人口结构与经济发展论文5.doc

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员 (打印并签名) ：1. 朱 頔
2. 赵海鹏
3. 刘春伟
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 数模指导组

日期： 2012 年 8 月 18 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

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注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

我国人口结构和经济发展问题

摘要

本文是一个人口结构预测问题，我们通过查找资料，运用灰色预测、solow余值、线性拟合等方法建立数学模型给出了预测结果。
针对第一问，我们首先明确了影响经济发展的几个重要因素：劳动投入、资本投入、科技进步。参考solow余值法，为劳动投入设置人口结构影响因数，根据已知的科技增长贡献率逆向推出人口结构影响因数。得人口结构影响因数为2.32。
针对第二问，我们认为人口结构主要由人口总量、性别比、各年龄段人口来体现，在预测人口总量和各年龄段人口数时，我们采用了灰色预测模型，给出了未来三十年的人口总量和年龄结构。预测出未来三十年的人口总量依次为134777 135462 136150 136841 137531 138236 138941 139650 140362 141078 141795 142518 143244 143973 144708 145444 146184 146929 147678 148430 149185 149945 150709 151476 152248 153002 153801 154584 155372 156163（单位：万人）。
针对第三问，在放宽二胎政策时，出生率的变化会成为影响人口结构的主要因素，
我们使用分步分析法得出了在政策改变后的人口总量和人口年龄结构。
针对第四问，我们查找资料，初步分析得知延迟退休在一定程度上可以促进经济发展，而后我们对问题进行简化，重点分析这一政策使老年人创造更多的财富，同时又要负担更多的失业年轻人的失业保险金，在此基础上我们求出在失业率控制在10%的基础上这一政策对经济的增长量为931431400万元。

关键词： 余值法 灰色预测预测模型 人口结构

1. 问题重述

中国的经济持续高速发展使得中国在各个领域取得了举世瞩目的成就。然而，有一些现象和消息却值得我们深思，6旬大爷公交车上争座位；北京征兵体检标准放宽；人社部专家建议退休年龄延至65岁；15名学者联名上书全国人大要求松绑二胎；有报告称到2013年中国养老金缺口将达18.3万亿；中国科学院研究生院更名为中国科学院大学等。
近年来此类消息和舆论热点层出不穷，从中我们可以看出中国的现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，可见研究中国的人口结构有很重要的现实意义。针对上述情况，查找相关数据资料，解决以下问题：
(1) 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。
(2) 就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(3) 如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(4) 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。
(5) 基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。

2.问题分析

这是一系列关于人口结构或经济发展的问题，要求根据中国的人口与经济发展现状，解决几个有关问题。
2.1针对第一问
首先我们要明确影响经济发展的的各种因素，从中筛选出最重要的几个，进行重点分析，影响经济增长的三大要素是：劳动投入、资本投入以及科技进步。我们将国内生产总值（GDP）作为衡量经济增长的指标，严格意义上的物质资本作为资本投入，，将从业人员数作为劳动投入量。从业人员数的获取比较简单，且可直接用于对比，但是它不能反映劳动年龄、职业以及劳动质量的差别即人口结构的差别，所以我们赋予劳动投入量一个系数，来反映人口结构对劳动投入量的影响，对经济增长的影响。参考余值法，对问题进行求解。
2.2针对第二问
我们知道人口结构主要包含人口总量，性别比，年龄分布等。针对人口总量和年龄分布，我们认为应该采用经典的灰色预测模型，考虑到中国在上世纪70年代实施计划生育政策，对人口发展产生很大的影响，而且改革开放后人们的生育观念发生深刻变化，我们认为采用用最近八年的人口数据预测未来五年的人口总量的方法比较合理；而对于性别比的预测，我们考虑到它必然是某个数字附近的数值，我们认为采用Excel的线性拟合的方法比较简单，也具有相当高的精度。
2.3针对第三问
在放宽二胎人口政策的情况下，必然会对人口总量、出生率、年龄结构产生很大影响。我们认为应该查找资料，了解当代社会青年人的生育观念，并利用层次分析法建立模型预测人口总量，再利用线性拟合的方法预测性别比例、人口年龄结构。
2.4针对第四问
我们查找资料确定了延迟退休年龄对经济造成的影响有：缓解养老金压力，延长工人的工作时间，创造更多的财富，增大青年人的就业压力，不利于社会和谐。我们在考虑经济发展的同时也要兼顾社会成员的满意程度。 在此基础上，根据前几问的计算结果，我们针对中国人口结构和可持续发展提出一些可行的建议。

3.模型假设

1假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值；
2仅从经济增长的角度看待经济发展，忽略其他因素；
3假设死亡率只与年龄有关；
4不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口数量；
5大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，假设这些因素预测误差允许的范围内；
6接受调查的老人从20岁开始工作，缴纳养老基金直至退休；
7 ，即规模报酬不变；
8假设时间增量年；
9假定延迟五年退休。

4.符号说明

：各年国内生产总值
：各年资本存量
：各年从业人员数
：各年的科技水平
：常数
：固定资产价格指数
：为科技进步对经济增长的贡献率
：资本投入对经济增长的贡献率
：为劳动投入对经济增长的贡献率
：各年的固定资产折旧率，本文取5%
：表示当年的固定资产投资总额
：2010年离退休人数6299万人

：延迟退休对经济发展的贡献
：延迟退休时间
： 2010年人均生产总值29992元，
：2010年新增就业岗位数为1168万
：每年人均养老金发放量1200元
：失业金数2688元
：10年就业人数76105万人
：失业率
：生二胎的人数在第二部分中的比例
：人均收入
：第k年出生率
：第k年总人数
：人口结构影响系数

5.模型建立

5.1问题（一）
根据柯布—道格拉斯(Cobb -Douglas)生产函数法，我们增加了人口结构影响系数。
为产出量（GDP），为资本投入量（物质资本,），为劳动力投入量（从业人员数），为人口结构影响系数。A为一定的科技水平，科技水平A应该是时间的函数，可表示为：,其中为常数，表示基期的科技水平，r为科技进步系数。分别为资本和劳动的产出弹性系数，一般假设：，即规模报酬不变。可得方程：
（1）
我们采用戈登史密斯提出的“永续盘存法”来计算资本存量K。具体计算公式为：

其中表示各年的固定资产折旧率，本文取5%，表示当年的固定资产投资总额，是固定资产价格指数，具体计算结果如附录Ⅰ所示。

为方便计算, 将方程( 1 ) 两边取对数,可得方程(2),即:
(2)
由于假定生产函数规模报酬不变, 则将代入上式, 可得回归模型:
(3)
再根据索洛（Solow）余值法，对上述公式（3）两边取微分：
（4）
假设时间增量=1，记为,分别表示产出，资本和劳动投入的增长率。则公式（4）可化为：
(5)
公式（5）即为索洛增长速度方程，方程两边同除以y:
（6）
记，则可得到科技进步贡献率公式为：
（7）
为科技进步对经济增长的贡献率， 为资本投入对经济增长的贡献率， 为劳动投入对经济增长的贡献率。那么在已知科技进步对经济增长的贡献率、资本投入对经济增长的贡献率和劳动投入增长率的情况下可以逆推人口结构影响系数，再计算出人口结构影对经济增长的贡献率，从而得到人口结构对经济增长的影响。

5.2问题（二）
对于第二题，我们采用灰色预测模型。灰色系统是指既含有已知信息、又含有未知信息或非确知信息的系统，也称为贫信息系统。灰色模型是根据关联度、生成数灰导数、灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续性的微分方程。灰色预测是灰色系统理论的一个重要方面，它利用这些信息，建立灰色预测模型，从而确定系统未来的变化趋势。灰色预测模型能够根据现有的少量信息进行计算和推测。
　　灰色建模的思路是：从序列角度剖析微分方程，是了解其构成的主要条件，然后对近似满足这些条件的序列建立近似的微分方程模型。而对序列而言（一般指有限序列）只能获得有限差异信息，因此，用序列建立微分方程模型，实质上是用有限差异信息建立一个无限差异信息模型。
　 记原始序列为

　　这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将其进行生成处理，以提供更多的有用信息。下面选用累加生成，则m次累加生成的结果为

式中

一般通过一次累加生成就能使数据呈现一定的规律，若规律不够，可增加累加生成的次数。同理一次累加序列为

　在数据生成的基础上，用线性动态模型对生成数据拟合和逼近。对建立模型

其白化形式微分方程为

记参数列，再按最小二乘法进行求解。
其向量形式为

白化形式微分方程的离散解为

利用1999年-2005年的中国人口数据，然后根据最小二乘法原理运用Matlab软件编程（程序见附录）对参数求解可以得到： 初始序列的第一个元素为0.0975。
因此可得白化形式微分方程的离散解为

即
5.3问题（三）
放宽一胎政策影响的是人口的出生率，通过查找相关资料，我们得到当今大学生的生育观念。统计显示，如果放宽人口政策，有的人表示一定会生二胎；有的人表示假如经济情况允许，会选择生两胎；还有的人表示不会改变生一胎的决定；生两胎或不生孩子的人数几乎没有，在这里不考虑在内。而对于第二种情况，我们假设生二胎的人数在第二部分中的比例与经济收入呈线性系：

有关资料显示，抚养两个子女所需的人均收入平均为20万元，则此时比例为1。而2011年的人均国民生产总值为30584元，此时比例为0。由此可算得此线性方程为

因而可以求得放宽人口政策后的出生率

即

所以可以写出放宽人口政策之后的总人口数量方程

5．4问题（四）
针对推迟退休这一问题，通过下图可以发现这一政策从经济角度有利于社会进步。由于劳动者的养老保险金是从其工作开始交纳，所以其养老保险金函数是一复合函数（下图3.1 是其函数图形）图形横轴表示劳动者的年龄，纵轴表示劳动者的养老金。
图形中OA 为劳动者未参加工作的时间段，A 点表示劳动者参加工作并交纳养老保险金的年龄，T 点表示劳动者的退休年龄，M表示该劳动者的生命极限即死亡年龄。
线段BC 上各点表示随着劳动者工作年限的增加，其基本养老金发放标准起点递增的趋势。当劳动者达到法定退休年龄T 时，其基本养老金发放标准为W0，并且以后按此标准执行（因为假设条件养老金不受物价影响，且名义养老金一直约等于实际养老
金）。D 点为该劳动者退休时个人账户上的全部养老金数额Wt，曲线DD′为个人养老金发放曲线。

延迟退休
缓解养老
人力资源
促进社会保障
社会经济
就业压力增大

我们通过分析建立这样的模型，设为2010年离退休人数6299万人 ，为经济发展量，延迟退休时间为，年人均生产总值 为29992元，2010年新增就业岗位数为, 为1168万人，为每年人均养老金发放量，为政府提供的失业金数，为10年就业人数76105万人，目标函数为：
,
考虑到失业人数过多会引起人们对不满，我们利用失业率来对上述目标函数进行约束，
（）
若则说明此项政策能促进经济发展。

6.模型求解

6.1第一问求解：

我们利用Excel对数据进行处理，结果如下：

表1.1 各因素对经济的贡献率
年份
GDP（亿）
资本存量K（亿）
从业人数L(亿)
EA(%)
Ek（%）
El（%）
δ(%)
1978
3645
13127
4
_

1979
4062
13322
4.1
29.5
26
44.5
224
1980
4545
13542
4.2
30.2
26.5
43.3
149
1981
4891
13723
4.4
30.7
27.8
43.5
101
1982
5323
13957
4.5
28.3
25.7
46
173
1983
5962
14437
4.7
31.9
29.8
38.3
238
1984
7208
15089
4.9
35.3
29.1
35.6
206
1985
9016
16041
5
32.7
24.4
32.9
185
1986
10275
17432
5.1
33.2
28.4
38.4
175
1987
12058
19077
5.3
33.9
25.1
41
234
1988
15042
20987
5.4
35.6
27.3
37.1
206
1989
16992
23164
5.5
-43.2
53.7
89.5
481
1990
18667
24746
6.5
-52.1
59.8
92.3
423
1991
21781
26205
6.5
36.2
20.5
43.3
364
1992
26923
28156
6.6
38.8
16.2
45
415
1993
35333
30834
6.7
42.4
21.1
36.5
358
1994
48197
34516
6.7
40.1
28.1
31.8
274
1995
60793
38957
6.8
44.7
26.3
29
238
1996
71176
43851
6.9
45.1
29.5
25.4
183
1997
78973
49188
7
49.9
33.7
16.4
137
1998
84402
54789
7.1
47.8
37.6
14.6
129
1999
89677
61250
7.1
51.2
29.2
19.6
208
2000
99215
67895
7.2
52.9
29.9
17.2
217
2001
109655
75085
7.3
49.2
25.8
25
249
2002
120333
83250
7.4
53.3
23.4
23.3
263
2003
135823
92992
7.4
54
24.7
21.3
258
2004
159878
105722
7.5
51.7
30.6
17.7
138
2005
184937
121310
7.6
54.8
31.2
14
165
2006
216314
137866
7.5
56.8
32.8
10.4
129
2007
265810
153163
7.5
57.2
27.2
15.6
215
2008
314045
169456
7.6
57,6
32.5
9.9
149
2009
340506
175382
7.6
55.4
25.4
19,2
263
2010
366967
183761
7.6
59.8
20.8
19.4
272

6.2第二问求解：

为了结果的准确性，我们没有直接将三十年的人口全部预测出来，而是采取了八推五的方式，即利用前八年的数据预测后五年，以此类推，从而得出结果。

6.3第三问求解：
通过C语言编程，我们求得结果如下：
表3.1 人口政策放宽后2011到2040年30年间的人口结构预测（单位：万人）
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
总人口
134986
135942
136567
1E+06
137924
138636
139751
141422
141975
142574
男性比例
51.3049
51.3157
51.33
51.349
51.362
51.381
51.36
51.355
51.348
51.339
女性比例
48.6951
48.6843
48.67
48.651
48.638
48.619
48.64
48.645
48.652
48.661
年份
2021
2022
2023
2024
2025
2026
2027
2028
2029
2030
总人口
142975
143456
143951
144536
145178
146041
147158
147975
149012
149907
男性比例
51.5095
51.5175
51.52
51.516
51.511
51.505
51.505
51.506
51.498
51.481
女性比例
48.4905
48.4825
48.48
48.484
48.489
48.495
48.495
48.494
48.502
48.519
年份
2031
2032
2033
2034
2035
2036
2037
2038
2039
2040
总人口
150771
151275
153754
154752
156723
158820
159957
165273
167354
169752
男性比例
51.4285
51.3635
51.247
51.104
51.013
50.896
50.743
50.577
50.48
50.536
女性比例
48.5715
48.6365
48.753
48.896
48.987
49.104
49.257
49.423
49.52
49.464

6.4第四问：

我们查找2010年的相关数据，并带入公式：

（）

得到结果如下：
=913431400万元

可见失业率在规定范围内，结果可以接受。

6.5第五问:

新中国成立以来，特别是改革开放以来，随着中国经济社会转型，中国人口结构发生了深刻的变化。这一系列的变化突出地体现在人口增长、人口构成、人口素质、人口流动等方面。
人口规模剧增，是当代中国人口结构最明显的变动，从建国之初的5.4亿扩大到2011年的13.4亿。虽然计划生育国策取得了显著的成果，有效地控制了人口规模及其速度，但是由于人口基数庞大以及人口增长惯性，使得中国人口规模的扩大持续至今。针对有学者建议政府松绑二胎，我们在上面已经建立模型进行预测，发现放宽计划生育政策会加大人口数量对我国经济发展的压力。所以，我国在相当长的一段时期内还应坚持计划生育的基本国策。
经济社会的进步，人们生活质量的提高，人均寿命延长，再加上生育规模的改变等因素，使得使我国人口年龄结构发了较大的变化，，年龄中位数不断增大，老龄人口不断增多，我国已进入老龄化社会。人口老龄化对我国经济社会发展可能造成的影响主要有：1、劳动力相对减少和劳动力平均年龄提高，劳动生产率下降。2、经济年龄人口的老人负担系数提高。3、政府和社会用于老龄人口的财政支出日益沉重，主要表现在养老和医疗方面。由于中国是全球老龄化速度最快的国家，而且老年人口规模庞大，财政压力将更大。 4、引发社会问题，如老龄人口生活相对贫困化，情感上孤独无助等。针对老龄化问题，我们认为应该做到以下方面：1.不断发展科技，提高劳动生产率，健全社会保障体系，发展卫生事业。2.宣传老龄化社会的严峻性，根据老人意愿，正确引导老人延迟退休以缓解社会压力。3.积极发展老年事业，丰富老年人生活，同时不断完善老年人法律法规，规范老年人在社会生活中的行为。
“科技兴国”、“人才强国”战略的实施对人口的文化素质要求不断提高。人口素质不高制约着经济发展的模式、速度和经济增长方式的转变，同时还影响我国走新型工业化道路。因此，我国还要不断加大对教育的投入力度，首先要加大对农村教育的投入，其次应当高度重视基础教育和职业技术教育，最后要关注农村教育事业，提高广大农民的文化素质
除此之外，人口流动促进了城市化发展、市场经济的繁荣和经济社会事业的改革发展，有利于充分利用劳动力资源。同时也存在许多问题，如没有从制度上保障流动人口的权益，管理问题日益突出等。但总体而言，人口流动利大于弊。针对这一情况，我们应该做到以下几个方面的工作：1.要建立统一、开放、竞争、有序的劳动力市场2.改革户籍管理制度，保障公民正常迁移和择业的权利3.加快建立城乡统筹的社会保障体系，促进人口自由流动配置。

7.模型检验
针对灰色预测模型，我们采用2000至2008年的人口总量预测2009年的人口，又用2001至2009（预测值）的数据预测2010年的人口总量，得到了结果我们计算出两组数据与实际数据的误差在可以接受的范围内，可见灰色预测模型的正确性，我们将结果和中国国家预测局的数据进行对比，比较接近，说明结果准确度较高。
考虑到生育率和死亡率是随时间变化的，我们可以定义生育率和死亡率为时间函数，这样能更好地检测出人口的变化。

8. 模型改进与推广
第一问中计算结果误差较大，改进时应改用实际GDP计算。
灰色预测模型：在此模型中我们采用了用最新的八个数据预测后五个数据的方法，虽然在模型检验中验证了模型的稳定性和很高的精度，但我们发现它与实际的数据也有一定的误差，考虑到灰色预测模型的原理决定了它有一些自身不可避免的误差，我们通过比较发现可以采用线性拟合、阻滞增长模型和灰色预测模型分别求出它们的各自的预测值，再采取一定的方法给各个预测值赋一定的权值。

参考文献
[01] 袁新生，《LINDO和Excel在数学建模中的应用》北京：科学出版社，2007年。
[02] 曹戈，《Matlab实用教程》北京：电子工业出版社，2012年
[03] 中华人民共和国统计局，《中国统计年鉴》，， 2012.08.17

附录

附录一：

灰色预测matlab程序
 y=input('请输入数据 ');%输入数据
n=length(y);
yy=ones(n,1);
yy(1)=y(1);
for i=2:n
yy(i)=yy(i-1)+y(i);
end
B=ones(n-1,2);
for i=1:(n-1)
    B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2;
    B(i,2)=1;
end
BT=B';
for j=1:n-1
    YN(j)=y(j+1);
end
YN=YN';
A=inv(BT*B)*BT*YN;
a=A(1);
u=A(2);
t=u/a;
t_test=input('请输入需要预测个数：');
i=1:t_test+n;
yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t;
yys(1)=y(1);
for j=n+t_test:-1:2
    ys(j)=yys(j)-yys(j-1);
end
x=1:n;
xs=2:n+t_test;
yn=ys(2:n+t_test);
plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b');
det=0;
for i=2:n
    det=det+abs(yn(i)-y(i));
end
det=det/(n-1);
disp(['预测值为： ',num2str(ys(n+1:n+t_test))]);

附录二：
第三问C语言程序：
include<stdiu.h>
float fun(int n)
float c[];
c[n]=fun(n)=(1.25-l[n-1]/3)c[n-1];
c[1]=fun(1)=11.9;
return c[n];

float function(int n)
float z[];
z[n]=function(n)=(c[n]-s[n-1]+1)*z[n-1];
z[1]=function(1)=(c[1]-s[0]+1)*13.4;
return z[n];

main()
{float s[30]=[30584 35528 41270 47942 55691 64693 75150
87298 101409 117801 136842 158962 184651 214504 249178
289456 338244 390595 453732 527074 612271 711240 826206
959755 1114892 1295105 1504448 1747631 2030120 2358272],
l[30],c[31],z[31];
int i;
for (i=0,i<=30,i++)
l[i]=(5.9026*10^-6)*s[i]+0.8052*10^-6;

for (i=1,i<31,i++)
{ fun(i);
function(i);
prientf("%d,%d",c[i],z[i]);
}
}

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