高等数学竞赛试题1答案.doc
《高等数学竞赛试题1答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等数学竞赛试题1答案.doc(27页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
高等数学竞赛试题1 一、 填空: 1.若是上的连续函数,则a = -1 。 2.函数在区间上的最大值为 。 3. 。 4.由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 。 5.设函数由方程所确定,则 。 二、选择题: 1. 设函数f (x)可导,并且,则当时,该函数在点处微分dy是的( A ) (A)等价无穷小; (B)同阶但不等价的无穷小; (C)高阶无穷小; (D)低阶无穷小。 2. 设函数f (x)在点x = a处可导,则在点x = a处不可导的充要条件是( C ) (A)f (a) = 0,且; (B)f (a)≠0,但; (C)f (a) = 0,且; (D)f (a)≠0,且。 3. 曲线( B ) (A)没有渐近线; (B)有一条水平渐近线和一条斜渐近线; (C)有一条铅直渐近线; (D)有两条水平渐近线。 4.设均为可微函数,且。已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项中的正确者为( D ) (A)若,则; (B)若,则; (C)若,则; (D)若,则。 5.设曲面的上侧,则下述曲面积分不为零的是( B ) (A); (B); (C); (D)。 三、设函数f (x)具有连续的二阶导数,且,,求。 解:由题设可推知f (0) = 0,,于是有 。 故 。 四、设函数由参数方程所确定,求。 解:由,,得到,所以 。 而当x = 9时,由及t > 1,得t = 2,故 。 五、设n为自然数,计算积分。 解:注意到:对于每个固定的n,总有 , 所以被积函数在x = 0点处有界(x = 0不是被积函数的奇点)。又 , 于是有 , 上面的等式对于一切大于1的自然数均成立,故有。所以 。 六、设f (x)是除x = 0点外处处连续的奇函数,x = 0为其第一类跳跃间断点,证明是连续的偶函数,但在x = 0点处不可导。 证明:因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点,所以存在,设为A,则A≠0;又因f (x)为奇函数,所以。 命: 则在x = 0点处连续,从而在上处处连续,且是奇函数: 当x > 0,则-x < 0,; 当x < 0,则-x > 0,, 即是连续的奇函数,于是是连续的偶函数,且在x = 0点处可导。又 , 即 , 所以是连续的偶函数,但在x = 0点处不可导。 七、设f (u, v)有一阶连续偏导数,,,证明: 。 解: 设:,则 类似可得, 代入原式左边,得到 八、设函数f (u)连续,在点u = 0处可导,且f(0)= 0,求:。 解:记,应用球坐标,并同时注意到积分区域与被积函数的对称性,有 于是有 。 九、计算,其中L为正向一周。 解:因为L为,故 其中D为L所围区域,故为D的面积。为此我们对L加以讨论,用以搞清D的面积。 当时,; 当时,; 当时,; 当时,, 故D的面积为2×1=2。从而。 十、⑴ 证明:当充分小时,不等式成立。 ⑵ 设,求。 证明:⑴ 因为, 又注意到当充分小时,,所以成立不等式。 ⑵ 由⑴知,当n充分大时有,,故 , 而,于是 , 由夹逼定理知。 十一、设常数,证明:当x > 0且x ≠ 1时,。 证明:设函数, 故要证, 只需证:当;当。 显然:。 命:,则。 当x = 2时,,x = 2为唯一驻点。又,,所以x = 2为的唯一极小值点,故为的最小值(x > 0),即当x > 0时,从而严格单调递增。 又因,所以当;当。 十二、设匀质半球壳的半径为R,密度为μ,在球壳的对称轴上,有一条长为l的均匀细棒,其密度为ρ。若棒的近壳一端与球心的距离为a,a > R ,求此半球壳对棒的引力。 解:设球心在坐标原点上,半球壳为上半球面,细棒位于正z轴上,则由于对称性,所求引力在x轴与y轴上的投影及均为零。 设k为引力常数,则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为: 记。在球坐标下计算,得到 若半球壳仍为上半球面,但细棒位于负z轴上,则 。 高等数学竞赛试题2答案 一、选择题 1. 下列命题中正确的命题有几个?…………………………………………………………( A ) (1)无界变量必为无穷大量; (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量; (3)无穷大量必为无界变量; (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个; (B) 2个; (C) 3个; (D) 4个. 2. 设 , 则是间断点的函数是…………………………( B ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) .. 3. 设为在上应用拉格朗日中值定理的“中值”,则 …………( C ) (A) 1; (B) ; (C) ; (D) . 4. 设连续,当时,与为等价无穷小,令, , 则当时,的 …………………………………… ( D ) (A) 高阶无穷小; (B) 低阶无穷小; (C) 同阶无穷小但非等价无穷小;(D) 等价无穷小. 5. 设在点的某邻域内连续,且满足 则在点处 …………………………………………………………………………………………… ( A ) (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 无极值; (D) 不能确定是否有极值. 6. 设在连续,且导函数的图形如图所示,则有……………… ( D ) (A) 1个极小值点与2个极大值点,无拐点; (B) 2个极小值点与1个极大值点,1个拐点; (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点; (D) 2个极小值点与2个极大值点,1个拐点. 7. 设有连续的一阶导数,则 …………………………… ( B ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) 0 . 8. 设任意项级数 条件收敛,将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为,则与……………………( B ) (A) 两者都收敛; (B) 两者都发散; (C)一个收敛一个发散; (D) 以上三种情况都可能发生. 二、设在区间连续,, 试解答下列问题:(1)用表示;(2)求;(3)求证:; (4)设在内的最大值和最小值分别是,求证:. 解(1) (2) (3) (4) 三、求曲线 所围成的平面图形的面积. [解1]去掉绝对值曲线为: [解2]令. . 四、设曲面为曲线 () 绕轴旋转一周所成曲面的下侧,计算曲面积分 [解1]S的方程为 补两平面 ; [解2] 五、设幂级数 , 当时,且; (1)求幂级数的和函数;(2)求和函数的极值.. 解(1)令 , ,求得 (2)由. 六、设函数可微,, 且满足 求 . 解 ,对y积分得 代入,, , 七、如图所示,设河宽为,一条船从岸边一点出发驶向对岸,船头总是指向对岸与点相对的一点。假设在静水中船速为常数 ,河流中水的流速为常数 ,试求船过河所走的路线(曲线方程);并讨论在什么条件下(1)船能到达对岸;(2)船能到达点. 解 如图所示,设为船在要时刻的位置 此时两个分速度为, 消去t得 ,又,代入得,则有 讨论:①当 ② ③ 高等数学竞赛试题3答案 一、选择题 1. 设,且,则( C ) (A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零; (C) 不一定存在; (D) 一定不存在. 2. 设是连续函数,的原函数,则( A ) (A) 当为奇函数时,必为偶函数; (B) 当为偶函数时,必为奇函数; (C) 当为周期函数时,必为周期函数; (D) 当为单调增函数时,必为单调增函数. 3. 设,在内恒有,记,则有( B ) (A) ; (B) ; (C) ; (D) 不确定. 4. 设有连续导数,且,,当时,是同阶无穷小,则( B ) (A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1. 5. 设,则在点( D ) (A) 不连续; (B) 连续但偏导数不存在; (C) 可微; (D) 连续且偏导数存在但不可微. 6. 设,则以向量、为边的平行四边形的对角线的长度为( A ) (A) ; (B) 3, 11; (C) ; (D) . 7. 设是包含原点在内的两条同向闭曲线,的内部,若已知(k为常数),则有( D ) (A) 等于k; (B) 等于; (C) 大于k; (D) 不一定等于k,与L2的形状有关. 8. 设在处收敛,则在处( D ) 二、设,试确定、的值,使都存在. 解:当时,,故; 当时, ,。 三、设的一个原函数,且,求. 解:,, ,由知,, 四、设,S为的边界曲面外侧,计算 解:(下侧),(上侧),, 五、已知,,,…,,…. 求证:(1)数列收敛;(2)的极限值a是方程的唯一正根. 解一:(1), ; 又收敛,收敛, 收敛,又因,故收敛。 (2)令,,,且,,即a是的根,令,,,,,故根唯一。 解二:由已知,,…,…,由此可见,, (用归纳法证明偶数项单调减少,奇数项单调增加)。 设,。 , 由知、收敛,令,; 由,,知,。 对两边取极限得, ① 对两边取极限得, ② 由①—②得,解得 由知收敛,且为方程的根(再证唯一性)。 六、设在单位圆上有连续的偏导数,且在边界上取值为零,求证: , 其中D为圆环域: 解一:令,,,。由已知当时,, ,,故 解二:令,, ,令为(逆时针),为(顺时针) , 。 七、有一圆锥形的塔,底半径为R,高为,现沿塔身建一登上塔顶的楼梯,要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于平面的直线的夹角为,楼梯入口在点, 试求楼梯曲线的方程. 解:设曲线上任一点为,, 曲线参数方程为(*), 在点的切向量为,垂线方向向量为。 ,, ,化简得,由实际问题应, 解得,由,得,故,将此式代入参数方程(*)即得楼梯曲线。 高等数学竞赛试题4答案 一、计算题 1.求 解 原积分= = 2.求 解 由洛比塔法则, 原极限= 而 3.求p的值,使 解:当取满足即时 积分 4.设,,且,求的表达式 解:由条件单调增。且 易知,若不然,不妨设 则当时 矛盾 同理可让 5.计算,其中S为圆柱面,(0z1) 解:S圆柱面关于y对称,且y是奇函数 原积分= 二、设 求(1) (2) 解: (1) (2) A C B D E 三、有一张边长为的正方形纸(如图),、分别为、的中点,为的中点,现将纸卷成圆柱形,使与重合, 与重合,并将圆柱垂直放在xoy平面上,且B与原点重合,D落在轴正向上,此时,求: (1)通过,两点的直线绕轴旋转所得的旋转曲面方程; (2)此旋转曲面、xoy平面和过点垂直于轴的平面所围成的立体体积。 解:圆柱面为 D点坐标为(0,4,0),E点坐标可取为(2,2,0) (1)C点坐标为(0,4,4) 过C,E两点的直线方程为 放转曲面方程 (2)旋转曲面在xoz的投影曲线方程为 四、求函数在的最大值、最小值。 解:在D的最大、最小值即为在 的最大、最小值 ,而,即最大值为1 ,而即最小值为 五、 求 解: k<n时 六、(满分15分)证明:, 证明: 只须证 同理 且 当时,,即,得证 高等数学竞赛试题5答案 1.计算,(a>0,b>0) 解:原积分= = 2. 设幂级数的系数满足,,n=1,2,3…,求此幂级数的和函数。 解:则 即,且 解方程 由 3. 已知二阶可导,且,, (1)证明 , (2)若,证明 证明:(1)记 则 即 ⑵ 即 4.求 由洛比塔法则原极限= 5.设 ,求 解: 6. ,() 解:记原积分为I则 7.设函数满足方程,,,求的极值。 解:由条件, 有 解方程得 含 得可能极值点 k整数 当时有极大值 时极小值 8.证明当时, 证明:令,则,要证不等式为<,即要证<,而且<0, >得证 9.求 解:原极限= 10.设,求a,b的值。 解:当(时) 即 而 11.设 ,求 解: n≥2 12.某水库的泄洪口为圆形,半径为1米,现有一半径为2米的闸门悬于泄洪口的正上方(如图)问闸门下降多少米时,泄洪口被盖住一半? 解:取小圆的圆心为原点、水平线为x 轴,垂线为y轴。则泄洪口圆周方程为,闸门(原始位置)为,下降后为两圆交点为: 2米 1米 其中 或 盖住的面积为 13. 已知是[0,1]上二阶可导函数,且, ,证明:使得。 证明:<1 高等数学竞赛试题6答案 一.选择 1.函数在点处连续是它在该点偏导数存在的: A、必要而非充分条件; B、充分而非必要条件; C、充分必要条件; D、既非充分又非必要条件。 2.设,则= A、 B、 C、 D、 3.曲线弧上的曲线积分和上的曲线积分有关系: A、 B、 C、 D、 4.设其中D是由x=0,y=0, ,x+y=1所围成的区域,则I1,I2,I3的大小顺序是 A、I1<I2<I3; B、I3<I2<I1; C、I1<I3<I2; D、I3<I1<I2. 答案:1. D 2. A 3.B 4.C 二、填空题 5.设,则= __________ 。 6.函数在点(0,)处沿轴负向的方向导数是 __________ 。 7.设C表示椭圆,其方向为逆时针方向,则曲线积分_________ 。 8.设,则I=________________。 答案: 5. 6. 0 7. 0 8. 24 三、计算 9.求极限 。 解: =-8 10.函数由方程所确定,求。 解:当时, ; ; 11.求函数的极大值点或极小值点。 解:由,得驻点 点非极值点。函数无极大值点,在点处取极小值。 12.设闭区域为D上的连续函数,且 求 解 设,在已知等式两边求区域D上的二重积分,有 从而 所以 故 于是 13.计算二重积分,其中D是由抛物线及直线y=x+4所围成的区域。 解:原式 14.计算I=2yzdv,其中Ω是由x2+z2=1,y=0,y=1所围的位于z≥0部分的立体。 解. 15.已知L是由所确定的平面域的边界线,求。 解: 16.计算曲线积分,式中L是正向圆周 解: 四、证明题 17.试证曲面的切平面与三个坐标面所围四面体的体积为常数。 证明:曲面上点处的切平面法向量 切平面方程为 即 切平面与三个坐标平面所围四面体的体积 为常数 高等数学竞赛试题7答案 一、求由方程所确定的函数在内的极值,并判断是极大值还是极小值. 解:对两边求导得, 令得,代入原方程解得. . 故当时,取极大值. 二、设,求, . 解:=, = 三、计算曲线积分,其中是以点(1,0)为中心,为半径的圆周,取逆时针方向. 解:, , 当时, , 当时,由格林公式知,. 当时, ,作足够小的椭圆曲线,从到. 当充分小时,取逆时针方向,使,于是由格林公式得, 因此 = = 四、设函数在内具有连续的导数,且满足 , 其中是由所围成的闭区域,求当时的表达式. 解: =, 两边对求导得 ,且, 这是一个一阶线性微分方程,解得 五、设,求级数的和. 解:令, 则 =. . . = =, 六、设在上连续且单调增加,试证:对任意正数,,恒有 . 解:令, 则, = =, 于是. 七、设具有连续偏导数,由方程=0确定隐函数,求. 解:两边对求偏导得, 两边对求偏导得, ,, =1. 八、设,判别数列的敛散性. 解:定义,令,则, 当时,, =. , 由可知收敛,从而收敛. 九、设半径为的球面的球心在球面:上,问当为何值时,球面在球面内部的那部分面积最大? 解:由对称性可设的方程为,球面被球面所割部分的方程为, , , . 球面与球面的交线在平面的投影曲线方程为,令 所求曲面面积为, =. 令得驻点, 容易判断当时,球面在球面内部的那部分面积最大. 十.计算,其中曲线弧为:,. 解: , (1) , , (2) 将(1)、(2)代入得 = =4. 十一.计算曲面积分,其中是曲面被平面所截出部分的上侧. 解:记为平面上被园所围成的部分的下侧,为由与围成的空间闭区域.由高斯公式知 = = =2. =3 27- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等数学 竞赛 试题 答案
咨信网温馨提示:
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【xrp****65】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【xrp****65】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,个别因单元格分列造成显示页码不一将协商解决,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【xrp****65】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【xrp****65】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。
关于本文