人口结构与经济发展论文3.doc

老龄化来袭——准备好了吗？
摘要
针对问题一：根据新古典经济增长理论研究的结果，一个国家的经济增长可用索洛的增长方程来拟合，该方程以柯布—道格拉斯生产函数为基础。理论发展至今，模型原先仅有的资本因素和劳动力因素两个变量，已经不足以充分解释经济增长的因素了，因此本次建立的模型是改进后的索洛的增长方程，增加了产业因素和FDI因素，最后得到拟合方程

由西方经济学宏观部分相关知识可知，说明在中国目前的经济增长中存在规模报酬递增现象；人口结构中劳动力结构有关系数、对经济影响巨大。
针对问题二：建立了Logistic人口阻滞增长模型，结合中华人名共和国国家统计局上查找的数据，以1980年到2010年总人口数据建立模型，运用Matlab软件进行预测。结果发现运用1980年到2010年的总人口数建立模型，进行预测的效果较好，拟合的曲线的可决系数为0.9986。运用1980年到2010年总人口数据预测未来30年的总人数（见表四）；通过Leslie模型建立，数值分析，我们得到未来我国育龄妇女（15-49岁）人口预测（图5）以及未来我国老年人口预测（图2），经过生育率和死亡率的对比，发现我国老龄人口占总人口（图3）的比例越来越大，我国老龄化问题逐步加重。
针对问题三：运用Leslie模型和Logistic人口阻滞增长模型得出了总人口变化预测（表六）
针对问题四：针对推迟退休年龄对中国经济的影响，我们在以56岁为退休年龄和以60岁为退休年龄的两种不同标准下，对2000年—2030年全国劳动力数量、退休人口数量和赡养比进行了对比。根据数据显示，实行男女都以60岁退休的年龄标准可以避免每年约66.1百万劳动力损失，提高了国民产出;另一方面，全国的养老金将节省10214.8亿元，老年人口的赡养率也将下降，有效地减轻了国民经济的负担。

关键词：柯布—道格拉斯生产函数 Logistic人口阻滞增长模型 Leslie模型
一、 问题重述
1.1 问题背景
自新中国建立以来，特别是改革开放30年，中国经济持续高速发展，创造了“中国经济奇迹”。2010年2月14日日本共同社发布消息指出，中国GDP超越日本，成为全球第二大经济体。强大的经济实力和发展潜使得中国在各个领域取得了举世瞩目的成就：2008年汶川救灾和灾区重建、北京奥运会成功举办，都彰显了中国的自立、自强和自信。神九上天、天河超级计算机、歼系列战机等尖端科技，赢得了全世界的羡慕和赞扬，这些成功不但源于前瞻性的科技政策指导和强大的经济支撑，而且也源于中国高素质的人才资源储备。近年来，“中国制造”引领世界产业潮流，并强力改变着全球产业格局，2012年伦敦奥运会上随处可见“中国制造”，将这一特定称谓发挥至极致。以雄厚的经济实力和丰富的劳动力资源为基础，中国的文化传播和武器出口，无论从质量和数量上都稳步提高——中国声音在国际舞台上越来越强有力。我们已经在“民族复兴”之路上迈出了坚实的一步。
然而，有一些现象和消息却值得我们深思：
Ø 6旬大爷公交车上争座位 强坐年轻女孩腿扇其耳光
2010年9月16日，在成都49路公交车上，一名63岁老人为抢座位，坐到一穿短裙的青年女子的腿上，并在该女子让座后因言语不和扇其耳光。这件事情发生后，立刻引起了社会的广泛关注，就老人和青年女子的行为议论纷纷——中国的传统美德何在？这仅仅是道德问题吗？
Ø 北京征兵体检标准放宽 文身直径超3厘米将被拒
北京市征兵办透露，今冬部分征兵体检标准较往年有所调整。
根据国防部征兵办有关通知要求，文身瘢痕由去年的着短装身体裸露部位刺有“点、字、图案”，直径超过2cm(其他部位直径超过3cm)的不合格，调整为面部、颈部文身直径超过2cm，着短装身体裸露部位直径超过3cm的不合格。同时，男兵体重由去年的不超过标准体重20%、不低于标准体重10%，放宽到不超过标准体重25%、不低于标准体重15%。此外，男青年由去年每耳扎一个耳眼不影响军容的合格，放宽为男青年扎耳眼无明显疤痕、无可视性穿孔，不影响军容的视为合格。
征兵标准的改变，引发了国际社会，特别是美、韩等国的种种猜测。
Ø 人社部专家建议退休年龄延至65岁
根据第二次全国人口普查数据，我国是全球唯一的老年人口过亿的国家，2010年我国60岁以上老年人已经达到1.78亿，占全球老年人口的23.6%。这意味着全球1/4的老龄人口集中在中国。
日前，人力资源和社会保障部透露，他们将适时地提出“弹性延迟领取基本养老金年龄”的政策建议。消息一传出之后，引发了社会各界的广泛关注和热议。支持者认为，延长退休年龄有利于应对老龄化的社会，进一步开发人力资源，特别是充分地发挥高级专业人员等“短缺”群体的作用，增加退休之后的收入，弥补日益增大的养老金的缺口；而质疑者则担忧，这一做法有可能会挤压岗位的供给，进一步的加剧年轻人就业的紧张形势。
Ø 15名学者联名上书全国人大要求松绑二胎
根据国家统计局《中国2010年人口普查资料》，2010年中国妇女总和生育率为1.181，其中城市为0.8821，乡村为1.4375，镇为1.153，均大大低于国际公认维持人口正常更替需要的总和生育率2.1水平。为此，2012年7月5日，15人联名向全国人大法工委和全国人大教科文卫委上书呼吁松绑二胎政策，要求在尊重公民生育权的前提下，让公民自由负责地生育。他们呼吁的另一理由是，老龄化程度加深，劳动力总量将下降，迫使计划生育政策必须调整。
Ø 报告称到2013年中国养老金缺口将达18.3万亿
由中国银行首席经济学家曹远征、中银研究团队和德意志银行大中华区首席经济学家马骏牵头、复旦大学为主的研究团体撰写研究报告《化解国家资产负债中长期风险》预测，到2013年，中国养老金的缺口将达到18 .3万亿元。报告指出，人口老龄化冲击下我国养老金的统筹账户将给财政造成巨大负担。建议实施延迟退休年龄、国有股划拨、机关事业单位改革等多措施以缓解压力。
Ø 中国科学院研究生院更名为中国科学院大学
2012年7月16日中科院消息：经教育部批复，同意中国科学院研究生院更名为中国科学院大学。
公众猜测，中国科学院研究生院改名中国科学院大学之后，便具备了招收本科生的资格。有评论认为，这是中国应对当前国际人才争夺的举措之一，其本质是提高国家对未来高素质劳动力资源的竞争能力。
近年来，此类消息和舆论热点层出不穷，其中有些是实实在在发生了的，而有一些只是人们的猜测，甚至谣言。但不可否认的是，现有人口结构已经影响到政治、经济、军事和道德文化等诸多领域，它们集中反映了人们对当前中国人口结构的思考和担忧。
1.2目标任务
针对上述思考和担忧，请您解决和回答以下问题：
(1) 定量分析影响经济发展的主要因素，阐明人口结构对经济发展的影响。
(2) 就当前中国人口政策，建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(3) 如果实行放宽一胎化生育政策，请建立数学模型，预测未来30年内中国人口结构。
(4) 定量评估延迟退休年龄策略对中国经济发展的影响。
(5) 基于背景中所出现的解决策略和您所想到的方法，就中国人口结构和经济可持续发展提出建议。
二、模型假设
1． 假设问题研究时间段内不考虑人口国际间的迁移。
2． 假设环境相对稳定，没有战争、瘟疫、特大自然灾害等，不随时间而变化。
3． 假设所获取的数据都比较真实，符合实际。
4． 问题研究时间段内全国养老金平均水平变化不大。
5． 除资本因素、劳动力因素、产业因素、FDI因素外，其他因素对国内生产总值影响可忽略不计。
6． 在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变。
7． 不考虑移民对人口总数的影响。
三、 符号说明
………………………………资本因素
………………………………劳动力因素
………………………………产业因素
………………………………FDI因素
……………………………人口增长率
……………………………表示年份（选定初始年份的）
……………………………人口数量
…………………………自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量
…………………………可决系数
……………………在时间段第年龄组的人口总数
……………………第年龄组的生育率
………………………第年龄组的存活率
………………………第年龄组的死亡率
…………………………Leslie矩阵
…………………………2001年全国人口总数
……………………………2001年城市总人口
……………………………2001年镇总人口
……………………………t年初x岁人口数
………………………… 年内 岁人口中的死亡人数
…………………………………x岁的死亡率
四、 问题分析与模型建立
4.1问题一
4.1.1问题分析
影响经济增长的因素有多种分类方式，根据经济增长的研究成果，经济增长因素可按时间顺序划分为传统和现代两大类：
（一）传统理论因素
1．资本因素()。资本在运动过程中能够增值，在市场机制的引导下，会自觉地从低利润行业流向高利润行业，从而使得资源优化配置的同时带动经济的增长。资本因素是传统经济增长理论中最重要的两大影响因素之一，资本因素用“实际资本存量(1952年价格)”来衡量。
2．劳动力因素()。劳动力来源于人口，人口数量越多，劳动力来源越广。劳动力数量是劳动力因素影响经济的具体表现之一，随着现代化的实施和高科技的运用，劳动力质量对经济增长程度的影响有超越前者之势。由于劳动者是生产力的最重要组成部分之一，而生产力是促进经济增长的根本因素，这就是至今仍保留劳动力因素的原因所在。劳动力因素用“从业人员数量”来衡量。
(二)最新理论因素
1．产业因素()。产业因素主要指的是产业结构，产业结构指的是一个国家或地区间各产业的比例关系及相互关系。产业结构对经济的影响是间接的，其影响机制在于，通过产业结构调整，引发社会资源的重新配置，从而提高了资源的流通和使用效率，改善了投入和产出的配比关系，进而推动经济的增长。产业因素用“第二三产业人员比重”来衡量。
2．FDI因素()。持续的外部投资是经济持续增长的基础，在外商直接投资中，合同利用外资仅仅还停留在表面上，“实际使用外资金额”才是促进增长的真正动力，因此必须准确区分用合同利用外资与实际使用外资金额并加以统计。可见用实际使用外资金额这一指标来量化FDI因素是更加合适的。
表一 1978年～2004年GDP、资本、劳动力、产业及外资利用
4．1.2建立模型
根据新古典经济增长理论研究的结果，一个国家的经济增长可用索洛的增长方程来拟合，该方程以柯布—道格拉斯生产函数为基础。理论发展至今，模型原先仅有的资本因素和劳动力因素两个变量，已经不足以充分解释经济增长的因素了，因此本次建立的模型是改进后的索洛的增长方程。
（4-1-1）
在模型中，Y表示国内生产总值，K表示资本，L表示劳动力，I表示产业因素， F表示实际使用外资金额。参数、、、分别表示K、L、I、F对Y的弹性系数。e为自然底数，为随机误差项，用于解释上述影响因素以外的随机因素。
对上面方程两边同时取自然对数，变形后整理为以下形式： （4-1-2）
4.2问题二
4.2.1问题分析
人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题，我们分析了题目以所查数据中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口结构的理解及不同的时期建立多个模型分别加以讨论。
4.2.2模型建立
4.2.2.1模型一
阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数。则它应是减函数。于是有：
（4-2-1）
对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即
（4-2-2）
设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，当时人口不再增长，即增长率，代入（4-2-2）式得，于是（4-2-2）式为
(4-2-3)
对（4-2-3）式的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率。
（4-2-4）
方程（4-2-4）用分离变量法求解得到
(4-2-5)

4.2.2.2模型二
将人口按年龄大小等间隔地划分成个年龄组（譬如每10岁一组），模型要讨论在不同时间人口的年龄分布，对时间也加以离散化，其单位与年龄组的间隔相同。时间离散化为.设在时间段第年龄组的人口总数为，定义向量，模型要研究的是女性的人口分布随的变化规律，从而进一步研究总人口数等指标的变化规律。
设第年龄组的生育率为，即是单位时间第年龄组的每个女性平均生育女儿的人数；第年龄组的死亡率为，即是单位时间第年龄组女性死亡人数与总人数之比，称为存活率。设、不随时间变化，根据、和的定义写出与应满足关系：
           （4-2-6）
在（2-6）式中我们假设中已经扣除婴儿死亡率，即扣除了在时段以后出生而活不到的那些婴儿。若记矩阵

则（4-2-6）式可写作
      (4-2-7)
当、已知时，对任意的有
(4-2-8)
若（4-2-6）中的元素满足
（ⅰ）；
（ⅱ），且至少一个。
则矩阵称为Leslie矩阵。
只要我们求出Leslie矩阵并根据人口分布的初始向量，我们就可以求出时段的人口分布向量。

4.3问题三
4.3.1问题分析
如果放宽一胎化政策，则生育率将变化较大而且老年化也会变化，全国总人口也会发生变化。
4.3.2模型建立
模型如问题二中的Leslie模型
4.4问题四
4.4.1问题分析
要想推算出延迟退休年龄对中国经济的影响，我们就得预测出退休年龄的人数。
4.4.2模型建立
先建立各年龄段人口预算的模型如下：
从2000年起，各年的零岁人口数按以下方法确定。2000—2010年零岁人口数按实际人口出生数确定。（由国家统计局发布的《中国统计年鉴》确定）。2011年—2030年各年的零岁人口数按总人口的年自然增长率每年下降0.02%计算。2010年的总人口自然增长率为0.479%，由此可得2011年、2012年和2013年年的总人口自然增长率分别为0.459%、0.439%、0.419%，以后的年份依次类推
在不考虑人口的国际迁移时，全国人口的分年龄段构成情况只受死亡和出生的影响。如果以表示年初岁的人口数，为年内 岁人口中的死亡人数，那么
（4-）
如果以表示岁人口的死亡率，则

将上式代入(4-)中得
（4-）
式（4-）即为人口模型的递推公式。式中各年龄人口的死亡率由2010年全国人口生命表得到。 当人口初始状态已知，并且确定下来预测期间内各年的零岁人口数，根据该式即可算出未来各年中各年龄的人口数。
5模型求解
5.1.问题一求解
根据表一的数据，调用Eviews软件对方程(2)进行估计，可得表二方程参数估计及检验结果：
表二方程参数估计及检验结果
变量

系数
0.557751
0.171599
0.484012
0.050244
-
1.1913644
0.999665
14308.24
P值
0.0000
0.0000
0.0001
0.0000
-

由以上方程的检验结果，可建立以下经济计量模型：
对于方程有
（5-1-1）
回到（5-1-1）方程，方程中不难发现K、F、I、L、的t检验结果均得以通过，概率小于或接近0.05，检验效果均另人满意；调整后的也达到了0.999665，另外F检验值较大，高达14308.24，表明模型拟合效果较好。
综合以上所有关键的检验分析结果，有充分的理由认为，方程（5-1-1）是拟合效果和检验效果都令人满意的方程。引入FDI因素的做法是能够通过统计学检验的。由此，方程（5-1-1）对应的经济计量模型最终被确定为本次拟合效果较好的计量模型。
5.2问题二求解
5．2.1模型一
经过查找资料知道，计划生育政策1982年党的十二大把计划生育定为基本国策，此前人口总数的增长规律与82年后的增长规律并不一致，因此，我们选取1980年到2011年这32年的数据进行分析。数据如表三：

表三 各年份全国总人口数（千万人）
年份
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
总人口
98.705
100.072
101.654
103.008
104.357
105.851
107.507
109.300
年份
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
总人口
111.026
112.704
114.333
115.823
117.171
118.517
119.850
121.121
年份
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
总人口
122.389
123.626
124.761
125.786
126.743
127.627
128.453
129.277
年份
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
总人口
129.988
130.756
131.488
132.129
132.802
133.450
134.582
135.244
1980年看成初始时刻即，则1981为，以次类推，以2011年为作为终时刻。用函数（4-2-5）对表三中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程（程序见附录1）得到相关的参数，并得出可决系数的值：

可决系数是对模型拟合优度的综合度量。可决系数越大，说明在的总变差中由模型做出了解释的部分占的比重越大，模型的拟合优度越高。而本题的值已经很接近了，可见拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：
（5-2-2）
根据Matlab编程的图如下：

图1 1980-2011年的总人口变化图

从而根据图 1和式（5-2-2）可得出30年后的总人口数的预测情况：

表四、30年后的总人口数的预测情况（千万人）
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
总人口
135.8798
136.4884
137.0711
137.6290
138.1628
138.6734
年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
总人口
139.1616
139.6283
140.074
140.5003
140.9071
141.2954
年份
2024
2025
2026
2027
2028
2029
总人口
141.6661
142.0198
142.3573
142.6791
142.9859
143.2785
年份
2030
2031
2032
2033
2034
2035
总人口
143.5573
143.8230
144.0761
144.3173
144.5470
144.7657
年份
2036
2037
2038
2039
2040
2041
总人口
144.9739
145.1722
145.3609
145.5405
145.7114
145.8740

5.2．2模型二
我们以2001年为初始年份对以后各年的女性总数及总人口数进行预测，根据附件2中所给数据，以一岁为间距对女性分组。
(1) 计算2001年处在各个年龄上的妇女人数的分布向量：
2001年中国人口抽样调查数据，提取为表五
表五
城市男
147907
城市女
147465
镇男
80279
镇女
77976
乡男
394690
乡女
372242
根据抽样调查的结果，可以算出2001年城市、镇、乡人口占2001年全国总人口的比率分别为：

我们由数据知2001年全国总人口（单位：千万），因此可以算出2001年城市、镇、乡的总人口分别为（单位：千万）：
、、
根据2001年城市、镇、乡各个年龄段的女性比率，可以分别算出2001年城市、镇、乡处在第年龄段的女性的总数分。以城市为例，设2001年城市中处在年龄段妇女占城市总人口比率分别为，则（镇、乡类似）。于是可以算出2001年处在第年龄段上的妇女总人数

（2）计算处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数。2001年城市、镇、乡育龄妇女（15岁—49岁）的生育率（此处应该是包含男孩和女孩）（或时都为0），则可以分别算出2001年处在第年龄段的城市、镇、乡育龄妇女总共生育的小孩数（包含男孩和女孩），记为：
。
以城市为例计算：`
（镇、乡类似）。
2001年市、镇、乡的男女出生人口性别比（女100计），据此可以分别计算出城市、镇、乡女孩的出生率。由此
就可以求出2001年处在第年龄段的每个女性平均生育女儿的人数：
，
由于总和生育率： 经计算得到总和生育率小于1.8，误差很大，我们对生育率进行修正。
(3) 计算第年龄段的女性总存活率率：
记第年龄段的女性的死亡率为。城市、镇、乡处在第年龄段的女性死亡率，则处在第年龄段的女性总死亡率为：
，
于是总存活率为：见附录4。用EXCEL对计算出来的数据进行整理，然后运用MATLAB软件进行编程，计算出Leslie矩阵，
于是可以用上面(12)式

进行预测。
从而得出预测结果：
（1）人口老龄化与人口抚养比
通过计算分析人口结构持续老龄化，运用Leslie离散模型，通过MATLAB软件计算出我国60岁以上与65岁以上的老龄人口数，做出散点图如下：
图2 我国老年人口预测值的折线图

从图2可以直观的看出我国老龄人口在持续增加，说明我国老龄化进程在加速。同时做出未来我国老龄人口占总人口的比例的折线图如下：

图3 我国老龄人口占总人口预测比例的折线图

从图2，图3得到：2001年我国60岁以上老年人口已达到1.5538亿人，占总人口的11.5693%。到2020年，60岁以上老年人口将达到2.907亿人比重为19.443%；65岁以上老年人口将达到2.0628亿人比重从2000年的8.009%增长到13.797%。预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%。综上可知我国老龄人口数量大，老龄化速度快，高龄趋势明显，加上我国人口基数大，所以我国是个老龄人口多的国家。
老龄化也在一定程度上导致了我国人口抚养比的不断增高。下面计算人口抚养比指数：
设与分别为男性与女性中具有劳动能力的年龄组，则时段具有劳动能力的人口为
,
而为时段由社会抚养的失去劳动能力与老人或尚未具有劳动能力的为成年人的数量。定义社会的抚养比指数，即平均每一劳动者抚养的无劳动能力的人数。我们以0—14岁为没有劳动能力的儿童，以15-64岁为具有劳动能力的年龄劳动人口，以65岁及以上的为老龄人口。首先，通过MATLAB编程计算出2002到2051年0-14岁、15-64岁、65岁及5以上三段的人数；其次，根据人口抚养比的含义，计算出每一年份的人口抚养比得出人口抚养比。得出的每年人口抚养比的折线图如下：

图4 预测人口抚养比

从图4可以看出预测的以后各年的人口抚养比呈增长的趋势。人口抚养比比较高主要原因有：每年新生婴儿数目在增加；老龄化的加剧，老龄人口数量大；15-64岁年龄段中的人的残疾、生病而无劳动能力等。
（3）人口调控与管理
现阶段我国生育水平的不稳定性，根据建立的Leslie模型，运用MATLAB软件计算出2000年到2050年我国育龄妇女（15-49岁）人口，并做出的散点图如下：图5 未来我国育龄妇女（15-49岁）人口预测

从图5中可以看出我国育龄妇女（15-49岁）人口在2010年左右到达到高峰，

图6 未来我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数预测

从图6我们发现，我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数在2012年将达到高峰，到2025年左右有进入一个小低谷，然后再2037年左右有达到一个小高峰。第二个我国生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数小高峰的原因在于在2012年人口出生高峰期的女婴到2037年时达到生育旺盛期，因此，在2025年生育旺盛期育龄妇女（20-29）人数达到低谷时有回升的形势。
5.3问题三求解
根据已有数据可求得:
表六 总人口的预测值(千万人)
年份
2015
2020
2025
2030
2035
2040
总人数
150
157
159
161
163
165
5.4问题四求解
（1）.根据公式推算出18—55岁劳动人口数:
表七 2000年—2030年18至55岁劳动人口数量 （百万人）
年份
2000
2005
2010
2015
2020
2025
2030
人口数
723
768
802
797
794
767
749
占总人口比（％）
55.2
56.9
57.46
53.9
53.8
51
49.1

（2）.同理可算出56岁（平均退休年龄）以上的人数。

表八 2000年—2030年56岁以上人口年龄构成情况（百万人）

年龄
2000年
2005年
2010年
2015年
2020年
2025年
2030年
退休人数
182
207
173
285
317
369
403
占总人口比（%）
14.1
15.3
17.5
19.7
21.4
24.2
26
赡养率（%）
25.3
26.8
30.7
35.8
39.9
48
54.2

注：赡养率是领取养老金的人数与交纳养老保险费的人数之比

我们以平均退休年龄延长到60岁时来考察延长退休年龄对中国经济的影响。
假设就业年龄为18岁，退休年龄调整为男女均在60岁退休，可以推算出2000年至2030年劳动人口数（18—60岁）以及退休年龄人口（60岁）
表九 2000年—2030年18至60岁劳动人口数量（百万人）

年份
2000
2005
2010
2015
2020
2025
2030
人口数
762
816
866
864
866
857
832
占总人口比（％）
58.8
60.5
62
60
58.8
57.1
54.5

表十 2000年—2030年60岁以上退休人口数量（百万人）

年份
2000
2005
2010
2015
2020
2025
2030
人口数
143
159
181
217
245
279
322
占总人口比（%）
11
11.8
13
15.1
16.6
18.6
21.1
赡养率（%）
18.8
19.5
20.9
25.1
28.3
32.6
38.7

社会总养老金＝退休人数×每人平均养老水平
假设问题研究时间段内平均养老水平变化不大，则社会投入总养老金就只与退休人数的数量有关。
从而得出对经济的影响：
（1）以56岁为平均退休年龄与以60岁为退休年龄相比全国的劳动力基数平均要少66.1百万人，这是对劳动力资源的一种极大的浪费，可以看出低龄退休损失大量的劳动力，从而损失国民产出。
（2）实行高退休年龄标准后退休人数显著减少，相较与56岁的退休年龄平均每年要少55.6百万人，按现在全国企业退休人员人均每月基本养老金1531元计算，全国的养老金就将节省10214.8亿元，这意味着国家将节省出一大笔经济开支。
（3）不同的退休年龄，老年赡养系数大不一样。在两种不同 的赡养比下，中国经济的老年负担是完全不一样的。以56岁为退休年龄和以60岁为退休年龄，在2000、2010、2020、2030年的老年人口赡养率分别为以下两组：25.3%、30.7%、39.9%、54.2%和18.8%、20.9%、28.3%、38.7%。可以看到56岁退休制度负担率是60岁退休制度负担率的1.4倍，有数据显示早在2006年我国养老金缺口就达到了2.5万亿元，延迟退休年龄可有效的减轻国名经济的负担。
5.5问题五求解
中国人口结构和经济可持续发展思考
长期以来，我国人口一直受到关注。人口以其过快的增长，巨大的基数给经济社会带来了诸多问题。进入新的时期，我们面临着实现全面实现小康和构建社会主义和谐社会的重要目标，另一方面，经过多年的努力，我国的人口态势也已经终结了以人口快速增长为主要标志的阶段，呈现诸多新的特点，其中，人口结构的突出性问题受到我们的关注。因此，找到人口结构和经济发展的联系，我们才能更好地了解国情，发展经济。下图是人口结构对经济实施影响的途径：

图一：生育率对经济影响的实现途径

人口结构是指将人口以不同的标准划分得到的一种结果。通过人口结构可以反映出一个国家大体的社会和经济状况。人口结构在一国经济发展中扮演着重要的角色。而我国在转型期面临着更大的挑战：
（一）、在老龄化面前应该采取灵活的计划生育政策，为了经济的可持续发展，应适当的放开人口生育政策。
（二）、对人口的控制应转向 “数量和结构并举” 。人口结构在一国经济发展中扮演着重要的角色,将通过直接影响人口红利来影响经济的增长。
（三）、社会人口结构的老龄化趋势驱使我们完善社会保障和医疗制度。人口老龄化必然引起社会人口结构、投资结构、产业结构的变化，对日益增多的老年人口的社会抚养、社会服务提出了严峻的挑战。
（四）、传统生育观念对人口结构的扰动因素应该得到更好的控制和消除。人口结构中不同的性别比将对社会经济发展产生深刻的影响，性别比的失调将会影响一个国家的产业政策和就业政策。
（五）、性别比的失调使得我们需要制订更多的措施和制度来完善。男性天生被赋予更多的力量，于是男性在重工业和重体力方面有比女性更好的工作条件，女性则在柔韧度和社交公关上有更好的优势。性别比的失调将会影响国家的产业政策，如果性别比不适合该国家本身的资源，这样将不利于国家的经济增长。
总之，只有积极应对挑战，我们才能更好地利用人口结构的优势促进经济发展，抑或是避免不良的人口结构对经济发展带来负面的影响。
6 模型验证
6.1问题一检验
由西方经济学宏观部分相关知识可知，在模型②中，参数需要满足特定的约束条件：当时，表示经济增长的规模报酬不变；当时，表示经济增长的规模报酬递增；当时，表示经济增长的规模报酬递减。
模型②表明，说明在中国目前的经济增长中存在规模报酬递增现象。这一点从最新的“内生经济增长理论[8]”来看是相符的。原因在于随着经济的增长，劳动力受到的教育投资越来越大，而教育投资促进了劳动力素质的提高，高素质的劳动力可以提高生产效率，带来更高的经济效益，从这个观点来看，劳动力素质提高带给经济增长的影响是规模递增型的。
从模型②中我们不难发现，在影响经济增长的四个因素中资本因素的贡献率最高，达到了55.78%；其次是产业因素，贡献了48.40%；最后两位依次为劳动力因素17.16%和FDI因素5.02%。贡献最大的前两个因素中，传统因素和现代因素平分秋色，表明现代因素的作用在得到越来越重要的体现，同时，传统的影响因素依然不可忽视。
传统劳动力因素的贡献率排在第三位，其下降的原因主要有以下两个方面：第一，对劳动力数量的需求已经随着经济的发展而有所改变，传统的以劳动力密集型产业为主的产业政策正在向以资本密集型产业发展为主进行转变；第二，劳动力素质的提高难以用劳动力数量指标反映，若考虑由于教育和再培训提升劳动力质量而带来的经济生产效率和效益的提高，传统劳动力因素的影响权重还将有所增加。
FDI因素的贡献率排名第四，可谓不高。分析其中的主要原因可能在于，部分FDI已经转化为资本存量因素，两个指标之间存在有一定的相关性，从而使其贡献值下降。虽然FDI因素的贡献率只有5.02%，但是由于外部投资将带动产业链条以及产生乘数加速效应，其对经济的影响是不言而喻的。
7 模型的推广
本文首先不考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Logistic人口预测模型；然后，逐步改进，考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Leslie模型，对人口增长进行预测，这种由简到繁，逐步加深的思路，可以应用到较复杂问题的处理上。

参考文献
[1] 赵静 但琦，《数学建模与数学实验》，北京：高等教育出版社，2006。
[2] 姜启源 谢金星 叶俊，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2010。
[3]陈超，《matlab应用实例精讲》，北京：电子工业出版者，2010。
[4]袁新生 邵大宏 郁时练，《excel在数学建模中的应用》，北京：科学出版社，2007。
[5]郑阿奇 曹弋，《matlab实用教材》，北京：电子工业出版社，2012。

附录
t=0:30; %令1954年为初始年
x=[98.705 100.072 101.654 103.008 104.357 105.851 107.507 109.300 111.026 112.704 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 125.786 126.743 127.627 128.453 129.277 129.988 130.756 131.488 132.129 132.802 133.450 134.091];
[c,d]=solve('c/(1+(c/98.705-1)*exp(-5*d))=105.851','c/(1+(c/98.705-1)*exp(-20*d))=126.743','c','d') ;%求初始参数
b0=[ 202.4966, 0.02824]; %初始参数值
fun=inline('b(1