湖北省黄冈中学高考压轴题1(数学).doc

黄冈中学高考数学压轴题精选1

1．设函数，
，其中，记函数的最大值与最小值的差为。
（I）求函数的解析式；
（II）画出函数的图象并指出的最小值。

2．已知函数,数列满足,
; 数列满足, .求证:
（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n≥2时,.

3．已知定义在R上的函数f(x) 同时满足：
（1）（R，a为常数）；
（2）；
（3）当时，≤2
求：（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．

4．设上的两点，
满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

5．已知数列中各项为：
个
个
12、1122、111222、……、 ……
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
（2）求这个数列前n项之和Sn .

解答
1．解：（I）
（1）当时，函数是增函数，此时，，
，所以；——2分
（2）当时，函数是减函数，此时，，
，所以；————4分
（3）当时，若，则，有；
若，则，有；
因此，，————6分
而，
故当时，，有；
当时，，有；————8分
综上所述：。————10分
（II）画出的图象，如右图。————12分
数形结合，可得。————14分

2．解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.
（1）当n=1时,由已知得结论成立;
（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,
因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.
故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.————4分
又由, 得,从而.
综上可知————6分
(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,
由,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.
因为,所以,即>0,从而————10分
(Ⅲ) 因为 ,所以, ,
所以 ————① , ————12分
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因为, n≥2,
所以 <<=————② . ————14分
由①② 两式可知: .————16分

3．（Ⅰ）在中,分别令；；得

由①＋②－③，
得
＝∴
（Ⅱ）当时，Î．
（1）∵≤2，当a<1时，≤≤≤2．
即≤≤． ≤≤．
（2）∵≤2，当a≥1时，- 2≤≤≤1．即1≤a≤．
故满足条件的取值范围[-，]．

4．（1）
椭圆的方程为 （2分）
（2）设AB的方程为
由
（4分）
由已知
2 （7分）
（3）当A为顶点时，B必为顶点.S△AOB=1 （8分）
当A，B不为顶点时，设AB的方程为y=kx+b

（11分）

所以三角形的面积为定值.（12分）

5（1） ……………………………… (2分 )
…………………………………(4分)
个
记：A = , 则A=为整数
= A (A+1) ， 得证 ………………………………………………………( 6分) (2) ………………………………………………… (8分)
……………………………………………(12分)