人口结构与经济发展2.doc

人口结构与经济发展研究
摘要
本文分析了包括人口结构在内的影响中国经济发展的主要因素，预测了未来30年内中国人口结构，研究了延迟退休年龄对中国经济发展的影响。
对于问题一，本文采取多元线性回归法，以反映经济发展情况的GDP作为因变量，以全社会固定资产投资、第三产业产值比例、就业人口数、高素质人才比例为自变量，参考1981-2010年的统计资料，通过SPSS软件，解得系数标准化后得到的回归方程为：，经检验，模型的拟合优度很好，回归系数也都通过了检验。可以认为这四个因素对经济发展均有显著影响。
对于问题二和问题三，本文建立了连续人口发展模型。根据国家政策的不同，调整总和生育率，通过对往年人口数据的拟合，求解在t时刻年龄小于r的人口数量函数，并由此推算30年内各年龄段的人口变化趋势。就中国目前的生育政策，即总和生育率控制在1.8，解得儿童（0-14岁）比例稳定在19%左右，老年（60岁以上）比例由2011年的14.6%逐步增加至2041年的27.1%。青壮年比例则逐年下降。若放宽一胎化，儿童比例将由2011年的18.6%逐步增加至2041年的23.6%，老年则由14.3%增加至21.0%。可见，放宽一胎化将使青少年人口比例升高，老龄化问题得以改善，但总人口将在2045年达到峰值16亿。
对于问题四，通过分析延迟退休年龄与就业人数、就业增长率与GDP增长率之间的量化关系，得到，由此式可计算延迟退休年龄后短期内增加的就业人口数对GDP增长的影响。本文假设在2010年实行该政策，参考2010年的统计数据，得到延迟退休年龄5年对GDP增长的贡献率为2.718%.
对于问题五，对于当前社会上暴露出的人口老龄化等问题，结合对以上问题的分析，本文对中国人口结构和经济可持续发展给出了建议：稳定低生育水平，提高人口素质，改善产业人口结构，引导人口合理分布，实现人口大国向人力资本强国的转变，最终实现经济社会可持续发展。

关键词：多元线性回归 连续人口发展模型 总和生育率

一、问题重述
1.1 问题背景
自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”。2010年2月14日日本共同社发布消息指出，2010年日本名义GDP为54742亿美元，比中国少4044亿美元，中国已成为全球第二大经济体。强大的经济实力和发展潜力使得中国在各个领域取得了举世瞩目的成就，这些成功不但源于前瞻性的科技政策指导和强大的经济支撑，而且也源于中国高素质的人才资源储备。近年来，“中国制造”引领世界产业潮流，并强力改变着全球产业格局，可谓随处可见“中国制造”。以雄厚的经济实力和丰富的劳动力资源为基础，中国的文化传播和武器出口，无论从质量和数量上都稳步提高——中国声音在国际舞台上越来越强有力。
我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
人口与经济发展的关系问题历来是人类社会最基础的问题，我国自开始实行计划生育政策后，在控制人口数量方面取得显著成果。然而，最近在社会上出现了一些新的现象。比如：礼貌道德危机事件，征兵体检标准放宽，专家建议延长退休年龄，松绑二胎，养老金缺口加大，中国科学院大学的建立等等。这些消息和舆论热点层出不穷，我们不可否认现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，它们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧，值得我们深思。
1.2 目标任务
针对上述思考和担忧，本文着重解决和回答了以下五个问题：
(1) 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。
(2) 就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(3) 如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(4) 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。
(5) 基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。
二、模型假设
1. 假设查找的数据资料能够正确反映当前社会的真实情况。
2. 假设放宽二胎后人口总和生育率稳定在2.1左右。
3. 假设不考虑移民对总人口的影响。
4. 假设在预测人口模型中各项指标均在自然资源和环境的承载能力之中。
5. 假设不考虑战争、重大自然灾害等因素对人口死亡率的影响。
三、符号说明
符号
符号说明

因变量（国内生产总值）

常数虚拟变量

自变量

自变量的产出弹性

随机误差

回归设计矩阵

残差平方和

表示时刻t年龄在内的人数

时刻年龄的人的死亡率

女性性别比函数

女性在单位时间内平均每人的生育数

生育模式

生育率

就业增长率

GDP增长率

行业部门的就业系数，

部门的GDP增长率

i岁劳动者总量

i岁劳动者总量劳动力参与率

四、问题分析
对问题一，题目要求对影响经济发展的主要因素进行分析，并阐明人口结构对经济发展的作用。从问题角度出发，文章要分析历年经济统计数据，以往年统计数据为基础，通过数学模型说明诸如固定资产投资、资源、人口结构、产业布局、三产产值等因素对经济发展的影响，并对其重要程度给出客观评价。在分析资料过程中发现，决定经济发展的制约因素很多，可区分为直接影响因素和间接影响因素。根据对资料的分析，本文确定全社会固定资产投资额、第三产业产值占国民生产总值的比例、高素质人才所占人口比例、就业人口的数量等四个指标为对经济发展的影响因素。在模型的建立过程中，选取反映人类社会经济活动的国内生产总值为被解释变量，利用多元线性回归分析法，以SPSS统计软件为工具，定量分析1981～2010年30年的年度数据中各影响因子对我国经济发展的影响。
要阐明人口结构对经济发展的作用，必须理清人口与经济发展的的关系问题。如果说数量问题是20世纪中国人口的核心问题的话，那么结构问题就是21世纪中国人口的核心问题。有研究表明，人口素质不断提高为经济发展提供了高素质人才，但是，人口数量的不断膨胀，人口素质偏低，人口结构不稳定，会造成人口与经济发展不协调，在一定程度上影响和制约了一国经济、资源、环境的协调发展和可持续发展。
对问题二，题目要求就当前中国人口政策，建立相应的数学模型，实现对中国未来30年的人口结构的预测。本文中假定随着我国经济社会发展和计划生育工作加强，在全面建设小康社会时期我国的总和生育率维持在1.8左右。本文欲建立一个连续函数模型来预测人口数量，将时间代入后可以得到相应的人口数。此种函数是随着增大的非递减函数。连续型人口发展方程能够描述人口的演变过程，从这个方程确定出人口密度函数后，立即可以得到各个年龄段的人数，即人口分布函数。通过人口密度函数就可以预测未来30年内的中国人口结构。
对问题三，要求在放宽一胎化生育政策的情况下，建立数学模型，预测未来30年的人口结构。在放宽一胎化生育政策的情况下，我们假设总和生育率将达到2.1，并维持在此左右。利用问题二中的模型求得的人口分布函数，只需将总和生育率从1.8调整为2.1重新计算即可。
对问题四，题目要求定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。随着人口老龄化的加剧，为开发人力资源，弥补巨大的养老金缺口，延迟退休年龄已成为世界上大多数国家普遍采取的对策。然而，由于担心延迟退休年龄有可能会挤压岗位的供给，进一步的加剧年轻人就业的紧张形势。这一举措也遭到延迟退休国家民众的普遍反对。是否能够定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响，用数据表明这一影响程度的大小来说服人们呢？本文将由经济增长与就业的关系，导出经济发展与就业之间的模型，再通过分析延迟退休年龄与就业之间的量化关系模型，揭示了延迟退休年龄与就业、经济发展之间内在关系。
对问题五，题目要求就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。当前社会上暴露出一些新的人口问题，文章认为人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，它们集中反映了人们对当前中国人口结构和经济可持续发展的思考和担忧。对此，我们小组就中国人口结构和经济可持续发展提出了几点建议。
五、模型建立与求解
5.1 问题一模型的建立与求解
5.1.1 模型的准备
回归分析方法是统计分析的重要组成部分，它是用来研究随机变量之间的关系，是研究建模问题的一种常用的方法。回归分析的主要内容是：
（1） 从一组数据出发，确定这些变量（参数）间的定量关系（回归模型）；
（2） 对模型的可信度进行统计检验；
（3） 从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些是
不显著的，显著的保留，不显著的忽略）；
（4） 应用结果对实际问题作出判断。
5.1.2 模型的建立
5.1.2.1 多元线性回归模型
多元线性回归考虑的是因变量Y与多个自变量X1,X2,…,Xn之间的线性关系
（1）
其中β0,β1,β2,…,βm是未知参数，X1,X2,…,Xm是m个可以精确测量并可控制的一般变量，ε是随机误差。
为了估计回归系数β0,β1,β2,…,βm,要对变量进行n次观察，得到n组观察资料
(Yi,，Xi1,Xi2,…Xim) , i=1,…,n。一般要求n>m。于是回归关系可写为
（2）
其中ε1,ε2,…,εn独立同分布，都满足式(2)。
将其回归模型采用矩阵形式来表示。则令

则多元线性回归模型为
（3）
其中n×(m+1)矩阵X称为回归设计矩阵，一般情况下假定X列满秩，即
rk (X)=m+1。式(5)称为多元线性模型。
5.1.2.2 回归系数的最小二乘估计
下面求模型参数的最小二乘估计(Least Square Estimate,LSE)。
残差平方和为
（4）
最小二乘法则即要求使
（5）
或记为
（6）
因为是的二次可微函数，极值点处的各偏导数为0。采用矩阵微商记法
（7）
即
（8）
它称为正规方程。若X列满秩，则为非奇异阵，其逆矩阵存在，左乘式(12)两边得的最小二乘解
（9）
可以验证式(13)确能使达最小值。当且仅当对取得最小值。
定理1 (Gauss Markov)线性回归模型
（10）
中回归系数β的最小二乘解
（11）
是β的唯一最小方差线性无偏估计。
5.1.2.3 多元线性回归模型的统计检验
（1）拟合优度检验
测定多元线性回归的拟合程度，使用多重判定系数，定义为：
，，越接近于1，回归平面拟合程度越高；反之，越接近0，拟合程度越低。
（2）回归模型的显著性检验
主要是检验模型是否一定与解释变量有密切的关系，即是否具有式（1）的形式。提出假设为
H0∶β1=β2=…=βp=0
建立F统计量
（12）
对给定显著性水平（0.01或0.05），查得临界值Fα(p-1,n-p)，
当F>Fα(p-1,n-p)时，认为模型是显著的，拒绝H0，即认为了Y与X1，…，Xp之间存在显著的线性关系，自变量的变化确实能反映因变量的线性变化。
当F<Fα(p-1,n-p)时，认为模型是不显著的，接受H0，即否认了Y与X1，…，Xp之间存在显著的线性关系，自变量的变化无法反映因变量的线性变化。
5.1.3 模型的求解
5.1.3.1 对经济发展影响因素指标的选取
（1）指标选取的原则 决定经济发展的因素很多，可以区分为直接影响因素和间接影响因素。选取的原则是：应能主要反映我国经济发展水平，反映问题的主要因素，能反映国家经济在一定时期的变化趋势。同时为了定量测量和分析的需要，需要考虑指标的科学性、客观性、合理性和可获得性。
（2）确定模型指标 结合我国经济发展的实际情况，选取可能反映社会经济发展情况的4项指标，因变量为国内生产总值，自变量为全社会固定资产投资额、第三产业产值占国民生产总值的比例、高素质人才所占人口比例、就业人口的数量。
5.1.3.2 数据来源和研究方法
改革开放以来，我国经济持续高速发展，因此本文选择中国统计年鉴1981～2010年共30年的年度资料来定量分析各影响因素对经济发展的影响。为了更好地解释经济发展与其他自变量之间的数量关系，本文采用多元回归统计方法，利用SPSS软件建立回归方程，分析各变量之间的关系。
5.1.3.3 参数估计结果及统计检验
根据所建立的回归方程模型，模型中为变量的产出弹性，所以有；为随机误差项，描述变量外的因素对模型的干扰；为常数虚拟变量，包含政策等因素的影响。运用SPSS15.0强行进入（Enter）法得到以下回归方程：
（13）
拟合优度检验：
Model Summary
Model
R
R Square
Adjusted R Square
Std. Error of the Estimate
1
.997a
.995
.993
9110.13666
a. Predictors: (Constant), 三产比例, 投资额, 高素质人才比, 就业人口数
图 1
由上表可以看出，R及R2反映了回归方程与样本观测值的拟合优度，相关系数R=0.997,决定系数R2=0.995，接近于1，表明拟合优度很好。
回归方程检验：
方差分析表如下图：
ANOVAb
Model
Sum of Squares
df
Mean Square
F
Sig.
1
Regression
1.574E11
4
3.934E10
473.981
.000a
Residual
8.299E8
10
8.299E7

Total
1.582E11
14

a. Predictors: (Constant), 三产比例, 投资额, 高素质人才比, 就业人口数

b. Dependent Variable: GDP

图 2
表格显示，回归平方和为1.574E11，，残差平方和为8.299E8，总平方和为1.582E11。F统计量的值为473.981，Sig.<0.05，可以认为所建立的回归方程有效。

回归系数检验：
回归系数表如下图所示：
Coefficientsa
Model
Unstandardized Coefficients
Standardized Coefficients
t
Sig.
B
Std. Error
Beta
1
(Constant)
-1.216E6
309391.491

-3.929
.003
投资额
1.169
.090
.876
12.919
.000
就业人口数
21.247
5.504
.456
3.860
.003
高素质人才比
-7951.618
6429.710
-.143
-1.237
.244

三产比例
-5841.286
2698.934
-.172
-2.164
.056
a. Dependent Variable: GDP

图 3

因变量Y对四个自变量的回归的非标准化回归系数分别为1.169、21.247、7951.618、5841.286，对应的显著性检验的t值分别12.919、3.860、-1.237、-2.164，四个回归系数的显著性水平Sig.均小于0.05，可以认为四个自变量对因变量Y均有显著影响。此模型得到较好的模拟结果。
系数标准化后得到的回归方程为：
（14）
5.1.3.4 结果分析
根据式（14）所得到的回归方程模型可以对影响我国经济发展的主要因素做出客观评价。从模型中可以看出：
（1）在影响我国经济发展的众多因素中，全社会固定资产投资对经济发展的贡献是最大的，其产出弹性为0.876。说明自改革开放以来，我国不断加大对经济建设的投资额度，它对我国经济发展起到了决定性的作用，说明了资本投入深化所带来的显著影响，这与事实是相吻合的。
（2）就业人口总数对经济发展的影响次之，其弹性为0.456。从就业人口数和经济发展的互动关系来看，目前就业人口数与经济发展之间的协调程度较好，劳动生产率较高。因为我国经济处在高速发展的时期，同时每年都有大量的新生劳动力补充到国家经济建设的战线上来。在一定程度上也说明全社会固定资产投资额的不断增加也带动了就业人口的不断增加。
（3）从模型中可以看出，从改革开放到现在我国经济发展过程中，第三产业所占比重和高素质人才所占比重一直与我国经济发展成负相关，产出弹性分别为-0.172和-0.143。这说明在我国经济高速发展过程中，第三产业所占比重和高素质人才所占比重一直在一定程度上制约着我国经济的发展。高素质人才和第三产业的比重所带来的经济价值与经济总量的飞速增长是不协调的。这与发达国家有着较为明显的差距，也与我国的国情和实际情况相符合。
5.1.4 人口结构对经济发展的影响
我国自开始实行计划生育政策后，在控制人口数量方面取得显著的成果。然而随着人口生育率的急剧下降和人口老龄化进程加速，新的人口问题即人口结构极不寻常的蜕变显现出来。人口结构包括的因素很多：性别比、城镇化水平、产业人口结构及人口受教育水平等，这些方面都与经济发展有一定的相关性。
（1）从对模型的分析中可以看到，高素质人才所占的比重的大小对经济发展有较大的影响。舒尔茨理论认为，经济发展的程度在很大程度上是取决于一国的人口素质的高低，人口素质越高，对经济发展的贡献也越高。当前乃至自改革开放以来，我国高素质人才总数一直与经济发展不协调，在模型中呈现出负相关，这对我国经济发展是不利的。这也切合了国家提出的科教兴国战略来提高人口素质，促进经济发展。
（2）对模型分析可以看到，就业人口数量在总人口中所占的比重与经济发展呈正相关，说明就业人口的不断增多，会带来更多的社会财富生产能力，进而带来更多的社会财富，促进经济发展。
（3）对模型分析可以看到，第三产业所占比重与我国经济发展成负相关。第三产业的发展不足带来了产业人口结构的不合理分布。2010年我国第一、二、三产业人口结构分别是36.7%、28.7%、34.6%，2000年我国的这一数据为50.0%、22.5%、27.5%，虽然这一结构在不断地趋于合理化，但明显与我国现代化进程不相协调。与世界发达国家相比，我国第三产业对经济的影响还有很大的空间，合理的调整三大产业人口结构对我国经济还有更大的促进作用。
5.2 问题二模型的建立与求解
5.2.1 模型的建立
本文欲建立一个连续函数模型来预测人口数量，将时间代入后可以得到相应的人口数。假设有此种函数, 它表示在时刻，年龄小于的人口数量。可以知道，是随着增大的非递减函数。
对取导数，将其定义为人口密度函数

则表示时刻t年龄在内的人数。
记为时刻年龄的人的死亡率，则表示时刻年龄在内单位时间的死亡人数。
为了得到满足的方程，考察时刻年龄在的人到达时刻的情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为[ ，]，这里 。而在的这段时间里死亡的人数为。于是

两边同时除以，得到

这是人口密度的一阶偏微分方程，其中死亡率为已知函数。
求定结条件：初始密度函数 ，即是求第一年的各年龄人数与年龄的关系。单位时间出生率 ，也称为婴儿出生人数，即时刻年龄为0的人口数量。则数学模型为如下：

这个连续型人口发展方程描述了人口的演变过程，从这个方程确定出密度函数后，立即可以得到各个年龄段的人数，即人口分布函数。在社会安定的前提下，死亡率与时间关系并不明显，所以假设，则偏微分方程的解为：

下面对进行进一步分解。
记女性性别比函数为，即时刻年龄在的女性人数为 。
将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作 ，设育龄区间为,则：

再将定义为：。其中生育模式满足
于是

的直接含义就是时刻单位时间内平均每个女性的生育数。如果所有女性在她的育龄期所及的时刻都保持这个生育数，那么也表示平均每个女性一生的总和生育率。
模型中死亡率、性别比函数和初始密度函数可以由人口统计资料直接获得，或在资料的基础上估计，而生育率和生育模式则是可以用于控制人口发展过程的两种手段。可以控制生育的多少，可以控制生育的早晚和疏密。我国的计划生育政策正是通过这两种手段实施的。
从控制论观点看，在模型的限制条件中，可视为状态变量，可视为控制变量，是分布参数系统的边界控制函数。控制输入中含有状态变量，形成状态反馈， 视为反馈增益，并且通常是一种正反馈。
5.2.2 模型的求解
本文仅展示对男性人口预测的方法和步骤，女性人口预测的方法和步骤类似。
（1）求死亡率
时刻t年龄段r的死亡率为同一年龄区间的死亡人口与总人口之比。由于假设各年龄段死亡率与时间t无关，即，本文选择2010年的统计数据作为参考，以男性总体死亡率为例。对男性总体死亡率随年龄的变化图进行拟合，如图：

图 4 男性总体死亡率随年龄变化图
拟合得到：
（2）求初始密度函数
初始密度函数，即令t取0，求人口与年龄间的关系。本文以2010年作为初始年份，以男性人口数为例，可得：

图 5 男性人口数随年龄变化图

拟合后得到函数：

（3）求单位时间生育率
对于问题二，经查阅资料得知，中国目前的生育政策是控制总和生育率为
1.8，保持该政策30年不变，而女性的生育年龄段为15岁至49岁，则
为每年的新生婴儿数量。

图 6 女性生育率随年龄变化图

可用高阶方程拟合

（27）
代入求解，得到函数：

图 7 不同年龄段人口比例随时间变化图

图 8 预测得到分结构人口数量图

从上图各个年龄段所占总人口百分比，可以得出：
（1） 中年（15-59岁）占总人口比例是逐年下降的，育龄女性所占比例也是减少的，而我国生育率为1.8，处于一个较低的水平，这将导致新生婴儿的减少，导致儿童（0-15岁）的减少。
（2） 随着医疗及生活水平的提高，死亡率在下降，老年人（60岁以上）生存下来的几率更高，而新生婴儿数量的减少和中年占总人口比例的减少将导致老年人口的比例提高。
5.3 问题三模型的建立与求解
对于问题三，如果实行放宽一胎化生育政策，总和生育率将达到2.1，

而各年龄段死亡率、人口初始密度函数均不变。
得到人口密度函数：

图 9 不同年龄段人口比例随时间变化图

图 10 预测得到分结构人口数量图

从上图中我们可以看出：
（1） 实行放宽一胎化生育政策后，我国的新生婴儿数量会增加，导致儿童数量逐年递增，从而使儿童占总人口比例逐渐提高；
（2） 儿童增加，成年后成为中年人，使中年人较放宽一胎化生育政策前人数增多，会减缓中年占总人口比例的下降；
（3） 老年人口还是逐年增加的，但是增加的幅度减小。
5.4 问题四模型的建立与求解
5.4.1 模型的分析
延迟退休年龄在短期内会增加就业人数，增加劳动力，促进经济的发展，而GDP的增长又可以带动就业增长，本文将由经济增长与就业的关系， 导出经济发展与就业之间的模型， 再通过分析延迟退休年龄与就业之间的量化关系模型，得到延迟退休年龄对经济发展的影响关系量化模型。
将就业增长率设为，GDP增长率设为则
（29）
为就业增长率与GDP增长率的比例系数，在此命名为就业系数。即GDP每增长1 个百分点可以带动的就业增长的百分点。显而易见，就业系数越大， 吸收劳动力的能力就越强，反之则越弱。从该式我们不难看出， 在就业系数一定的情况下，GDP的增长率与从业人数的增长率呈同向变化，即经济发展是促进就业增长的最直接动力， 经济的增长会明显带动就业率的提升。
在实际中，各产业部门对劳动力的吸纳能力有所不同，即各产业部门的就业弹性系数各不相同一般说来，如果按照传统的产业划分方法，以各类服务业为代表的第三产业的就业弹性系数大于以重化工业和制造业为代表的第二产业，而第二产业的就业弹性系数又大于以农业和采掘业为代表的第一产业。因此，我们可以将该式进一步表示为: （30）
其中，为行业部门的就业系数，为部门的GDP增长率。
该式左边的从业人数增长率为从业人数增加量与初始从业人数的比值，若用表示参加就业的劳动力，则为从业人数的增加量，从而可以将从业人数增长率简单表示为:
（31）
将（31）式代入（30）式可得：
（32）
这样，从业劳动力与经济发展之间的关系就可由( 32) 式简单地表示出来了
下面考虑延迟退休年龄在短期内对就业的影响。由于延迟退休年龄短期内最直接的效应就是会增加从业劳动量，所以，研究延迟退休年龄对就业的影响，就是要评估因延迟退休年龄而产生的那部分从业劳动力增量对就业的影响程度。将(32) 式进一步限定于延迟退休年龄条件下的从业劳动力与经济发展之间的关系:
（33）
(33) 式中，为因延迟退休年龄而产生的从业劳动力增量，等于推迟退休年龄后的实际从业人数减去推迟退休年龄前的实际从业人数( 即初始)。这样就将问题集中在如何表示上。
5.4.2 模型的建立
直接来统计从业劳动力是一项非常复杂和困难的工作，因此，可以根据人口统计数据和劳动参与率来粗略估计某一时期从业劳动力的总量。
所以，假设，现存的i岁劳动者总量为，其相应的劳动力参与率为，即为i岁劳动者的总从业人数。以此类推，便可得到各个不同年龄的从业劳动力总量为，进一步考虑延迟退休年龄前后的从业劳动力，只需将参加工作的年限加以限定。i岁劳动者若a岁开始参加工作至b岁退休，则总的从业劳动力数量为: ，当退休年龄b发生变化，如延迟m岁至b + m岁时(m＞0)，从业劳动力总量将由变为。的关系式可以表示为：
（34）
将(34) 式带入(33)式，便可得到延迟退休年龄与就业之间的量化关系模型:

式中i:劳动者的年龄
a:劳动者的就业年龄
b:现行法定退休年龄
m:延迟退休的年数
: i岁人口的平均劳动参与率
: i岁劳动者总量
j: 第j产业部门( j = 1，2，3，…，n)
由公式(35)可以看出，一方面，退休年限m(m＞0)的延迟会增加市场上劳动力的可供给量。一般地，延迟退休的年限m长短与市场上劳动力的可供给总量成正比 。延迟退休的年限m变动越小，市场上劳动力的可供给总量的增量就越小，其对当前就业市场的压力就较小。另一方面，按照充分就业的思想，退休年限 m 的延迟变动， 无论从变动的时间上还是变动幅度上都必须适应经济发展对劳动力的需求变化，以避免严重冲击劳动力市场，进而影响社会的安定。
因此，可以利用公式(35)，在一定的假设条件下，在对未来GDP增长情况及其就业弹性系数的合理预测，通过求解m的最优值便可得到延迟退休年龄的最佳年限选择。
当然，在运用该模型进行预测时，还应考虑到以下因素对结果的影响:
(1)某一产业不同时期(阶段)对劳动力吸纳能力的变化， 即就业弹性系数的变化。总体来说，随着资本要素投入比重的增加和劳动生产率的提高，就业弹性系数将呈下降趋势。但随着经济规模的扩张，就业总量会同时增加。
(2)劳动参与率的变化。处于适龄劳动人口的人，其劳动参与率会因社会保障的普及程度及其待遇标准的高低、个人健康状况、个人和家庭收入及其储蓄和积累资产的多寡等因素的影响而不同。一般来说，如果社会保障普及程度较高、待遇水平较高、个人健康状况较差、个人和家庭收入状况较好、积累的储蓄和其他资产较多，个体的劳动参与率就会较低; 反之，则会较高。
因此，在运用公式(35)进行预测时，要适当划分时间段来设定就业弹性系数和劳动参与率，以保证预测结果的合理性。
5.4.3 模型的求解
本文提出的反映延迟退休年龄对就业影响的计量模型揭示了延迟退休年龄、就业和经济发展之间的内在联系。按照本文提出的计量模型，在既定条件下，只要将相关数值带入模型加以计算即可得到GDP增长率受延迟退休年龄的影响。为简便起见，假设在2010年实行延迟退休年龄至65岁。
1、对就业弹性系数的求解：
运用计量经济分析理论对经济增长与就业的关系进行分析。因为我们所关心的是经济的增长对扩大就业岗位的拉动力，所以，可以不考虑货币因素和人口增长因素的影响，取Y为被解释变量，L为被解释变量。对两个时间序列数据进行单位根检验，Y序列不是平稳的时间序列，L序列为平稳时间序列，若直接对二者进行回归分析，会产生虚假回归现象。一般来说，序列的差分序列可以增长序列的平稳性，但是其系数及模型的经济意义很难解释。解决以上困难的一个可取方法为对两个序列取对数，这是因为在经济分析中，对数序列中包含了原序列的大量信息，原序列的经济意义可以很充分的由对数序列来解释。
通过取对数发现序列的不稳定性大大减弱，可以认为对两个对数序列作回归分析可以避免产生虚假回归现象。用ln（Y）做自变量，ln（L）做应变量。根据表中数据，使用SPSS进行回归分析，得到回归方程：
ln L=9.351533661+0.1618894818*lnY
其中，常系数为：9.351533661，斜率为0.1618894818 ，调整后的，F=370.2938。
通过回归结果的分析可以看到，方程的拟合优度较高，方程与变量的显著性都能通过检验，结果是令人满意的。回归结果表明，就业的弹性为0.1618894818 ，即：当GDP 每变化一个单位时，导致就业总量相应的变化0.1618894818 个单位。表明，我国在经济增长的同时，带动了就业能力的扩大。可见，要解决就业压力的问题必须保持经济的稳定增长。
2、从业人数增长率的求解。
根据我国目前国情，设a=15,b=60,m=5。为简便起见，取全国各行业平均劳动参与率。
本文以2010年的统计数据为参考，可知2010年全国男女人口数与劳动参与率：
表 1 2010年全国男女人口数与劳动参与率
年龄段
男性人口
男性劳动参与率（%）
女性人口
女性劳动参与率（%）
15-19
51904830
25.5
47984284
30.4
20-24
64008573
81.7
63403945
72.2
25-29
50837038
96.4
50176814
82
30-34
49521822
96.9
47616381
84.1
35-39
60391104
96.7
57634855
85.7
40-44
63608678
95.8
61145286
84.6
45-49
53776418
93.8
51818135
76.4
50-54
40363234
88.6
38389937
63.9
55-59
41082938
75.6
40229536
52.1
60-64
29834426
58.9
28832856
38.8
可解得。
3、GDP增长率的求解

这说明在2010年延迟退休年龄5年时，对GDP增长的贡献率为2.718%.
5.5 问题五——对中国人口结构和经济可持续发展的建议
在问题背景中暴露出当前社会一些新现象：由于人口拥挤造成的礼貌道德危机为；兵源数量减少使得征兵体检标准放宽；专家建议延长退休年龄，为了能够充分地发挥高级专业人员的作用，弥补日益增大的养老金的缺口；多名学者要求松绑二胎应对劳动力总量下降趋势；中国科学院大学成立，旨在提高国家对未来高素质劳动力资源的竞争能力等等。文章认为人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，它们集中反映了对当前中国人口结构和经济可持续发展的思考和担忧。对此，我们小组就中国人口结构和经济可持续发展提出几点建议：
1. 继续稳定低生育水平。从持续发展的角度看，中国的水资源、土地资源、能源是最大的约束因素。中国的最大人口容量为16亿，经济发展最优人口为7～10亿，技术发展可能使经济发展力量增强，目前还看不到新技术投入实用的可能。因此，在一段时期内中国的总和生育率保持在略低于更替水平对发展有利，而后应使生育水平保持在人口更替水平左右。
2. 提高人口素质，保证未来劳动力人口的受教育程度在较高水平，特别注重高层次人才培养。一是加大教育投资，继续贯彻科教兴国和人才强国战略，要将解决人口文化教育素质不适应现代化建设需要的矛盾放在重要位置，将人口政策的重点转移到提高人口素质上来。二是发展多层次教育，适应不同劳动者对知识的需求。并且根据国家要求，鼓励促进职业教育，从而为促进社会主义现代化建设培养具有较高实践能力的应用型人才。
3. 合理优化产业人口结构，扩大第三产业对于经济发展的贡献度。改革开放以来，我国第一产业人口加速下降，虽然这一结构在不断地趋于合理化，但与世界发达国家相比，我国第三产业对经济的影响还有很大的空间，合理的调整三大产业人口结构对我国经济还有更大的促进作用。
4.大力发展社会福利保障和医疗保障服务体系，应对老龄化社会的到来。人口老龄化进程加速，意味着劳动年龄人口比重降低，导致劳动力资源减少而制约经济社会的可持续发展。同时在相关政策上要进行相应调整，适当延长工龄，保持劳动年龄人口在比较高的比重。
5.加快建立城乡统筹体制，促进人口有序流动。社会经济的可持续发展必须是有全面与平等保障的劳动力。要打破就业等问题的城乡壁垒，合理配置人力资源。

六、模型评价
6.1 模型的优点：
1、利用多元线性回归模型时，采用了改革开放30年来的数据，数据精度较高，误差较小。采用SPSS15.0对30组数据进行统计分析，结果令人满意。
2、连续人口结构发展预测模方程建立在控制论的基础上，引入控制理论对于模型有更好地宏观把握，易于研究。对实际情况有较为周全的考虑，而且对于人口的实际控制有着很强的理论指导价值，预测结果较为准确；
3、在考虑定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响时，将延迟退休年龄巧妙地与影响就业联系在一起，通过影响就业问题来定量评估对中国经济发展的影响。
6.2 模型的不足:
1、分析影响经济发展的主要因素时考虑的因素不够多，可能导致分析的不是很全面。
2、回归方法拟合参数不能找到数据本质上的关联，过于依赖数据，不能进行长期预测。

参考文献
[1] 姜启源、谢金星、叶俊，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2003。
[2] 周义仓、赫孝良，《数学建模实验》，西安：西安交通大学出版社，2007。
[3] 盛骤、谢式千、潘承毅，《概率论与数理