高等数学电子教案：第3章-微分中值定理与导数的应用.doc

章节
第三章 微分中值定理与导数的应用
§1 微分中值定理
课时
2
教
学
目
的
掌握三个中值定理的内容
教学
重点
及
突出
方法
中值定理的证明
教学
难点
及
突破
方法
利用中值定理证明的技巧。
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社

教

学

过

程
教学思路、主要环节、主要内容
在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：
设有连续函数，a与b是它定义区间内的两点(a＜b＝，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)内的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易看到，    差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此    成立。
   注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理
罗尔定理　如果函数f(x)在闭区间[a , b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a) = f(b)，那么在(a,b)内至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：。
拉格朗日中值定理　如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么(a,b)内至少有一点，使等式 (1)成立。
柯西中值定理　如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点，使等式
(2)成立。
例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根
    证明：不难发现方程左端是函数的导数：    函数在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且，由罗尔定理 可知，在0与1之间至少有一点c，使，即         也就是：方程在0与1之间至少有一个实根

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第三章 微分中值定理与导数的应用
§2 洛必达法则
课时
2
教
学
目
的
掌握利用洛必达法则法则求极限的方法
教学
重点
及
突出
方法
利用洛必达法则法则求极限
教学
难点
及
突破
方法
利用洛必达法则法则求极限
相关
参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
对于函数f(x),g(x)来说，当x→a(或x→∞)时，函数f(x),g(x)都趋于零或无穷大，  则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为型。
我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？   下面的洛必达(L'Hospital)法则，它就是这个问题的答案   注：它是根据柯西中值定理推出来的。
洛必达(L'Hospital)法则：   当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内(或当│x│＞N)时，与都存在，≠0，且存在   则：=
证明思路: 补充定义x=a处f(x)=g(x)=0则[a,a+) 上==
即 x时,x,于是=
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的洛必达(L'Hospital)法则
   注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破绽。
定理推广:由证明过程显然定理条件x可推广到x, x,x。所以对于待定型,可利用定理将分子、分母同时求导后再求极限。
注意事项:
1.对于同一算式的计算中,定理可以重复多次使用。
2.当算式中出现Sin或Cos形式时,应慎重考虑是否符合洛必达法则条件中与的存在性。
向其他待定型的推广。
另外，若遇到 、、 、 、 等型，通常是转化为型后，在利用法则求解。

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第三章 微分中值定理与导数的应用
§3 泰勒公式
课时
2
教
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目
的
掌握泰勒公式
教学
重点
及
突出
方法
泰勒公式及函数单调性的判别法
教学
难点
及
突破
方法
泰勒公式的展开
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参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社
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教学思路、主要环节、主要内容
在x=附近关于点的泰勒公式：

在x=0 处的关于x 的泰勒展开公式.即: （麦克劳林公式）
注意:虽然泰勒公式是在x="附近"展开,但是事实上x可以取f(x)定义域内任意值,只不过若|x-|过大(即x离过远)时,相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是,无论如何泰勒公式总是成立的,当固定后,不同的x将使发生变化,并使变化,从而影响对f(x)的近似精度.

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第三章 微分中值定理与导数的应用
§4函数单调性与曲线的凸凹性
课时
2
教
学
目
的
掌握函数单调性的判别法
掌握曲线的凹凸性判别法
教学
重点
及
突出
方法
函数的单调性的判别法
曲线的凹凸性判别法
教学
难点
及
突破
方法
函数的单调性的判别法
曲线的凹凸性判别法及拐点的求法
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参考
资料
《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
教学过程
函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
  我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.
判定方法：  设函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.
   a)：如果在(a,b)内＞0，那末函数在[a,b]上单调增加；
   b)：如果在(a,b)内＜0，那末函数在[a,b]上单调减少
例题：确定函数的增减区间.   解答：容易确定此函数的定义域为(－∞,＋∞) ， 其导数为：，因此可以判出： 当x＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)； 当x＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；
注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的
通过前面的学习，我们知道由一阶导数的正负，可以判定出函数的单调区间与极值，但是还不能进一步研究曲线的性态，为此我们还要了解曲线的凹性。
定义：  对区间I的曲线y=f(x)作切线，如果曲线弧在所有切线的下面，则称曲线在区间I下凹，如果曲线在切线的上面，称曲线在区间I上凹。
曲线凹向的判定定理
  定理一：设函数y=f(x)在区间(a,b)上可导，它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是： 导数f/(x)在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。
  定理二：设函数y=f(x)在区间(a,b)上可导，并且具有一阶导数和二阶导数；那末：若在(a,b)内，f//(x)＞0，则y=f(x)在[a,b]对应的曲线是下凹的；若在(a,b)内，f//(x)＜0，则y=f(x)在[a,b]对应的曲线是上凹的；
拐点的定义:  连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。
拐定的判定方法:如果y=f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定y=f(x)的拐点。
(1)：求；(2)：令=0，解出此方程在区间(a,b)内实根；
 (3)：对于(2)中解出的每一个实根x0，检查在x0左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点。

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第三章 微分中值定理与导数的应用
§5 函数的极值与最大值最小值
课时
2
教
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目
的
掌握函数的极值及其求法，最大值最小值问题
教学
重点
及
突出
方法
函数的极值及其求法，最大值最小值问题
教学
难点
及
突破
方法
函数的极值及其求法
相关
参考
资料
《《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
函数极值的定义：  设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内一点.  若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，f(x)＜f(x0)均成立， 则说f(x0)是函数f(x)的一个极大值；  若存在着x0点的一个邻域，对于这个邻域内任何点x(x0点除外)，f(x)＞f(x0)均成立，    则说f(x0)是函数f(x)的一个极小值.  函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。  学习这个问题之前，我们再来学习一个概念——驻点
  凡是使f/(x)=0的x点，称为函数f(x)的驻点。  判断极值点存在的方法有两种：如下
方法一： 设函数f(x)在x0点的邻域可导，且f/(x0)=0.
  情况一：若当x取x0左侧邻近值时，f/(x)＞0，当x取x0右侧邻近值时，f/(x)＜0， 则函数f(x)在x0点取极大值。
  情况二：若当x取x0左侧邻近值时，f/(x)＜0，当x取x0右侧邻近值时，f/(x)＞0，则函数f(x)在x0点取极小值。
  注：此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。
  用方法一求极值的一般步骤是：(1)：求f/(x)；(2)：求f/(x0)=0的全部的解——驻点； (3)：判断f/(x)在驻点两侧的变化规律，即可判断出函数的极值。
方法二：  设函数f(x)在x0点具有二阶导数，且f/(x0)=0时f//(x0)≠ 0.则：a)：当f//(x0)＜0，函数f(x)在x0点取极大值；b)：当f//(x0)＞0，函数f(x)在x0点取极小值；
c)：当f//(x0)=0，其情形不一定，可由方法一来判定。在工农业生产、工程技术及科学实验中，常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使"产品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。 这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。
   怎样求函数的最大值、最小值呢？前面我们已经知道了，函数的极值是局部的。要求f(x)在[a,b]上的最大值、最小值时，可求出开区间(a,b)内全部的极值点，加上端点f(a),f(b)的值，从中取得最大值、最小值即为所求。

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第三章 中值定理与导数的应用
§6 函数图形的描绘 §7 曲率 §8 方程的近似解
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的
掌握利用导数的性质绘制函数图形
掌握求曲线在一点处的曲率
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重点
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突出
方法
函数图形的绘制。
教学
难点
及
突破
方法
函数图形的绘制。
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《高等数学（第一册）》（物理类），文丽，吴良大编，北京大学出版社
《大学数学 概念、方法与技巧》（微积分部分），刘坤林，谭泽光编,清华大学出版社，
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教学思路、主要环节、主要内容
定义:若则称ax+b为f(x)的一条渐进线.
定义:若则称x=c为f(x)的一条垂直渐进线.
定理:若f(x)的一条渐进线为ax+b 则,
函数图象描述的基本步骤:
1.确定y=f(x)的定义域并讨论函数的基本性质,如奇偶性,对称性\周期性等.
2.求出与及与不存在的各点.
3.由2的结果函数的上升,下降区间,及图形的上凸,下凸区间以及各极值点.
4.定出函数的渐近线. 5.描点作图.
平均曲率，这个定义描述了AB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定义，为了方便使用，一般令曲率为正数，即：。 ，即为曲率的计算公式
一般称为曲线在某一点的曲率半径。
3.10 方程的近似解法
应用前提：方程f(x)=0，则f(x)应满足：（1）f(x)在[a，b]连续，f(a)与f(b)不同号。（2）f/(x)在（a，b）内连续且不变号。（3）f//(x)在（a，b）内连续且不变号。
应用步骤：首先：判断方程是否满足应用前提，先对端点a，b求f(a)、f(b)，取与f//(x)同号的一点为起点。过起点做f(x)的切线，交x轴于x1。然后：过（x1，f(x1)做f(x)的切线，交x轴与。以次类推，直到满足精度要求。
迭代公式为 。

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第三章 中值定理与导数的应用
习题
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解决第三章的习题中存在的问题。
教学
重点
及
突出
方法
中值定理的应用，洛必达法则求极限，函数的单调性，函数的极值和最值，曲线的拐点。
教学
难点
及
突破
方法
补充一些习题及历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔思路。利用中值定理进行证明。
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参考
资料
《数学复习指南》2004版（理工），陈文登，黄先开，世界图书出版社
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教师授课思路、设问及讲解要点
处理第二章习题中的各种问题，并补充历届考研题及陈文登复习资料的习题，开阔学生的解题思路。
分类讲解习题，提供解题方法及思路。