高中数学复习专题讲座分类讨论思想.doc

高中数学复习专题讲座分类讨论思想
高考要求
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 ”
重难点归纳
分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 分类讨论常见的依据是
1 由概念内涵分类 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类
2 由公式条件分类 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等
3 由实际意义分类 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论
在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论
典型题例示范讲解
例1已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和
（1）用Sn表示Sn+1;
（2）是否存在自然数c和k，使得成立
命题意图 本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力
知识依托 解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质
错解分析 第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出
技巧与方法 本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想 即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案
解 （1）由Sn=4(1–），得
，(n∈N*)
（2）要使，只要
因为
所以，(k∈N*)
故只要Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*）
因为Sk+1＞Sk，(k∈N*) ①
所以Sk–2≥S1–2=1
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3
当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立
当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得
Sk–2＜Sk+1–2
故当k≥2时，Sk–2＞c，从而①不成立
当c=3时，因为S1=2，S2=3，
所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立
因为，又Sk–2＜Sk+1–2
所以当k≥3时，Sk–2＞c，从而①成立
综上所述，不存在自然数c,k,使成立
例2给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l x=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C 求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系
命题意图 本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法 综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力
知识依托 求动点轨迹的基本方法步骤 椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点
错解分析 本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型
技巧与方法 精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式 巧妙地利用角平分线的性质
解法一 依题意，记B（–1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx
设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等
根据点到直线的距离公式得｜y｜= ①
依题设，点C在直线AB上，故有

由x–a≠0，得 ②
将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0
若y≠0，则
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)
若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式
综上，得点C的轨迹方程为
（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a
(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1 ③
此时方程③表示抛物线弧段；
(ii)当a≠1，轨迹方程化为
④
所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；
当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段
解法二如图, 设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足
（i）当｜BD｜≠0时，
设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0
由CE∥BD，得
∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD
∴2∠COA=π–∠BOD
∴

∵

∴整理，得
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)
(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式
综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为
(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)
以下同解法一
解法三 设C(x,y)、B(–1,b)，
则BO的方程为y=–bx，直线AB的方程为
∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ,
∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是

又tan2θ=–b
∴–b= ①
∵C点在AB上
∴ ②
由①、②消去b，得 ③
又，代入③，有

整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0 ④
当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式
a≠1时，④式变为
当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；
当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段；
当a=1时，④表示抛物线弧段
例3若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为
解析 即f(x)=(a–1)x2+ax–=0有解
当a–1=0时，满足 当a–1≠0时，只需Δ=a2–(a–1)＞0
答案 或a=1
例 4 设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小值
解 (1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，
此时f(x)为偶函数
当a≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1 f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)
此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–)2+a+
若a≤，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减
从而函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f(a)=a2+1
若a＞，则函数f(x)在（–∞,a上的最小值为f()=+a，
且f()≤f(a)
②当x≥a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+)2–a+
若a≤–，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–)=–a，
且f(–)≤f(a)；
若a＞–，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增
从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1
综上，当a≤–时，函数f(x)的最小值为–a；
当–＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1；
当a＞时，函数f(x)的最小值是a+