝
2 ⎠
推论 1．若 f ( ) 在( )b 内可导，且 f ′( ) ≡ 0 ，则 f ( )

（4） y = cos x

(5) y = ln x


y
y( )= cos⎛ +⎜ xnπ ⎞⎟
⎝ 2 ⎠
( )=( ) ( −1n−1)!x −n

在 ( )b 内为常数。

推 论 2 ． 若 f ( ) ， g( ) 在 ( )b 内 皆 可 导 ， 且

两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式

( )

g ( )

n
[u( ) ( )]( )= ∑
k=0
k
Cnu
( ) ( )v(n−k) ( )
f ′ ≡ ′ ，则在 ( )b 内 f ( ) = g( ) + c ，其中 c 为
一个常数。
三．柯西中值定理（数学四不要）

其 中

C
k
n

=


(
n!
−


)

，

u( )( ) ( ) x ，
设函数 f ( ) 和 g ( ) 满足：

v( )( ) ( ) x
k! n k
（1）在闭区间[a,b] 上皆连续；

（2）在开区间 ( )b 内皆可导；且 g′( ) ≠ 0

假设u( )和 v( ) 都是 n 阶可导。
微分中值定理

则存在ξ ∈ ( )b 使得

一．罗尔定理
设函数 f ( ) 满足
f
( ) ( )
a

=
f
′( )

(
a < ξ <

b)

g
( ) ( )
a
g ′( )

（1）在闭区间 [ ]b 上连续；

（2）在开区间( )b 内可导；

（3） f ( ) = f ( )

则存在ξ ∈ ( )b ，使得 f ′( ) = 0

二．拉格朗日中值定理
设函数 f ( ) 满足
（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特
殊情形 g( ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定

理。）
四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）

定理 1．（皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式）
设 f ( ) 在 x0处有 n 阶导数，则有公式

f ( ) = f ( ) +f′( )(0x − x0) +f′( )(0x − x0)2+ Λ +f( )( )(0x − x0)n+ R ( )

0
1!
2!
!
n
n

4
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月

(x → x0)
考研数学知识点-高等数学
的一个极小值，称 x0为函数 f ( ) 的一个极小值点。

其中 Rn( ) = 0[(x − x0)n]

(

x0)
函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值

余项。
x → 称为皮亚诺
点统称极值点。

⎛
⎜
⎜lim
→


(
R
n
−
( )
)n
⎞
= 0⎟⎟
 2．必要条件（可导情形）

⎝xx0
x x
0
⎠
设函数 f ( ) 在 x0处可导，且 x0为 f ( ) 的一个极值

前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不
同 情 形 取 适 当 的 n ， 所 以 对 常 用 的 初 等 函 数 如
( x) 1 + x)α （α 为实常数）等的 n
ex,sin x,cos x,ln 1 + 和 (
阶泰勒公式都要熟记。
定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式）
设 f ( ) 在包含 x0的区间 ( )b 内有 n +1 阶导数，在
[ ]b 上有 n 阶连续导数，则对 x ∈ [ ]b ，有公式
点，则 f ′( ) = 0 。

我们称 x 满足 f ′( ) = 0 的 x0为 f ( ) 的驻点可导函
数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点
中进一步去判断。

3．第一充分条件

( ) ( )
f′( )( ) ( )( )
+0x00x′xfxxx+−

Λ
f( )( )( )
x − x0n+R ( )
设 f ( ) 在 x0处连续，在 0 < x − x0< δ 内可导，

f
1!
2!
−02++
!
n
n

其中 Rn( ) =f(n+1) ( )

x

−

x0)n+1

，（ ξ 在 x0与 x 之
f ′( ) 不存在，或 f ′( ) = 0 。

(n + 1) (
1° 如果在 (
x0)

间）
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以 x0为中心的 n 阶泰勒公式。当

x0= 0 时，也称为 n 阶麦克劳林公式。
如果 lim Rn( ) = 0 ，那么泰勒公式就转化为泰勒级
x0− δ , 内的任一点 x 处，有
f ′( ) > 0 ，而在 (x0, x0+ δ ) 内的任一点 x 处，有
f ′( ) < 0 ，则 f ( )0为极大值， x0为极大值点；
2° 如果在 ( 0)
x0− δ , x 内的任一点 x 处，有

n→∞
数，这在后面无穷级数中再讨论。
导数的应用：
一．基本知识
f ′( ) < 0 ，而在 (x0, x0+ δ ) 内的任一点 x 处，有
f ′( ) > 0 ，则 f ( ) 为极小值， x0为极小值点；

1．定义
设函数 f ( ) 在 ( )b 内有定义， x0是 ( )b 内的某一
3° 如果在 (
0)
x0− δ , x 内与 (
x0, x0+ δ ) 内的任一点

点，则
如果点 x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
x(x ≠ x0) ，总有 f ( ) < f ( ) ，则称 f ( ) 为函数 f ( )
的一个极大值，称 x0为函数 f ( ) 的一个极大值点；

如果点 x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
x(x ≠ x0) ，总有 f ( ) > f ( )0，则称 f ( )0为函数 f ( )


5
x 处， f ′( ) 的符号相同，那么 f ( )0不是极值， x0不是
极值点。

4．第二充分条件
设函数 f ( ) 在 x0处有二阶导数，且 f ′( )0= 0 ，
f ′( ) ≠ 0 ，则

当 f ′( ) < 0 时， f ( ) 为极大值， x0为极大值点。
当 f ′( ) > 0 时， f ( ) 为极小值， x0为极小值点。
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月

二．函数的最大值和最小值
考研数学知识点-高等数学
y = f ( ) 在 ( )b 内是凸的。

1．求函数 f ( ) 在[ ]b 上的最大值和最小值的方法

首 先 ， 求 出 f ( ) 在( )b 内 所 有 驻 点 和 不 可 导 点

x1,Λ , xk，其次计算 f ( ),Λ , f ( ) ( ) ( )kf b 。
最后，比较 f ( ) ,Λ , f ( ) ( ) ( )kf b ，
其中最大者就是 f ( ) 在[ ]b 上的最大值 M ；其中最

小者就是 f ( ) 在[ ]b 上的最小值 m 。
2．最大（小）值的应用问题
求曲线 y = f ( ) 的拐点的方法步骤是：

第一步：求出二阶导数 f ′( ) ；

第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的

点 x1、 x2、…、 xk；
第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数
的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；
第四步：求出拐点的纵坐标。

四．渐近线的求法
1．垂直渐近线

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，
然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。
若

x→a
lim+f ( ) = ∞ 或

x→a
lim−f( ) = ∞

三．凹凸性与拐点
1．凹凸的定义
则 x = a 为曲线 y = f ( ) 的一条垂直渐近线。
2．水平渐近线

设 f ( ) 在区间 I 上连续，若对任意不同的两点
x1, x2，
若 lim f ( ) = b ，或 lim f ( ) = b

恒有

⎛ x1+ x ⎞


1


⎛


⎛ x1+ x ⎞


1


⎞
x→+∞
则 y = b 是曲线

3．斜渐近线
( )
x→−∞
y = f ( ) 的一条水平渐近线。

f ⎜
2 ⎟ >
[ f ( ) ( )1f x2] f ⎜
2 ⎟ <
[ f ( ) ( )fx2]⎟⎟
f

⎝
2
⎠
2
⎝⎜⎜
⎝
2
⎠
2
1
⎠
若 lim
x→+∞
x
f ( )
= a ≠
0 ，
lim [ f ( ) − ax] = b
x→+∞

则称 f ( ) 在 I 上是凸（凹）的。
或 lim
x→−∞
x
= a ≠
0 ，
lim [ f ( ) − ax] = b
x→−∞

在几何上，曲线 y = f ( )上任意两点的割线在曲线下

（上）面，则 y = f ( ) 是凸（凹）的。

如果曲线 y = f ( ) 有切线的话，每一点的切线都在曲
则 y = ax + b 是曲线 y = f ( ) 的一条斜渐近线。

五．曲率（数学一和数学二）
设 曲 线 y = f ( ) ， 它 在 点 M ( ) y 处 的 曲 率

y ′

k =
，若 k ≠ 0 ，则称 R =1为点 M ( ) y 处

线之上（下）则 y = f ( ) 是凸（凹）的。
[1+ ( )2]32
k

2．拐点的定义
曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。
3．凹凸性的判别和拐点的求法
设函数 f ( ) 在 ( )b 内具有二阶导数 f ′( ) ，

如果在 ( )b 内的每一点 x ，恒有 f ′( ) > 0 ，则曲线

y = f ( ) 在( )b 内是凹的；
的曲率半径，在 M 点的法线上，凹向这一边取一点 D ，
使 MD = R ，则称 D 为曲率中心，以 D 为圆心， R 为半

径的圆周称为曲率圆。

不定积分
一．基本积分公式
xα+1

如果在( )b 内的每一点 x ，恒有 f ′( ) < 0 ，则曲线


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 1．
∫
α
x dx = α +
1
+
C
(α ≠ −1，实常数)

Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月

2． ∫

1
x

dx = ln

+
x C
考研数学知识点-高等数学
是非常熟练地凑出微分。
常用的几种凑微分形式：

3． ∫
x
a dx
=
1
x+
a C
(a > 0, a ≠ 1)
（1） ∫ f (
+
)
=
∫
(
+
) (
+
)

ln a
∫ exdx = ex+ C
4． ∫ =


+
(a ≠ 0)
ax b dx1
a
)
f ax b ax b

( ) (


)

cos xdx sin x C
（2）∫ f (
+
n−1
=
1
∫
+
n +

5． ∫
= −
+
axnb x dx
(a ≠ 0, n ≠ 0)
na
f axnb ax b

sin xdx cos x C
1
dx
f ( ) ( ) ln x

6．
∫ sec2xdx = ∫
cos
2
dx = tan
x
+
x C
（3） ∫ f ( ) x
x
= ∫

7．
∫
csc
2
xdx
=
∫
1
dx
= −
+
cot x C
⎛
⎞
1 ⎟dx= − ⎛
⎞ ⎛
1 1
⎞

sin2x
（4） ∫f⎜
∫f⎜
⎟d ⎜
⎟

8．
∫ tan sec
x xdx
= sec
+
x C
⎝ x ⎠ x2
⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠

∫ cot csc
= − csc
+
（5） ∫ f( )dx=2∫ f ( ) ( )x

9．
10．
x xdx
∫ tan xdx = − ln cos
x C
+
x C
（6） ∫ f ( )

x
x

=
1
∫ ( ) ( )x

11．
∫ cot xdx = ln sin
+
x C
(a > 0, a ≠ 1)
a dx
ln a
f

∫
∫
( )
∫ ( ) ( )

12．
13．
sec
∫ csc
xdx
xdx
=
=
+
ln sec x tan
−
ln csc x cot
+
x C
+
x C
f exdx = f
)
（7） ∫ f (sin x cos xdx
= ∫

f
(
sin

x
) (
sin

x
)

14． ∫
dx
2 2

= arcsin
x
a

+ C

(a > 0)
（8） ∫ f ( )
cos x sin

xdx
= −∫

f
(
cos

x
) (
cos

x
)

−
a x
（9） ∫ f (
)
= ∫
(
) (
)

dx
15． ∫+
2 2
a x
=
1 arctan
a
x
a
+
C
(a> 0)
tan x sec2
（10） ∫ f ( )
xdx
f
= −∫
tan
(
x
tan
) (
x
)

dx
=
1
+
a x
+
(a> 0)
cot x csc2
xdx
f
cot
x
cot
x

16． ∫ −
2 2
a x
2a
ln
−
a x
C
)
（11） ∫ f (sec x sec tan
x xdx
= ∫
f
(
sec
x
) (
sec
x
)

∫

dx

= ln

2

+

(a > 0)
（12） ∫ f ( )
csc x csc cot
x xdx
= −∫

f
(
csc

x
) (
csc

x
)

17．
±
2 2
x a
x + x2± a C
（13） ∫
f (arcsin x)
1 − x2
dx = ∫ f (arcsin x) (arcsin x)

二．换元积分法和分部积分法
1．第一换元积分法（凑微分法）
设 ∫ f ( )du = F ( ) + C ，又ϕ ( ) 可导，则

u ( )∫ f ( )du
令 = ϕ

（14） ∫

（15） ∫
f (arccos x)
1 − x2
f (arctan x)
1 + x2

dx = −∫ f (arccos x) (arccos x)

dx = ∫ f (arctan x) (arctan x)

∫ f [ϕ ( )]ϕ ′( )dx = ∫ f [ϕ ( )]dϕ ( )
(
cot
)

∫
f arc x
dx = −∫
(
) (
cot
)

( )
= F +
C = F[ϕ( )]+ C
（16）
1 + x
2
f arc cot x arc x

这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就


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Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月

⎛

1 ⎞
考研数学知识点-高等数学
[
( )

(
0)2 ]

f ⎜ arctan
⎟
A l2− −
x x
然后