小学数学2011版本小学四年级三角形的三边关系(教学设计).docx

天津经济技术开发区第二小学 雅善至真 明德启智

《三角形的三边关系》教学设计
吴珍
课题
三角形的三边关系
教学内容
人教版《义务教育教科书·数学（四年级下册）》第五单元《三角形的三边关系》第一课时，第62页例3、例4，及书后部分练习。
解读教材
“三角形三边的关系”是人教版课程标准实验教材四年级下册“三角形”中的第三课时，该课时是在学生初步了解了三角形的定义的基础上，进一步研究三角形的特征，即三角形任意两边的和大于第三边。三角形三边关系定理不仅给出了三角形三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准，熟练灵活地运用三角形的两边之和大于第三边，是数学严谨性的一个体现，同时也有助于提高学生全面思考数学问题的能力，它还将在以后的学习中起着重要的作用。
学情分析
此前学生已经学习了角，初步认识了三角形，知道三角形有3条边、3个顶点、3个角，三角形还具有稳定性等知识，为进一步研究三角形的新的特性“任意两边之和大于第三边”做好了知识上的准备。学生虽然知道了三角形是由3条线段围成，但是对于“任意的3条线段不一定都能围成三角形”这一知识却没有任何经验。学生对三角形任意两边之和大于第三边的规律只是停留在生活经验的基础上，只能初步感悟笔直的路比拐一个弯要近，但对于为什么三角形的两边之和会大于第三边却缺少具体的感知，所以创设合适的情境帮助学生体验这个过程就显得尤为重要。而且学生对于两边之和等于第三边时也不能拼成三角形也比较费解，教学时可以利用多媒体课件，让学生体验从两边之和小于第三边，到等于再到大于第三边的变化过程。过程中，学生在抽象概括三角形三边之间的关系时，可能在数学语言的描述上会有一定的困难，表达上也可能不够严密，教师要给学生更多探究的空间和交流的机会。一节课的时间，要让学生从抽象的几何图形中得出结论，并加以运用，并非易事。
教学目标
1．让学生通过动手实践、自主探索、合作交流发现三角形任意两边之和大于第三边，并能判断给定长度的三条线段是否围成三角形。
2．根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高运用数学知识解决实际问题的能力，提高观察、思考、抽象概括能力和动手操作能力。
3．积极参与探究活动，在活动中获得成功的体验，产生学习的兴趣。
教学重点
引导学生猜测、研究什么样的三条线段能围成三角形，发现三角形的三边的关系。
教学难点
引导学生体验、理解“三角形任意两边之和大于第三边”的关系中“任意”的含义，并能运用规律判断任意三条线段能否组成三角形。
教法、学法
根据本课内容特点和四年级学生的心理特性，我把学生分成四人一组，主要采用学生独立思考和合作学习相结合的形式，让学生动手操作，分组讨论、合作交流，结合老师适时引导，多媒体课件演示验证结论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，突出学生的主体性，转变学生的学习方式，让学生动起来，活起来，让学生在猜测、质疑、验证、实践操作、问题解决等过程中，经历探索发现的全过程。从而达到培养学生的创新精神和实践能力的目的。
教学资源
不同长度的小棒、自粘板、白板课件、课堂练习单、平板电脑。
教学过程
为了能更好地凸显“学生为本，自主探究”的教学理念，高效完成教学目标，我设计如下五个教学环节：
一、冲突导入，揭示课题
小魔术
师：给大家变个魔术，想看吗？
（黑板上摆有三根长度分别为10cm、15cm、20cm的三根小棒）
师：看老师用这三根小棒来围三角形，这是三角形吗？
生：不是。
师：为什么？
生：有两根小棒没有围到一起。
师：怎样才能围成三角形？
生：三根小棒要首尾相连。
是：好！成了！这魔术怎么样？
生：不怎么样！太简单了！
师：谁上来变一个！（教师为“表演”的学生提供长度为4cm、5cm、20cm的小棒，学生围不了。）
师：他虽然没能成功地围出一个三角形，但是他告诉我们，像这样的三根小棒是没办法围出一个三角形的。问题出在哪儿呢？
生：那根20cm的小棒太长了。
师：将这根小棒换上一根短的，你能不能变出这个魔术来？
生：可以。（教师为“表演”的学生换上一根10cm的小棒，学生发现也围不了。）
另一种预设：
生：另外两根太短了。
师：将这根小棒换上一根长的，你能不能变出这个魔术来？
生：可以。（教师为“表演”的学生换上一根6cm的小棒，学生发现也围不了。）
师：大家有什么发现吗？
生：教师围三角形用的小棒的长度都差不多，我们用来围的小棒长度都差很多。
生：长度要合适的三根小棒才能围成一个三角形。
师：看来，大家都将目光集中到了三个小棒的长度上来了，到底怎样的三根小棒才能首尾相连围成一个三角形呢？这节课我们就一起去探索和发现三角形边的关系！
板书：三角形的三边关系
【设计意图】在“围”三角形的过程中，教师故意围错让学生形象地感知“围”三角形就是“头连头，尾连尾”，这样才是一个封闭的平面图形。接下来，在教师能变成而学生却变不成的冲突中，可能有大部分学生已经开始这堂课的数学思考了。可能没有比“为自己办不到的事情找理由”更让学生愿意去思考的了！此处“魔术”的价值不仅是在于激起学生的学习兴趣，还在于成功地将学生引入了数学的思考之中。　
二、两根小棒，创设情境
师：好了，课前老师给每个同学都发了一个学具袋，请打开袋子，把小棒拿出来。有几根小棒？
生：2根。
师：你们也来变个魔术，两根小棒能变成三角形吗？
生：把其中的一根拿出来剪一刀，就可以围了。
师：这个方法好，那咱们就约定每人只能剪一刀。剪之前大家先观察一下，自己拿到的小棒是什么样的？
生：一长一短。
师：都是一长一短的吗？
生：我拿到的两根小棒是一样长的。
师：还有谁拿到的也是一样长的？ 哦，行啊！你们就凑合用吧！
师：好，开始剪一剪，围一围吧。
三、分类讨论，达成共识
1. 探讨剪“长”小棒（a+b>c）
师：谁拼成三角形了？举起来看看。你拼得真快！你们都拼成了？拼完的同学可以前后四个人交流一下，什么情况下3根小棒能围成三角形。
师：哎，我有点儿好奇了，你剪的哪根呀？
生：长的、黄色的。
师：你们都剪长的呀？我问问，都有谁剪的是长的？
（剪长的那根小棒的同学举手。）
作品1
板书：展示XXX同学的作品。
师：那你能说说，你为什么剪长的呢？
生：因为剪长的那根，上面两条短的边“连（合）起来”比下面的那条边长，所以就能围成三角形。
生：因为剪长的那根，上面两条边能连在一起向上拱，所以就能围成三角形。
预设：如果学生说不出“上面两条短的边“连（合）起来”比第三条边长”
师：那如果我把这两根中的一根给你换成短点儿的小棒，还能剪完围成三角形吗？
生：不能。
师：为什么不能呢？（还原剪完的两根小棒，再接回去。）
生：因为两根小棒向下压端点够不着。
师：那也就是说什么情况下，这两根小棒才能够得着，才能围成三角形呢？
生：“两条短的边“连（合）起来”比第三条边长”的时候，就能围成三角形。
师：哎，你说的两条短的边“连起来”是否可以说两条边的“和”。
师：两边的和与第三条边有一种很微妙的关系，你们能发现吗？
板书：两边的和 第三边
生：两边的和大于第三边的时候，就能围成三角形。
板书：大于
师：她刚才说的什么意思？谁能再说一次。或者你还有什么想补充的吗？
师：什么叫“两边的和”？什么叫“第三边”？　
（多找几个人说。）
师：好了，大家说的都非常好。在大家共同的探讨下我们发现：三角形“两边的和大于第三边”的时候，能围成三角形。
2. 探讨剪“短”小棒（a+b<c）
师：好了，我再问问，刚才有没有人剪的是短的那根小棒？请举手。
师：没有啊！你们为什么不剪短的呢？我剪短的，行吗？你们猜测一下，能围成吗？师：谁认为能？谁认为不能？
（学生举手。）
作品2
师：咱们一起剪，（请一个学生动手剪短的那根，然后拼。）
师：举起来给大家看看，围成了吗？
板书：展示XXX同学的作品。
如果有人剪短的：
师：那你围成三角形了吗？
生：没有。
师：为什么围不成呢？
生：够不着。
生：差一截。
生：上面的两条边太短了。
生：两边的和没大于第三边。
师：你说的真好。还有谁听懂他说的了？他什么意思？
生：三角形两边的和大于第三边，这两边的和小于第三边，所以不能围成三角形。
师：同意吗？
生：同意。
3. 探讨两根小棒一样长（a+b=c）
师：哎，好像刚才还有同学说自己拿到的是一样长的两根小棒。谁来说说你围成三角形了吗？
生：没有。
作品3
板书：展示XXX同学的作品。
师：有不同意见吗？
生：我们围起来了。
生：不可能，我们怎么围都围不了。
生：作品3围不起来，是因为上面两条短的边加起来和下面的边一样长。
师：你的意思是，两边的和等于第三边，是这样吗？
师：看来，当两边的和等于第三边的时候能不能围成三角形呢？
生：不能。因为三角形的两边的和大于第三边的时候，才能围成三角形。
4. 完善结论（探讨“任意”）
师：那是只要两边的和大于第三边，就一定能围成一个三角形吗？
生：是。
生：不是。
板书：学生魔术作品中三根小棒的长度。
师：你们看这是三条边的长度：4cm 20cm 6cm 。4+20>6、20+6>4，两边的和大于第三边了呀，怎么围不成三角形呢？
板书：4+20>6 20+6>4
生：因为4+6〈20，所以这三条边围不成三角形。
板书：4+6〈20
师：那刚才这句话应该怎么完善呢？
生：较短两边的和大于第三边。
生：任意两边的和大于第三边。
板书：任意
师：什么叫“任意”？
生：就是随便哪两条边的和都要大于第三边。
师：只有两组大于，行吗？
生：不行。
师：必须怎么样？
生：必须是每两条边的和大于第三边。
师：是这样的吗？
生：是。
5. 优化判断方法（总结出“最短”）
师：好，我们接着看10cm、15cm、20cm这一组（魔术作品），是不是任意两边的和都大于第三边？谁能用算式表示出来。
师：先说，一个三角形中有几组两边的和？
生：三组。
师：好，谁来列式？
生：10+15>20
10+20>15
15+20>10
师：后面这两个算式能否省略？
（学生犹豫了一会儿后，不少学生肯定地说：“能！”）
师：为什么？
生：较小的两个数的和大于最大的数，那最大的一个数与其中一个较小数的和，一定比另一个较小数大。
生：最短的两条边的和都大于第三边了，其他比较长的两边的和肯定大于第三边。
（板书：最短）
师：他说得多好啊！为他鼓掌。
【设计意图】在教学展开时，教师引领学生不断思考与反思，直击教学重点的核心问题，提高教学实效性。本环节中，教师在教学的关键处围绕“核心知识”精心设疑，使学生的数学思考沿着教学目标不断深入。在问题提出之前，教师已经让学生充分操作、观察、比较，为思考这些问题提供了强有力的体验作为支撑，问题处在学生思维的最近发展区，这样的数学思考既富有实效性又充满挑战性。抽象、概括、严密是数学的本质特征。教师精心设计、引发学生抓住问题本质。从繁到简，高度抽象。学生经历不断抽象的数学化过程，实际上已经完成了数学建模的基本过程，“任意两边的和大于第三边”这一数学模型的建构水到渠成。再次优化，实际上也是引导学生打破刚才构建的数学模型，抓住问题的本质属性，留下两条短边和最长第三边比较，形成一个最优化的数学模型结构——“两条短边的和大于第三边”。
四、验证结论
师：黑板上的这两个三角形任意两边的和大于第三边，别的三角形也这样吗？
生：是。
师：那么肯定？别太早下结论。我们想个办法验证一下，行吗？
师：现在请刚才围成三角形的同学，量一量三条边的长度，没有围成三角形的同学，在白报本上先任意画一个三角形，再量出三条边的长度，注意要把长度标出来。然后列个式子验证一下我们得到的结论。
学生活动。
请学生在展台下汇报自己的验证结果。
汇报时说请：①我画的三角形三条边的长度分别是多少？②通过哪个算式可以验证结果。
师：哎，同学们。在验证中，我们发现这几位同学围成的或画的三角形任意两边的和大于第三边，你们的三角形也具有这样的性质吗？
生：是的。
师：那么，能不能说明所有的三角形都有这样的性质呢？
板书：三角形
生：能。
师：现在，老师要请你们理一理思路：三根小棒在什么情况下才能首尾相连围成三角形？
板书：围成
生：第三条边长度一定要小于另外两条边的和。
生：最短的两条边加起来要比另一条边长。
生：两条边加起来的和要大于第三边。
师：大家说得都很好！那如果把围不成的这些情况分为两类，可以怎么分？
板书：围不成
生：一类是两边的和比第三边短，另一类是两边的和与第三边一样长。
师：大家总结得真到位！
【设计意图】教师引导学生经历从特殊到一般的数学思考过程，让学生在猜想、发现、归纳、验证、寻找反例、分类讨论等数学活动中思考、辨析、释疑、概括、推理，有效地渗透了特殊与一般的数学思想，为学生构建了一种结构严谨、逻辑严密的数学思维模式。在最后梳理思路的环节，引导学生将实验的结果按“能围成”和“不能围成”分成两类，渗透了分类思想。接着，引导学生从问题的反面思考，先弄清楚“什么情况下，3根小棒围不成三角形”，再推想得出：任意两边的和大于第三边，就一定能围成三角形。其中，方法的优化也随时有效地渗透在教学环节中。
五、巩固应用，拓展提升
1．抢答并说理
师：请同学们独立完成书本P66第7题（如下图）。
（学生独立判断，完成后同桌之间交流，说说是怎么判断的。）
师：核对一下四题的答案。
师：第一题你是怎么判断的？
生：3加4等于7，大于5，所以这三条线段能围成三角形。
师：只要加一次就可以了吗？
生：只要最短的两边的和大于第三条边就行了。
师：说得好！我们就用这样的方法来判断其余三组线段是否能围成三角形。
生：第二组，3+3=6>3，能围成三角形；
第三组，2+2=4<6，不能围成三角形；
第四组，3+3=6>5，可以围成三角形。
2．学以致用
师：刚才说2、2、6，这三根小棒不能围成三角形，如果让你换掉一根小棒，使其围成三角形，你会换掉（ ）cm，换成（ ）cm。（只考虑整厘米数。）
生：把6cm的线段缩短到3cm。
师：请用一个式子说明它能围成三角形。
生：2+2=4>3，所以能围成三角形。
师：很好！还能怎样做？
生：还可以改变2cm的线段，变成5cm。
师：这样可以吗？怎么判断？
生：2+5=7>6，所以能围成三角形。
师：同意吗？
生：同意。
师：可以是4cm吗？为什么？
生：不能。因为2+4=6。两边的和并没有大于第三边，是围不成三角形的。
师：如果让第三边变成4cm，会怎样？
生：成一条直线。
师：这个时候，只要这两条短边中任意一条的长度变（长），就能围成三角形，你觉得要变长多少才能围成三角形？
生：一点点。
生：一微米。
生：0.00001毫米。
（操作课件：两条短边中任意一条边多一点点就能围成一个很“扁”的三角形。）
师：变得更长一点能围成三角形吗？
生：当然更能围成三角形。
师：那能无限地长吗？
生：可以。
生：不能无限地长。例如：2cm长的线段变成10cm，2+6=8<10，就不能围成三角形。
师：那你能不能想象2cm、6cm能与多长的小棒围成三角形？
（教师利用几何画板软件制作了一个可以拉动的三角形，其中两条边的长度是2cm、6cm，第三边可以随着顶点的拉动不断变化它的长度，让学生感受极限思想。）
学生讨论，交流。
得出结论：大于4cm且小于8cm。
师：你们真的是太棒了！老师为你们自豪。
【设计意图】教师通过直观操作让学生感悟数学的极限思想，让学生明白第三边的取值范围是在4厘米与8厘米之间，同时可以无限地接近4厘米与8厘米，但就是不能变成4厘米与8厘米，其实在这里教师已经很形象地在告诉学生量变将引起质变。当第三边变成4厘米与8厘米时，三角形便不复存在，它将成一条直线。这种充满理性思考的数学课堂才是真正扎实有效的数学课堂。
3．两难的选择
师：小明要去学校，怎样走更近些，是走红色的路近呢？还是走蓝色的路更近些？
请你用今天学过的知识来解释。
生：走红色的路更近些，因为走蓝色的路相当于走了三角形的两条边，走红色的路相当于走三角形的第三条边，两边之和大于第三边。
师：三角形？在哪儿呢？
学生上来指。（出示一块三角形地）
师：刚才那个同学说的什么意思？谁再来说说。

（接着，课件显示三角形地是草坪。）
师：还走这条路吗？
生：不能走红色的路，因为走草地会绊倒。
生：不能走红色的路，因为踩踏草地不好，小草也是有生命的。
师：同学们不仅数学学得好，还这么有爱心，老师真佩服你们。
（课件出现草坪的一角，草坪上被隐隐约约踩出一条小路）
师：现在你知道，为什么人们有路不走，而去踩踏草坪了吗？
生：因为那样走近些，相当于走三角形的一条边，抄近路。
师：假如我就是那个喜欢抄近路的阿姨，正好被你们碰见，你们是跟着我学，一起随我抄近路，还是劝阻我不要抄近路？
（学生上台表演劝阻。）
【设计意图】教师引导学生先思考在三角形中如何走最近路，再思考如果是一块草地又该如何走，引导学生在灵活运用数学知识解决生活中实际问题的同时，还应当有一份社会责任，有一份人文情怀，彰显数学的大教育观。体验是学生数学学习的前提，是学生数学学习的本质特征与要求。可以说，没有体验就没有真正意义上的学习。本课最为可贵的是教师不急不躁，慢慢地跟随学生学习的脚步，让学生经历了极其充分的探索过程，在这一过程中引领学生在充满数学意义的活动中参与、经历、思考、反思、发展。在活动中，学生的数学体验更深刻了，同时也加深了学生对数学事实与经验的理性认知。
六、联系与拓展
师：如果我们有机会再来剪一次小棒围三角形。这一次老师只给你一根小棒。第一刀你一定不剪在哪里？为什么？
生：一定不剪在中间，剪在中间的话，两边之和就等于第三边了。
师：会出现黑板上的哪个作品的现象？
生：会出现作品3那种情况。
师：听你的，第一刀不剪在中间，那应该剪在哪里呢？
生：可以是三分之一处。
生：只要不是中间就行。
师：也就是说，剪完后把它分成了怎样的两段？
生：分成一长一短的两段。
师：谁知道这两段分别表示什么？
生：长的那段表示的是三角形中两边的和，短的那段表示的是第三条边。
师：那第二刀能随便剪吗？
生：不能。
师：第二刀怎么剪，会出现作品2的情况？
生：第二刀剪在短的那一段中，就会出现这种情况。
师：那怎样剪就一定能围成三角形呢？
师：是只要剪在长的那一段中就一定能围成三角形吗？
生：不一定。
生：剪在这两个点中间的任何一个位置都可以。（上台比划。）
师：真的有点说不清了！不过老师告诉你，三角形两边有和就必定有差。三角形两边的差和第三边又有什么样的关系呢？等你搞清楚这个，老师相信你一定能剪出一个充满数学味的三角形。
【设计意图】教师用心设计这道拓展性问题。一方面，帮助学生巩固三角形三边的关系；另一方面，又可以拓展学生的思维。整个教学没有脱离实践，而是在“实践——思考——再实践——再思考”的过程中进行的。
七、课终回顾、全课小结
师：同学们，通过我们今天的学习，你有什么收获？（大家说得可真好！）
【设计意图】通过梳理总结，不仅可以培养学生的概括总结能力，还可以提高学生的语言表达能力，让学生更加系统的掌握新知识。此外，还可以让学生有机会与同学交流本节课的收获，给学生提供了展示自我的机会，有利于增强学生的自信心。

板书设计：
三角形的三边关系

4+20〉6
20+6〉4
4+6<20
20cm
4cm
6cm
10cm
20cm
15cm
10+15〉20
10+20〉15
15+20〉10

观察
疑问
猜测
验证
结论
应用

围成：

作品1

围不成：
作品2 作品3
三角形任意两边的和大于第三边。
（最短）
【设计意图】板书是课堂教学的重要手段，通过板书可以突出教学的重难点，为学生掌握知识和记忆知识打下坚实的基础。因此，我在设计板书时力求做到两点：(1) 图文并茂，条理清楚，层次明确。(2)突出重点，与课堂教学的小结相呼应。
作业设计
1．建造房子用的“人字梁”主要由三根木头组成，现在已经有了两根分别是5米的木料，下面木料中，哪几根木料能与这两根木料组成“人字梁”。 为什么？
①12米 ②9米 ③7米 ④5米
建造的房子要宽一些，选用哪一根木料？
建造的房子要高一些，选用哪一根木料？
2．三角形的一条边长12分米，其余两条边的和是14分米，这两条边的长度可以分别是多少分米？
【设计意图】作业题比起课堂练习题，思维就开放多了，要从不同的角度去思考。第二题，学生可能有只在整数范围内考虑，得出共有6种。引导学生如果小数也可以的话，可以有无数种。这样的设计层发散拓宽了学生的思维，既巩固了基础知识，又培养了思维的灵活性和深刻性，同时也有机地渗透了无限逼近的数学思想。

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