第一学期线性代数复习知识点及练习题.doc

2008-2009学年第一学期《线性代数》复习知识点和练习题
一、行列式
1．行列式：性质,计算,展开式
例1．设,则 ;
例2．若,则 ;
例3．已知四阶行列式中第三列元素依次为,它们的余子式依次分别为,则 ;
例4．计算四阶行列式.
二、矩阵
1．矩阵的运算：加法,数乘,乘法,转置
2．矩阵的逆：定义,求逆
3．矩阵的初等变换：行阶梯形矩阵,行最简形矩阵
4．矩阵的秩：定义,用初等行变换求秩
例1．设,,则 ; ;
例2．已知,则______;______;______;______;
例3．已知为三阶方阵,且,则______;______;______;
例4．若方阵满足,则_____;______;
例5．设,则______;
例6．设为矩阵且,,则______;
例7．设,求;
例8．求矩阵使.
三、向量
1．向量的线性运算
2．向量的线性表示及判断
3．向量组的线性相关性：定义,判断
4．向量组的秩,极大无关组
例1．已知向量,,且,则 ;
例2．已知向量与正交,则 ;
例3．已知向量,,线性相关,则 ;
例4．设向量组,⑴求向量组的秩;⑵求向量组的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.
四、线性方程组
1．齐次线性方程组的解的判断和性质
2．非齐次线性方程组的解的判断和性质
3．齐次线性方程组的基础解系和通解
4．非齐次线性方程组的通解
例1．若齐次线性方程组有非零解,则 ;
例2．求线性方程组的基础解系和通解;
例3．求非齐次线性方程组的通解.

五、相似矩阵
1．矩阵的特征值和特征向量：定义,求解,性质
2．相似矩阵：定义,性质
3．矩阵的对角化：条件,方法
4．对称矩阵的对角化
例1．三阶方阵的特征值为,则 ; ; ;
例2．设方阵与相似,且,则 ;
例3．设,求的特征值与特征向量;
例4．求正交矩阵使与对角阵相似;
例5．三阶方阵的特征值对应的特征向量,,,求;
例6．已知是矩阵的一个特征向量,则 .
六、二次型
1．二次型：矩阵,
2．二次型正定性判断
例1．已知二次型,⑴写出二次型矩阵;⑵判别此二次型的正定性;

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